विभाजन-सूत्र - Revision history

Mani: added content

2024-06-19T04:48:04Z

added content

← Older revision		Revision as of 10:18, 19 June 2024
Line 5:		Line 5:
	किन्हीं दो बिंदुओं <math>A(x_1,y_1)</math> और <math>B(x_2,y_2)</math> पर विचार करें और मान लीजिये <math>P(x,y)</math>, <math>AB</math> को आंतरिक रूप से अनुपात <math>m_1:m_2</math> में विभाजित करता है।		किन्हीं दो बिंदुओं <math>A(x_1,y_1)</math> और <math>B(x_2,y_2)</math> पर विचार करें और मान लीजिये <math>P(x,y)</math>, <math>AB</math> को आंतरिक रूप से अनुपात <math>m_1:m_2</math> में विभाजित करता है।

	~~i.e.,~~ <math>\frac{PA}{PB}=\frac{m_1}{m_2}</math> (चित्र 1 देखें)		अर्थात <math>\frac{PA}{PB}=\frac{m_1}{m_2}</math> (चित्र 1 देखें)

	~~Draw <math>AC,PD,BE</math> perpendicular to the <math>x-</math>axis. Draw <math>AR,PQ</math> parallel to the <math>x-</math>axis. Then, by the <math>AA</math> similarity criterion,~~

	<math>x-</math>अक्ष पर लंबवत <math>AC,PD,BE</math> खींचें। <math>x-</math>अक्ष के समानांतर <math>AR,PQ</math> खींचें। फिर, <math>AA</math> समानता मानदंड से,		<math>x-</math>अक्ष पर लंबवत <math>AC,PD,BE</math> खींचें। <math>x-</math>अक्ष के समानांतर <math>AR,PQ</math> खींचें। फिर, <math>AA</math> समानता मानदंड से,
Line 37:		Line 35:

	<math>x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}</math>		<math>x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}</math>

Mani: added content

2024-06-19T04:46:56Z

added content

← Older revision		Revision as of 10:16, 19 June 2024
Line 1:		Line 1:
	~~The Section formula is used to find the coordinates of the point that divides a line segment~~ (~~externally or internally~~) ~~into some ratio.~~		विभाजन-सूत्र का उपयोग उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो किसी रेखाखंड को (बाह्य या आंतरिक रूप से) किसी अनुपात में विभाजित करता है।

	== ~~Derivation of Section Formula~~ ==		== विभाजन-सूत्र की व्युत्पत्ति ==
	[[File:Section Formula.jpg\|alt=Fig 1 - Section Formula\|none\|thumb\|500x500px\|~~Fig~~ 1 - ~~Section Formula~~]]		[[File:Section Formula.jpg\|alt=Fig 1 - Section Formula\|none\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 -विभाजन-सूत्र]]
	~~Consider any two points~~ <math>A(x_1,y_1)</math> ~~and~~ <math>B(x_2,y_2)</math> ~~and assume that~~ <math>P(x,y)</math> ~~divides~~ <math>AB</math> ~~internally in the ratio~~ <math>m_1:m_2</math> ,		किन्हीं दो बिंदुओं <math>A(x_1,y_1)</math> और <math>B(x_2,y_2)</math> पर विचार करें और मान लीजिये <math>P(x,y)</math>, <math>AB</math> को आंतरिक रूप से अनुपात <math>m_1:m_2</math> में विभाजित करता है।

	i.e., <math>\frac{PA}{PB}=\frac{m_1}{m_2}</math> (~~see Fig.~~ 1).		i.e., <math>\frac{PA}{PB}=\frac{m_1}{m_2}</math> (चित्र 1 देखें)

	Draw <math>AC,PD,BE</math> perpendicular to the <math>x-</math>axis. Draw <math>AR,PQ</math> parallel to the <math>x-</math>axis. Then, by the <math>AA</math> similarity criterion,		Draw <math>AC,PD,BE</math> perpendicular to the <math>x-</math>axis. Draw <math>AR,PQ</math> parallel to the <math>x-</math>axis. Then, by the <math>AA</math> similarity criterion,

