वास्तविक संख्याएँ और उनके दशमलव प्रसार - Revision history

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2024-05-07T03:42:26Z

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	* कुछ प्रक्रिया के बाद शेषफल या तो <math>0 </math> हो जाता है या स्वयं को दोहराना प्रारंभ कर देता है।		* कुछ प्रक्रिया के बाद शेषफल या तो <math>0 </math> हो जाता है या स्वयं को दोहराना प्रारंभ कर देता है।
	* शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम है (<math>\frac{10}{3} </math> में, एक संख्या स्वयं को दोहराती है और भाजक <math>3</math> है), <math>\frac{1}{7} </math> में शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में छह प्रविष्टियाँ <math>326451</math> हैं और भाजक <math>7</math> है)		* शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम है (<math>\frac{10}{3} </math> में, एक संख्या स्वयं को दोहराती है और भाजक <math>3</math> है), <math>\frac{1}{7} </math> में शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में छह प्रविष्टियाँ <math>326451</math> हैं और भाजक <math>7</math> है)
	*~~If the remainders repeat~~, ~~then we get a repeating block of digits in the quotient~~ (~~for~~ <math>\frac{10}{3} </math> , <math>3</math> ~~repeats in the quotient and for~~ <math>\frac{1}{7} </math> , ~~repeating block~~ <math>142857</math> ~~in the quotient~~)		*यदि शेषफल दोहराए जाते हैं, तो हमें भागफल में अंकों का एक दोहराव वाला खंड(ब्लॉक) मिलता है, (<math>\frac{10}{3} </math> के लिए, भागफल में <math>3</math> दोहराव होते हैं, और <math>\frac{1}{7} </math> के लिए, भागफल में खंड(ब्लॉक) <math>142857</math> दोहराया जाता है)
	~~The above pattern using the examples above is true for all rationals of the form~~ <math>\frac{p}{q} </math> (<math>q \ne 0</math>).		ऊपर दिए गए उदाहरणों का उपयोग करते हुए उपरोक्त प्रतिरूप <math>\frac{p}{q} </math> (<math>q \ne 0</math>) के सभी परिमेयओं के स्वरुप के लिए सत्य है।

	~~On division of~~ <math>p </math> by <math>q </math>, ~~two main things happen – either the remainder becomes zero or never becomes zero and we get a repeating string of remainders.~~		<math>p</math> को <math>q</math> से विभाजित करने पर, दो मुख्य बातें होती हैं - या तो शेषफल शून्य हो जाता है या कभी शून्य नहीं होता है और हमें शेषफलों की एक दोहराई जाने वाली श्रृंखला प्राप्त होती है।

	~~The decimal expansion of real numbers can be classified into three types. They are~~:		वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार को तीन प्रकार में वर्गीकृत किया जा सकता है। वे इस प्रकार हैं:

	* [[दशमलव प्रसार को सांत करना\|दशमलव को सांत करना]]		* [[दशमलव प्रसार को सांत करना\|दशमलव को सांत करना]]

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2024-05-07T03:14:37Z

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	भाजक: 7		भाजक: 7
	\|}		\|}
	~~In the above division operation~~		उपरोक्त विभाजन संक्रिया में

	* ~~The remainders either become~~ <math>0</math> ~~after some stage, or start repeating themselves.~~		* कुछ प्रक्रिया के बाद शेषफल या तो <math>0 </math> हो जाता है या स्वयं को दोहराना प्रारंभ कर देता है।
	* ~~The number of entries in the repeating string of remainders is less than the divisor~~ (in <math>\frac{10}{3} </math> , ~~one number repeats itself and the divisor is~~ <math>3</math> , in <math>\frac{1}{7} </math> ~~there are six entries~~ <math>326451</math> ~~in the repeating string of remainders and the divisor is~~ <math>7</math> )		* शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम है (<math>\frac{10}{3} </math> में, एक संख्या स्वयं को दोहराती है और भाजक <math>3</math> है), <math>\frac{1}{7} </math> में शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में छह प्रविष्टियाँ <math>326451</math> हैं और भाजक <math>7</math> है)
	*If the remainders repeat, then we get a repeating block of digits in the quotient (for <math>\frac{10}{3} </math> , <math>3</math> repeats in the quotient and for <math>\frac{1}{7} </math> , repeating block <math>142857</math> in the quotient)		*If the remainders repeat, then we get a repeating block of digits in the quotient (for <math>\frac{10}{3} </math> , <math>3</math> repeats in the quotient and for <math>\frac{1}{7} </math> , repeating block <math>142857</math> in the quotient)
	The above pattern using the examples above is true for all rationals of the form <math>\frac{p}{q} </math> (<math>q \ne 0</math>).		The above pattern using the examples above is true for all rationals of the form <math>\frac{p}{q} </math> (<math>q \ne 0</math>).
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	The decimal expansion of real numbers can be classified into three types. They are:		The decimal expansion of real numbers can be classified into three types. They are:

