विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल - Revision history

Mani: formulas

2024-11-23T14:02:43Z

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← Older revision		Revision as of 19:32, 23 November 2024
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	और		और

	<math>S_n=2 + 5 + 14 + 41 +...~~a_n</math><sub>~~-1~~</sub><math>~~+a_n...(ii)</math>		<math>S_n=2 + 5 + 14 + 41 +...a_{n-1}+a_n...(ii)</math>

	समीकरण (ii) को (i) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है		समीकरण (ii) को (i) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
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	यहाँ, <math>3 + 9 + 27 +...</math> एक ज्यामितीय श्रेणी है।		यहाँ, <math>3 + 9 + 27 +...</math> एक ज्यामितीय श्रेणी है।

	तो, <math>a_n = 2 + [3(3^n~~</math><sup>~~-1~~</sup><math>~~-1)~~</math><math>~~/2]</math>		तो, <math>a_n = 2 + [3(3^{n-1}-1)/2]</math>

	<math>= \frac{[4 + 3^n-3]}{2}</math>		<math>= \frac{[4 + 3^n-3]}{2}</math>
Line 226:		Line 226:
	<math>= \left ( \frac{1}{2} \right ) [\left ( \frac{3}{2} \right )(3^n- 1) + n]</math>		<math>= \left ( \frac{1}{2} \right ) [\left ( \frac{3}{2} \right )(3^n- 1) + n]</math>

	<math>= [(3^n~~</math><sup>~~+1~~</sup><math>~~-3 + 2n)/4~~</math><math>]~~</math>		<math>= \Biggl({(3^{n+1}-3 + 2n)\over 4}\Biggr)</math>

	इसलिए, दी गई श्रृंखला का योग <math>= ~~(3^n~~</math><~~sup~~>+1~~</sup> <math>~~+ 2n-3)/4</math>		इसलिए, दी गई श्रृंखला का योग <math>=</math> <math>(3^{n+1}+ 2n-3)\over 4 </math>
	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-19T06:54:16Z

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← Older revision		Revision as of 12:24, 19 November 2024
Line 1:		Line 1:
	गणित में, हम विभिन्न प्रकार की श्रेणीयों जैसे समांतर श्रेणी, गुणोत्तर श्रेणी, हरात्मक(हार्मोनिक) श्रेणी आदि पर प्रभाव डाल सकते हैं। इनके अतिरिक्त , हम कुछ विशेष श्रेणीयों को देख सकते हैं जिनके लिए हम विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके पदों का योग ज्ञात कर सकते हैं। इस लेख में, आप तीन सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विशेष श्रेणीयाँ और <math>n </math> पदों तक इन श्रेणीयों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति के साथ-साथ हल किए गए उदाहरण के बारे में जानेंगे।		गणित में, हम विभिन्न प्रकार की श्रेणीयों जैसे समांतर [[श्रेणी]], गुणोत्तर श्रेणी, हरात्मक(हार्मोनिक) श्रेणी आदि पर प्रभाव डाल सकते हैं। इनके अतिरिक्त , हम कुछ विशेष श्रेणीयों को देख सकते हैं जिनके लिए हम विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके पदों का योग ज्ञात कर सकते हैं। इस लेख में, आप तीन सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विशेष श्रेणीयाँ और <math>n </math> पदों तक इन श्रेणीयों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति के साथ-साथ हल किए गए उदाहरण के बारे में जानेंगे।

	== विशेष श्रेणी के n पदों का योग ==		== विशेष श्रेणी के n पदों का योग ==
	कुछ विशेष श्रेणियाँ नीचे दी गई हैं:		कुछ विशेष श्रेणियाँ नीचे दी गई हैं:

	(i)<math>1 + 2 + 3 +...+ n</math> (प्रथम <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं का योग)		(i)<math>1 + 2 + 3 +...+ n</math> (प्रथम <math>n </math> [[प्राकृतिक संख्याएँ\|प्राकृतिक संख्याओं]] का योग)

	(ii) <math>1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2</math> (प्रथम <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग)		(ii) <math>1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2</math> (प्रथम <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग)
Line 186:		Line 186:

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
	श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात करें: <math>2 + 5 + 14 + 41 +...</math>		श्रेणी के <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करें: <math>2 + 5 + 14 + 41 +...</math>

	समाधान:		समाधान:
Line 192:		Line 192:
	<math>2 + 5 + 14 + 41 +...</math>		<math>2 + 5 + 14 + 41 +...</math>

	इस ~~श्रृंखला~~ के दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर है: <math>3, 9, 27,...</math>		इस श्रेणी के दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर है: <math>3, 9, 27,...</math>