			<math>x-</math>अक्ष पर लंबवत <math>AC,PD,BE</math> खींचें। <math>x-</math>अक्ष के समानांतर <math>AR,PQ</math> खींचें। फिर, <math>AA</math> समानता मानदंड से,

	<math>\bigtriangleup PAR\sim \bigtriangleup BPQ</math>		<math>\bigtriangleup PAR\sim \bigtriangleup BPQ</math>
Line 21:		Line 23:
	<math>BQ=BE-QE=BE-PD=y_2-y</math>		<math>BQ=BE-QE=BE-PD=y_2-y</math>

	~~Substituting in~~ <math> (1)</math> ~~we get~~		<math> (1)</math> प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

	<math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{y-y_1}{y_2-y}</math>		<math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{y-y_1}{y_2-y}</math>


			<math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{x-x_1}{x_2-x}</math> लेने पर
	~~Taking~~ <math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{x-x_1}{x_2-x}</math>

	<math>m_1x_2-m_1x=m_2x-m_2x_1</math>		<math>m_1x_2-m_1x=m_2x-m_2x_1</math>
Line 39:		Line 40:


	~~Taking~~ <math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{y-y_1}{y_2-y}</math>		<math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{y-y_1}{y_2-y}</math> लेने पर

	<math>m_1y_2-m_1y=m_2y-m_2y_1</math>		<math>m_1y_2-m_1y=m_2y-m_2y_1</math>
Line 49:		Line 50:
	<math>y=\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}</math>		<math>y=\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}</math>

	So, ~~the coordinates of the point~~ <math>P(x,y)</math> ~~which divides the line segment joining the points~~ <math>A(x_1,y_1)</math> ~~and~~ <math>B(x_2,y_2)</math>~~, internally, in the ratio~~ <math>m_1:m_2</math> are <math>\left (\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )</math> ~~is the section formula.~~		इसलिए, बिंदु <math>P(x,y)</math> के निर्देशांक जो बिंदु <math>A(x_1,y_1)</math> और <math>B(x_2,y_2)</math> को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से किस अनुपात में विभाजित करते हैं

			<math>m_1:m_2</math> are <math>\left (\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )</math> विभाजन-सूत्र है।

	=== ~~Example~~ ===		=== उदाहरण ===
	~~Find the coordinates of the point which divides the line segment joining the points~~ <math>(4,-3)</math> ~~and~~ <math>(8,5)</math> ~~in the ratio~~ <math>3:1</math> ~~internally.~~		उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिंदुओं <math>(4,-3)</math> और <math>(8,5)
			</math> को मिलाने वाले रेखाखंड को <math>3:1</math> के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

	'''~~Solution~~''' : ~~Let~~ <math>P(x,y)</math> ~~be the required point.~~		'''हल''' : <math>P(x,y)</math> को वांछित बिंदु मान लें।

	<math>x_1=4,y_1=-3</math>		<math>x_1=4,y_1=-3</math>

	<math>x_2=8,y_2=5</math>		<math>x_2=8,y_2=5</math>
Line 63:		Line 67:


	~~Using the section formula~~, ~~we get~~		विभाजन-सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते

	<math>x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}</math>		<math>x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}</math>
Line 75:		Line 79:


	~~Therefore~~ <math>(7,3)</math> ~~is the required point.~~		अतः <math>(7,3)</math> ही अभीष्ट बिंदु है।

	[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Mani at 04:27, 19 June 2024

2024-06-19T04:27:21Z

← Older revision		Revision as of 09:57, 19 June 2024
Line 1:		Line 1:
			The Section formula is used to find the coordinates of the point that divides a line segment (externally or internally) into some ratio.

			== Derivation of Section Formula ==
			[[File:Section Formula.jpg\|alt=Fig 1 - Section Formula\|none\|thumb\|500x500px\|Fig 1 - Section Formula]]
			Consider any two points <math>A(x_1,y_1)</math> and <math>B(x_2,y_2)</math> and assume that <math>P(x,y)</math> divides <math>AB</math> internally in the ratio <math>m_1:m_2</math> ,

			i.e., <math>\frac{PA}{PB}=\frac{m_1}{m_2}</math> (see Fig. 1).

