वज्र-गुणनखंड विधि - Revision history

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-11-21T06:31:57Z

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← Older revision		Revision as of 12:01, 21 November 2023
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	[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की वज्र-गुणनखंड विधि सबसे सरल विधियों में से एक है ।वज्र-गुणनखंड विधि दो चरों में रैखिक समीकरणों की त्वरित विधि है। इस विधि में , एक भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा किया जाता है और पहले पद के हर को दूसरे पद के अंश से गुणा किया जाता है। इस इकाई में हम वज्र-गुणनखंड विधि को विस्तार पूर्वक समझते है ।		दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की वज्र-गुणनखंड विधि सबसे सरल विधियों में से एक है ।वज्र-गुणनखंड विधि दो चरों में रैखिक समीकरणों की त्वरित विधि है। इस विधि में , एक भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा किया जाता है और पहले पद के हर को दूसरे पद के अंश से गुणा किया जाता है। इस इकाई में हम वज्र-गुणनखंड विधि को विस्तार पूर्वक समझते है ।

Mani at 11:42, 12 October 2023

2023-10-12T11:42:47Z

← Older revision		Revision as of 17:12, 12 October 2023
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	[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की वज्र-गुणनखंड विधि सबसे ~~आसान तरीकों~~ में से एक है ।वज्र-गुणनखंड विधि दो चरों में रैखिक समीकरणों का त्वरित विधि है। इस विधि में , एक भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा किया जाता है और पहले पद के हर को दूसरे पद के अंश से गुणा किया जाता है। ~~आइए~~ इस इकाई में हम वज्र-गुणनखंड विधि को विस्तार पूर्वक समझते है ।		दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की वज्र-गुणनखंड विधि सबसे सरल विधियों में से एक है ।वज्र-गुणनखंड विधि दो चरों में रैखिक समीकरणों की त्वरित विधि है। इस विधि में , एक भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा किया जाता है और पहले पद के हर को दूसरे पद के अंश से गुणा किया जाता है। इस इकाई में हम वज्र-गुणनखंड विधि को विस्तार पूर्वक समझते है ।

	=== वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति ===		=== वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति ===
Line 36:		Line 36:
	<math>\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>		<math>\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>

	इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल ~~आसानी~~ से प्राप्त सकते हैं । उपर्युक्त समीकरण को याद रखने के लिए दिया गया चित्र उपयोगी होगा । दिए गए चित्र में दो संख्याओं के बीच का बाण चिह्न <math>(\longrightarrow)</math> यह दर्शाता हैं कि उन्हें गुणा किया जाएगा और दूसरे गुणनफल को पहले से घटाया जाएगा ।		इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल सरल रूप से प्राप्त सकते हैं । उपर्युक्त समीकरण को याद रखने के लिए दिया गया चित्र उपयोगी होगा । दिए गए चित्र में दो संख्याओं के बीच का बाण चिह्न <math>(\longrightarrow)</math> यह दर्शाता हैं कि उन्हें गुणा किया जाएगा और दूसरे गुणनफल को पहले से घटाया जाएगा ।

	=== टिप्पणी ===		=== टिप्पणी ===

Jaya agarwal: /* टिप्पणी */

2023-10-12T05:58:17Z

टिप्पणी

← Older revision		Revision as of 11:28, 12 October 2023
Line 36:		Line 36:
	<math>\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>		<math>\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>

	इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल आसानी से प्राप्त सकते हैं । उपर्युक्त समीकरण को याद रखने के लिए दिया गया चित्र उपयोगी होगा ।		इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल आसानी से प्राप्त सकते हैं । उपर्युक्त समीकरण को याद रखने के लिए दिया गया चित्र उपयोगी होगा । दिए गए चित्र में दो संख्याओं के बीच का बाण चिह्न <math>(\longrightarrow)</math> यह दर्शाता हैं कि उन्हें गुणा किया जाएगा और दूसरे गुणनफल को पहले से घटाया जाएगा ।

	=== टिप्पणी ===		=== टिप्पणी ===

Jaya agarwal: /* वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति */

2023-10-11T15:09:50Z

वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति

@@ Line 59: / Line 59: @@
 <math>-2x+y-7=0</math> <math>...........(2)</math>
 अतः ,  समीकरण <math>(1)</math> से , <math>a_1=3</math> , <math>b_1=-4</math> , <math>c_1=-2</math> एवं समीकरण <math>(2)</math> से  <math>a_2=-2</math> , <math>b_2=1</math> , <math>c_2=-7</math>
 वज्र गुणन विधि प्रयोग करने पर ,
@@ Line 87: / Line 97: @@
 <chem>y=-5</chem>
 अतः , उपर्युक्त  समीकरण युग्म का हल <math>x=-6 , y=-5 </math> है ।
 '''सत्यापन'''

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-10-11T12:49:46Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 18:19, 11 October 2023
Line 87:		Line 87:
	<chem>y=-5</chem>		<chem>y=-5</chem>