	मान लीजिए Sn इसके n पदों का योग है और an इसका ~~nवाँ~~ पद है। फिर,		मान लीजिए <math>S_n</math> इसके <math>n</math> पदों का योग है और <math>a_n</math> इसका <math>n</math>वाँ पद है। फिर,

	<math>S_n=2 + 5 + 14 + 41 +...a_n...(i)</math>		<math>S_n=2 + 5 + 14 + 41 +...a_n...(i)</math>

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2024-11-19T06:45:59Z

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← Older revision		Revision as of 12:15, 19 November 2024
Line 186:		Line 186:

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
	श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात करें: 2 + 5 + 14 + 41 +….		श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात करें: <math>2 + 5 + 14 + 41 +...</math>

	समाधान:		समाधान:

	2 + 5 + 14 + 41 +….		<math>2 + 5 + 14 + 41 +...</math>

	इस श्रृंखला के दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर है: 3, 9, 27, ….		इस श्रृंखला के दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर है: <math>3, 9, 27,...</math>

	मान लीजिए Sn इसके n पदों का योग है और an इसका nवाँ पद है। फिर,		मान लीजिए Sn इसके n पदों का योग है और an इसका nवाँ पद है। फिर,

	Sn =2 + 5 + 14 + 41 + ~~… + an…~~.(i)		<math>S_n=2 + 5 + 14 + 41 +...a_n...(i)</math>

	और		और

	Sn = 2 + 5+ 14 + 41 + ~~… + an –~~ 1 + ~~an…~~.(ii)		<math>S_n=2 + 5 + 14 + 41 +...a_n</math><sub>-1</sub><math>+a_n...(ii)</math>

	समीकरण (ii) को (i) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है		समीकरण (ii) को (i) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

	0 = 2 + [3 + 9 + 27 + … + (n – 1) पद] ~~– an~~		<math>0 = 2 + [3 + 9 + 27 +... + (n-1)</math>पद<math>]-a_n</math>

	~~⇒ an~~ = 2 + [3 + 9 + 27 + … + (n- 1) पद]		<math>\Rightarrow a_n = 2 + [3 + 9 + 27 + ...+ (n-1)</math> पद<math>]</math>

	यहाँ, 3 + 9 + 27 + … एक ज्यामितीय श्रेणी है।		यहाँ, <math>3 + 9 + 27 +...</math> एक ज्यामितीय श्रेणी है।

	तो, an = 2 + [3(3n-1 – 1)/2]		तो, <math>a_n = 2 + [3(3^n</math><sup>-1</sup><math>-1)</math><math>/2]</math>

	= [4 + ~~3n –~~ 3]/2		<math>= \frac{[4 + 3^n-3]}{2}</math>

	= (1 + 3n)/2		<math>= \frac{(1 + 3^n)}{2}</math>

	अब, हमें उस श्रृंखला का योग ज्ञात करना है जिसका सामान्य पद (1 + 3n)/2 है		अब, हमें उस श्रृंखला का योग ज्ञात करना है जिसका सामान्य पद <math>\frac{(1 + 3^n)}{2}</math> है

	Sn = [(1 + 3)/2] + [(1 + 32)/2] + [(1 + 33)/2] ~~+ …~~. + (1 + 3n)/2		<math>S_n = [\frac{(1 + 3)}{2}] + [\frac{(1 + 3^2)}{2}] +[\frac{(1 + 3^3)}{2}]... + [\frac{(1 + 3^n)}{2}]</math>

	= (1/2) [(3 + 32 + 33 + …. + 3n) + (1 + 1 + 1 + … + n)]		<math>= \left ( \frac{1}{2} \right ) [(3 + 3^2 + 3^3 +... + 3^n) + (1 + 1 + 1 +... + n)]</math>

	= (1/2) {[3(~~3n –~~ 1)/(3 – 1)] + n}		<math>= \left ( \frac{1}{2} \right ) \{[\frac{3(3^n- 1)}{(3- 1)}] + n\}</math>

	= (1/2) [(3/2)(~~3n –~~ 1) + n]		<math>= \left ( \frac{1}{2} \right ) [\left ( \frac{3}{2} \right )(3^n- 1) + n]</math>

	= [(3n+1 – 3 + 2n)/4]		<math>= [(3^n</math><sup>+1</sup><math>-3 + 2n)/4</math><math>]</math>

	इसलिए, दी गई श्रृंखला का योग = (3n+1 + 2n – 3)/4		इसलिए, दी गई श्रृंखला का योग <math>= (3^n</math><sup>+1</sup> <math>+ 2n-3)/4</math>
	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-19T05:35:30Z

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← Older revision		Revision as of 11:05, 19 November 2024
Line 184:		Line 184:

	इसलिए, पहली <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग <math> \frac{[n(n+1)]^2}{4}</math>		इसलिए, पहली <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग <math> \frac{[n(n+1)]^2}{4}</math>

			== उदाहरण ==
			श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात करें: 2 + 5 + 14 + 41 +….