			Draw <math>AC,PD,BE</math> perpendicular to the <math>x-</math>axis. Draw <math>AR,PQ</math> parallel to the <math>x-</math>axis. Then, by the <math>AA</math> similarity criterion,

			<math>\bigtriangleup PAR\sim \bigtriangleup BPQ</math>

			<math>\frac{PA}{PB}=\frac{AR}{PQ}=\frac{PR}{BQ} ....... (1)</math>

			<math>AR=CD=OD-OC=x-x_1</math>

			<math>PQ=DE=OE-OD=x_2-x</math>

			<math>PR=PD-RD=PD-AC=y-y_1</math>

			<math>BQ=BE-QE=BE-PD=y_2-y</math>

			Substituting in <math> (1)</math> we get

			<math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{x-x_1}{x_2-x}=\frac{y-y_1}{y_2-y}</math>



			Taking <math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{x-x_1}{x_2-x}</math>

			<math>m_1x_2-m_1x=m_2x-m_2x_1</math>

			<math>m_1x_2+m_2x_1=m_2x+m_1x</math>

			<math>m_1x_2+m_2x_1=x(m_2+m_1)</math>

			<math>x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}</math>



			Taking <math>\frac{m_1}{m_2}=\frac{y-y_1}{y_2-y}</math>

			<math>m_1y_2-m_1y=m_2y-m_2y_1</math>

			<math>m_1y_2+m_2y_1=m_2y+m_1y</math>

			<math>m_1y_2+m_2y_1=y(m_2+m_1) </math>

			<math>y=\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}</math>

			So, the coordinates of the point <math>P(x,y)</math> which divides the line segment joining the points <math>A(x_1,y_1)</math> and <math>B(x_2,y_2)</math>, internally, in the ratio <math>m_1:m_2</math> are <math>\left (\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )</math> is the section formula.

			=== Example ===
			Find the coordinates of the point which divides the line segment joining the points <math>(4,-3)</math> and <math>(8,5)</math> in the ratio <math>3:1</math> internally.

			'''Solution''' : Let <math>P(x,y)</math> be the required point.

			<math>x_1=4,y_1=-3</math>

			<math>x_2=8,y_2=5</math>

			<math>m_1=3,m_2=1</math>


			Using the section formula, we get

			<math>x=\frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2}</math>

			<math>x=\frac{3 \times 8+ 1 \times 4}{3+1}=7 </math>


			<math>y=\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2}</math>

			<math>y=\frac{3 \times 5+ 1 \times -3}{3+1}=3 </math>


			Therefore <math>(7,3)</math> is the required point.

	[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~Section Formula~~

Mani at 08:24, 23 August 2023

2023-08-23T08:24:02Z

← Older revision		Revision as of 13:54, 23 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			Section Formula

Mani: Updated Category

2023-08-04T14:09:56Z

Updated Category

← Older revision		Revision as of 19:39, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	~~[[Category:ज्यामिति]]~~
	[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Sarika at 05:35, 4 August 2023

2023-08-04T05:35:41Z

← Older revision		Revision as of 11:05, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]]		[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Sarika at 05:31, 4 August 2023

2023-08-04T05:31:56Z

← Older revision		Revision as of 11:01, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]]		[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category:गणित]]

Sarika at 10:58, 18 April 2023

2023-04-18T10:58:19Z

← Older revision		Revision as of 16:28, 18 April 2023
Line 1:		Line 1:
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:निर्देशांक ज्यामिति~~]][[Category: कक्षा-10~~]]		[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]]

Sarika at 06:42, 21 March 2023

2023-03-21T06:42:17Z

← Older revision		Revision as of 12:12, 21 March 2023
Line 1:		Line 1:
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]]		[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]][[Category: कक्षा-10]]

Mani: added category

2023-01-25T13:23:39Z

added category

← Older revision		Revision as of 18:53, 25 January 2023
Line 1:		Line 1:
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
			[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]]