	अतः , उपर्युक्त ~~दी गई~~ समीकरण युग्म का हल <math>x=-6 , y=-5 </math> है ।		अतः , उपर्युक्त समीकरण युग्म का हल <math>x=-6 , y=-5 </math> है ।

			उपर्युक्त समीकरण युग्म के हल की प्रकृति ज्ञात करने पर ,

			<math>\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{ b_1}{b_2}</math>

			मान रखने पर ,

			<math>\frac{3}{-2}\neq\frac{ -4}{1}</math>

			अतः , यह स्पष्ट है कि उपर्युक्त समीकरण युग्म के हल अद्वितीय होंगे ।

	'''सत्यापन'''		'''सत्यापन'''

Jaya agarwal at 12:43, 11 October 2023

2023-10-11T12:43:53Z

← Older revision		Revision as of 18:13, 11 October 2023
Line 36:		Line 36:
	<math>\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>		<math>\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>

	इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल आसानी से प्राप्त सकते हैं ।		इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल आसानी से प्राप्त सकते हैं । उपर्युक्त समीकरण को याद रखने के लिए दिया गया चित्र उपयोगी होगा ।

	=== टिप्पणी ===		=== टिप्पणी ===

Jaya agarwal: /* टिप्पणी */

2023-10-11T04:12:39Z

टिप्पणी

← Older revision		Revision as of 09:42, 11 October 2023
Line 22:		Line 22:
	<math>(b_2a_1-b_1a_2)x+(b_2b_1-b_1b_2)y+b_2c_1-b_1c_2=0</math>		<math>(b_2a_1-b_1a_2)x+(b_2b_1-b_1b_2)y+b_2c_1-b_1c_2=0</math>

	<math>(b_2a_1-b_1a_2)x+b_2c_1-b_1c_2=0</math>		<math>(b_2a_1-b_1a_2)x+b_2c_1-b_1c_2=0</math>

	<math>(b_2a_1-b_1a_2)x=b_1c_2-b_2c_1</math>		<math>(b_2a_1-b_1a_2)x=b_1c_2-b_2c_1</math>

	<math>x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>		<math>x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>
	[[File:वज्र-गुणनखंड विधि.png\|alt=वज्र-गुणनखंड विधि\|thumb\|~~201x201px~~\|<ref>{{Cite web\|url=https://www.geeksforgeeks.org/cross-multiplication-method/\|title=वज्र-गुणनखंड विधि}}</ref> वज्र-गुणनखंड विधि]]		[[File:वज्र-गुणनखंड विधि.png\|alt=वज्र-गुणनखंड विधि\|thumb\|274x274px\|<ref>{{Cite web\|url=https://www.geeksforgeeks.org/cross-multiplication-method/\|title=वज्र-गुणनखंड विधि}}</ref> वज्र-गुणनखंड विधि]]
	<math>x</math> के प्राप्त मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखने पर ,		<math>x</math> के प्राप्त मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखने पर ,

Jaya agarwal: /* वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति */

2023-10-11T04:10:45Z

वज्र-गुणन विधि की व्युत्पत्ति

← Older revision		Revision as of 09:40, 11 October 2023
Line 27:		Line 27:

	<math>x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>		<math>x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>
			[[File:वज्र-गुणनखंड विधि.png\|alt=वज्र-गुणनखंड विधि\|thumb\|201x201px\|<ref>{{Cite web\|url=https://www.geeksforgeeks.org/cross-multiplication-method/\|title=वज्र-गुणनखंड विधि}}</ref> वज्र-गुणनखंड विधि]]
	<math>x</math> के प्राप्त मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखने पर ,		<math>x</math> के प्राप्त मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखने पर ,

	<math>y=\frac{c_1a_2-c_2a_1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>		<math>y=\frac{c_1a_2-c_2a_1}{b_2a_1-b_1a_2}</math>

	अतः , समीकरणों का हल इस प्रकार दिया जाएगा ,		अतः , समीकरणों का हल इस प्रकार दिया जाएगा ,

Jaya agarwal at 14:30, 10 October 2023

2023-10-10T14:30:30Z

← Older revision		Revision as of 20:00, 10 October 2023
Line 38:		Line 38:
	इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल आसानी से प्राप्त सकते हैं ।		इसलिए , हम वज्र गुणन विधि का उपयोग करके दो चर में रैखिक समीकरण युग्म का हल आसानी से प्राप्त सकते हैं ।

	=== ~~नोट~~ ===		=== टिप्पणी ===

	# यदि <math>\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{ b_1}{b_2}</math> है , तो हमें एक अद्वितीय हल मिलता है और दो चर में रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।		# यदि <math>\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{ b_1}{b_2}</math> है , तो हमें एक अद्वितीय हल मिलता है और दो चर में रैखिक समीकरण युग्म संगत है ।

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-10-09T08:27:22Z

उदाहरण 1

@@ Line 87: / Line 87: @@
 <chem>y=-5</chem>
 अतः , उपर्युक्त दी गई  समीकरण युग्म का हल <math>x=-6 , y=-5 </math> है ।
 == उदाहरण 2 ==
 दो चरों में दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के हल की प्रकृति ज्ञात कीजिए :