			समाधान:

			2 + 5 + 14 + 41 +….

			इस श्रृंखला के दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर है: 3, 9, 27, ….

			मान लीजिए Sn इसके n पदों का योग है और an इसका nवाँ पद है। फिर,

			Sn =2 + 5 + 14 + 41 + … + an….(i)

			और

			Sn = 2 + 5+ 14 + 41 + … + an – 1 + an….(ii)

			समीकरण (ii) को (i) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

			0 = 2 + [3 + 9 + 27 + … + (n – 1) पद] – an

			⇒ an = 2 + [3 + 9 + 27 + … + (n- 1) पद]

			यहाँ, 3 + 9 + 27 + … एक ज्यामितीय श्रेणी है।

			तो, an = 2 + [3(3n-1 – 1)/2]

			= [4 + 3n – 3]/2

			= (1 + 3n)/2

			अब, हमें उस श्रृंखला का योग ज्ञात करना है जिसका सामान्य पद (1 + 3n)/2 है

			Sn = [(1 + 3)/2] + [(1 + 32)/2] + [(1 + 33)/2] + …. + (1 + 3n)/2

			= (1/2) [(3 + 32 + 33 + …. + 3n) + (1 + 1 + 1 + … + n)]

			= (1/2) {[3(3n – 1)/(3 – 1)] + n}

			= (1/2) [(3/2)(3n – 1) + n]

			= [(3n+1 – 3 + 2n)/4]

			इसलिए, दी गई श्रृंखला का योग = (3n+1 + 2n – 3)/4
	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-19T05:34:00Z

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← Older revision		Revision as of 11:04, 19 November 2024
Line 175:		Line 175:
	<math>\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^3= \frac{1}{4}[n^4+4n^3+6n^2+4n-n(2n^2+3n+1)-2n(n+1)-n]</math>		<math>\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^3= \frac{1}{4}[n^4+4n^3+6n^2+4n-n(2n^2+3n+1)-2n(n+1)-n]</math>

	= (1/4) [n4 + ~~4n3~~ + ~~6n2~~ + 4n ~~– 2n3 – 3n2 –~~ n ~~– 2n2 –~~ 2n – n]		<math>=\left ( \frac{1}{4} \right )[n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n-2n^3-3n^2-n-2n^2-2n-n]</math>

	= (1/4) [n4 + ~~2n3~~ + n2]		<math>= \left ( \frac{1}{4} \right ) [n^4 + 2n^3 + n^2]</math>

	= (1/4)[n2(n2 + 2n + 1)]		<math>= \left ( \frac{1}{4} \right )[n^2(n^2 + 2n + 1)]</math>

	= (1/4)[n2(n + 1)2]		<math>= \left ( \frac{1}{4} \right )[n^2(n + 1)^2]</math>

	इसलिए, पहली <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग = [एन(एन + 1)]2/4		इसलिए, पहली <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग <math> \frac{[n(n+1)]^2}{4}</math>
	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-19T04:19:07Z

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← Older revision		Revision as of 09:49, 19 November 2024
Line 171:		Line 171:
	पदों को पुनर्व्यवस्थित करके,		पदों को पुनर्व्यवस्थित करके,

	<math>~~n^4+4n^3+6n^2+4n=~~4\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^3+6[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]+4[\frac{n(n+1)}{2}]+n</math>		<math>4\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^3= n^4+4n^3+6n^2+4n-6[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]-4[\frac{n(n+1)}{2}]-n</math>

			<math>\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^3= \frac{1}{4}[n^4+4n^3+6n^2+4n-n(2n^2+3n+1)-2n(n+1)-n]</math>

	= (1/4) [n4 + 4n3 + 6n2 + 4n – 2n3 – 3n2 – n – 2n2 – 2n – n]		= (1/4) [n4 + 4n3 + 6n2 + 4n – 2n3 – 3n2 – n – 2n2 – 2n – n]

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2024-11-19T04:11:03Z

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← Older revision		Revision as of 09:41, 19 November 2024
Line 166:		Line 166:

	इस प्रकार,		इस प्रकार,

			<math>n^4+4n^3+6n^2+4n=4\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^3+6[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]+4[\frac{n(n+1)}{2}]+n</math>