	* [[~~Terminating decimal expansions~~\|~~Terminating Decimals~~]]		* [[दशमलव प्रसार को सांत करना\|दशमलव को सांत करना]]
	* [[~~Non-terminating recurring decimal expansions~~\|~~Non-terminating and Repeating Decimals~~]]		* [[अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार\|अनवसानी(असांत) और पुनरावर्ती दशमलव]]
	* [[~~Non-terminating recurring decimal expansions~~\|~~Non-terminating and Non-repeating Decimals~~]]		* [[अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार\|अनवसानी(असांत) और अपुनरावर्ती दशमलव]]

	[[Category:संख्या पद्धति]]		[[Category:संख्या पद्धति]]
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:कक्षा-9]]		[[Category:कक्षा-9]]

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2024-05-07T02:48:23Z

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			वास्तविक संख्या <math>\frac{1}{7} , \frac{10}{3} , \frac{7}{8}</math> के लिए दशमलव प्रसार नीचे समझाया गया है।
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+		\|+
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	\| rowspan="15" \|		\| rowspan="15" \|
	\|		\|
	\| colspan="5" style="border-bottom: solid 5px blue"\|3.3333...		\| colspan="5" style="border-bottom: solid 5px blue" \|3.3333...
	\| rowspan="15" \|		\| rowspan="15" \|
	\|		\|
	\| colspan="4" style="border-bottom: solid 5px blue"\|0.875		\| colspan="4" style="border-bottom: solid 5px blue" \|0.875
	\|-		\|-
	\| rowspan="13" style="border-right: solid 5px blue; vertical-align:top" \|7		\| rowspan="13" style="border-right: solid 5px blue; vertical-align:top" \|7
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	\|1		\|1
	\|0		\|0
	\| colspan="3" rowspan="2" \|		\| colspan="3" rowspan="2" \|
	\| rowspan="7" style="border-right: solid 5px blue; vertical-align:top" \|8		\| rowspan="7" style="border-right: solid 5px blue; vertical-align:top" \|8
	\|7		\|7
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	\|		\|
	\|9		\|9
	\| colspan="5" rowspan="7" \|~~Reminders~~: 6,4,0.		\| colspan="5" rowspan="7" \|शेष: 6,4,0.

	~~Divisor~~: 8		भाजक: 8
	\|-		\|-
	\| rowspan="5" \|		\| rowspan="5" \|
Line 102:		Line 103:
	\|3		\|3
	\|5		\|5
	\| colspan="6" rowspan="5" \|~~Reminders~~: 1,1,1,1...		\| colspan="6" rowspan="5" \|शेष: 1,1,1,1...

	~~Divisor~~: 3		भाजक: 3
	\|-		\|-
	\| rowspan="3" \|		\| rowspan="3" \|
Line 116:		Line 117:
	\|1		\|1
	\|-		\|-
	\| colspan="8" \|~~Reminders~~: 3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1...		\| colspan="8" \|शेष: 3,2,6,4,5,1,3,2,6,4,5,1...
	~~Divisor~~: 7		भाजक: 7
	\|}		\|}
	In the above division operation		In the above division operation

Mani at 02:44, 7 May 2024

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 [[Category:गणित]]
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Mani at 06:21, 16 August 2023

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			Real Numbers and their Decimal Expansions

Ramamurthy: Category updated

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Sarika at 10:50, 18 April 2023

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Sarika at 06:16, 21 March 2023

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Sarika at 06:09, 21 March 2023

2023-03-21T06:09:30Z

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Sarika at 06:05, 21 March 2023

2023-03-21T06:05:48Z

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