	पदों को पुनर्व्यवस्थित करके,		पदों को पुनर्व्यवस्थित करके,

			<math>n^4+4n^3+6n^2+4n=4\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^3+6[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}]+4[\frac{n(n+1)}{2}]+n</math>

	= (1/4) [n4 + 4n3 + 6n2 + 4n – 2n3 – 3n2 – n – 2n2 – 2n – n]		= (1/4) [n4 + 4n3 + 6n2 + 4n – 2n3 – 3n2 – n – 2n2 – 2n – n]

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2024-11-19T04:04:42Z

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← Older revision		Revision as of 09:34, 19 November 2024
Line 155:		Line 155:
	<math>(n + 1)^4-1^4 = 4(1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3) + 6(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) + 4(1 + 2 + 3 +...+ n) + n</math>		<math>(n + 1)^4-1^4 = 4(1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3) + 6(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) + 4(1 + 2 + 3 +...+ n) + n</math>

			<math>n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1=4\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^3+6\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^2+4\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k+n</math>

			हम जानते हैं कि,

	~~हम जानते हैं कि,~~		<math>\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k=\frac{n(n+1)}{2}</math>

	और		और

			<math>\textstyle \sum_{k=1}^n \displaystyle k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>

	इस प्रकार,		इस प्रकार,

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2024-11-19T03:54:43Z

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← Older revision		Revision as of 09:24, 19 November 2024
Line 137:		Line 137:
	<math>2^4-1^4 = 4(1)^3 + 6(1)^2 + 4(1) + 1 </math>		<math>2^4-1^4 = 4(1)^3 + 6(1)^2 + 4(1) + 1 </math>

	~~34 – 24~~ = 4(2)3 + 6(2)2 + 4(2) + 1		<math>3^4 -2^4 = 4(2)^3 + 6(2)^2 + 4(2) + 1</math>

	~~44 – 34~~ = 4(3)3 + 6(3)2 + 4(3) + 1		<math>4^4-3^4 = 4(3)^3 + 6(3)^2 + 4(3) + 1</math>

	…..		<math>....</math>

	(n – 1)4 – (n – 2)4 = 4(n – 2)3 + 6(n – 2)2 + 4(n – 2) + 1		<math>(n-1)^4- (n-2)^4 = 4(n-2)^3 + 6(n-2)^2 + 4(n-2) + 1</math>

	~~n4 –~~ (n – 1)4 = 4(n – 1)3 + 6(n – 1)2 + 4(n – 1) + 1		<math>n^4-(n-1)^4 = 4(n-1)^3 + 6(n-1)^2 + 4(n-1) + 1</math>

	(n + 1)4 ~~– n4~~ = ~~4n3~~ + ~~6n2~~ + 4n + 1		<math>(n + 1)^4-n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1</math>

	इन समीकरणों के दोनों पक्षों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है;		इन समीकरणों के दोनों पक्षों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है;

	~~24 – 14~~ + ~~34 – 24~~ + ~~44 – 34~~ + …. + (n + 1)4 ~~– n4~~ = 4(1)3 + 6(1)2 + 4(1) + 1 + 4(2)3 + 6(2)2 + 4(2) + 1 + 4(3)3 + 6(3)2 + 4(3) + 1 + …. + ~~4n3~~ + ~~6n2~~ + 4n + 1		<math>2^4-1^4 + 3^4-2^4 + 4^4-3^4 +... + (n + 1)^4-n^4 = 4(1)^3 + 6(1)^2 + 4(1) + 1 + 4(2)^3 + 6(2)^2 + 4(2) + 1 + 4(3)^3 + 6(3)^2 + 4(3) + 1 +.... + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1</math>

			<math>(n + 1)^4-1^4 = 4(1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ n^3) + 6(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) + 4(1 + 2 + 3 +...+ n) + n</math>


	~~(n + 1)4 – 14 = 4(13 + 23 + 33 +…+ n3) + 6(12 + 22 + 32 + …+ n2) + 4(1 + 2 + 3 +…+ n) + n~~

	हम जानते हैं कि,		हम जानते हैं कि,

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2024-11-18T12:32:28Z

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← Older revision		Revision as of 18:02, 18 November 2024
Line 1:		Line 1:
	गणित में, हम विभिन्न प्रकार की श्रेणीयों जैसे समांतर श्रेणी, गुणोत्तर श्रेणी, हरात्मक(हार्मोनिक) श्रेणी आदि पर प्रभाव डाल सकते हैं। इनके अतिरिक्त , हम कुछ विशेष श्रेणीयों को देख सकते हैं जिनके लिए हम विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके पदों का योग ज्ञात कर सकते हैं। इस लेख में, आप तीन सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विशेष श्रेणीयाँ और <math>n </math> पदों तक इन श्रेणीयों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति के साथ-साथ हल किए गए उदाहरण के बारे में जानेंगे।		गणित में, हम विभिन्न प्रकार की श्रेणीयों जैसे समांतर श्रेणी, गुणोत्तर श्रेणी, हरात्मक(हार्मोनिक) श्रेणी आदि पर प्रभाव डाल सकते हैं। इनके अतिरिक्त , हम कुछ विशेष श्रेणीयों को देख सकते हैं जिनके लिए हम विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके पदों का योग ज्ञात कर सकते हैं। इस लेख में, आप तीन सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विशेष श्रेणीयाँ और <math>n </math> पदों तक इन श्रेणीयों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्रों की व्युत्पत्ति के साथ-साथ हल किए गए उदाहरण के बारे में जानेंगे।

	== विशेष श्रेणी के ~~<math>~~n ~~</math>~~ पदों का योग ==		== विशेष श्रेणी के n पदों का योग ==
	कुछ विशेष श्रेणियाँ नीचे दी गई हैं:		कुछ विशेष श्रेणियाँ नीचे दी गई हैं:

Line 12:		Line 12:
	आइए यहाँ उल्लिखित विशेष श्रेणी के <math>n </math> पदों तक का योग एक-एक करके ज्ञात करें।		आइए यहाँ उल्लिखित विशेष श्रेणी के <math>n </math> पदों तक का योग एक-एक करके ज्ञात करें।

	=== प्रथम ~~<math>~~n ~~</math>~~ प्राकृतिक संख्याओं का योग ===		=== प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग ===
	प्राकृतिक संख्याएँ हैं: <math>1, 2, 3, 4,...</math>		प्राकृतिक संख्याएँ हैं: <math>1, 2, 3, 4,...</math>

Line 39:		Line 39:
	इसलिए, प्रथम <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं का योग <math>= \frac{n(n + 1)}{2}</math>		इसलिए, प्रथम <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं का योग <math>= \frac{n(n + 1)}{2}</math>

	=== प्रथम ~~<math>~~n ~~</math>~~ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ===		=== प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग ===
	प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग हैं: <math>1^2, 2^2, 3^2, 4^2,...</math>		प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग हैं: <math>1^2, 2^2, 3^2, 4^2,...</math>

Line 119:		Line 119:

	=== प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ===		=== प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग ===
	प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग हैं: 13, 23, 33, 43,…		प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग हैं: <math>1^3, 2^3, 3^3, 4^3,... </math>

	या		या

	1, 8, 27, 64,….		<math>1, 8, 27, 64,... </math>

	हम n पदों के योग को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: ~~13 + 23 + 33 +…+ n3~~		हम <math>n </math> पदों के योग को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: <math>1^3, 2^3, 3^3, 4^3,...,n^3 </math>

	यह न तो AP है और न ही GP क्योंकि या तो दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर स्थिर नहीं है या दो क्रमागत संख्याओं का अनुपात स्थिर है।		यह न तो AP है और न ही GP क्योंकि या तो दो क्रमागत संख्याओं के बीच का अंतर स्थिर नहीं है या दो क्रमागत संख्याओं का अनुपात स्थिर है।

	आइए नीचे दिए गए व्यंजक पर विचार करके इस ~~श्रृंखला~~ का योग ज्ञात करें:		आइए नीचे दिए गए व्यंजक पर विचार करके इस श्रेणी का योग ज्ञात करें:

	(k + 1)4 ~~– k4~~ = ~~4k3~~ + ~~6k2~~ + 4k + 1		<math>(k + 1)^4- k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 </math>

	k = 1, 2, 3, …, n प्रतिस्थापित करने पर		<math>k = 1, 2, 3,..., n </math> प्रतिस्थापित करने पर

	~~24 – 14~~ = 4(1)3 + 6(1)2 + 4(1) + 1		<math>2^4-1^4 = 4(1)^3 + 6(1)^2 + 4(1) + 1 </math>

	34 – 24 = 4(2)3 + 6(2)2 + 4(2) + 1		34 – 24 = 4(2)3 + 6(2)2 + 4(2) + 1
Line 171:		Line 171:
	= (1/4)[n2(n + 1)2]		= (1/4)[n2(n + 1)2]

	इसलिए, पहली n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग = [एन(एन + 1)]2/4		इसलिए, पहली <math>n </math> प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग = [एन(एन + 1)]2/4
	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]