सदिशों का योगफल - Revision history

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	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	सदिश को दिशा और परिमाण के संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है और उन्हें एक वर्णमाला और उनके ऊपर एक बाण चिन्ह (या) बोल्ड में लिखे गए वर्णमाला के साथ लिखा जाता है। दो सदिशों, <math>a</math> और <math>b,</math> को सदिश जोड़ का उपयोग करके एक साथ जोड़ा जा सकता है, और परिणामी सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: <math>a + b</math>। सदिश जोड़ के गुणों के बारे में जानने से पहले, हमें उन शर्तों के बारे में जानना होगा जिनका सदिश जोड़ते समय पालन किया जाना चाहिए।		[[सदिश]] को दिशा और परिमाण के संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है और उन्हें एक वर्णमाला और उनके ऊपर एक बाण चिन्ह (या) बोल्ड में लिखे गए वर्णमाला के साथ लिखा जाता है। दो सदिशों, <math>a</math> और <math>b,</math> को सदिश जोड़ का उपयोग करके एक साथ जोड़ा जा सकता है, और परिणामी सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: <math>a + b</math>। सदिश जोड़ के गुणों के बारे में जानने से पहले, हमें उन शर्तों के बारे में जानना होगा जिनका सदिश जोड़ते समय पालन किया जाना चाहिए।

	शर्तें इस प्रकार हैं:		शर्तें इस प्रकार हैं:

	* सदिशों को तभी जोड़ा जा सकता है जब वे एक ही स्वरूप के हों। उदाहरण के लिए, त्वरण को केवल त्वरण के साथ जोड़ा जाना चाहिए, द्रव्यमान के साथ नहीं		* [[सदिशों के प्रकार\|सदिशों]] को तभी जोड़ा जा सकता है जब वे एक ही स्वरूप के हों। उदाहरण के लिए, त्वरण को केवल त्वरण के साथ जोड़ा जाना चाहिए, द्रव्यमान के साथ नहीं
	* हम सदिशों और अदिशों को एक साथ नहीं जोड़ सकते		* हम सदिशों और अदिशों को एक साथ नहीं जोड़ सकते

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	* अवयवों का उपयोग करके सदिश योगफल		* अवयवों का उपयोग करके सदिश योगफल
	* सदिशों के योगफल का त्रिभुज नियम		* सदिशों के योगफल का [[सदिश योग का त्रिभुज नियम\|त्रिभुज नियम]]
	* सदिशों के योगफल का समांतर चतुर्भुज नियम		* सदिशों के योगफल का समांतर [[सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम\|चतुर्भुज नियम]]
	[[File:सदिशों का योगफल.jpg\|thumb\|262x262px\|सदिशों का योगफल]]		[[File:सदिशों का योगफल.jpg\|thumb\|262x262px\|सदिशों का योगफल]]

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	* सदिशों के योगफल का त्रिभुज नियम		* सदिशों के योगफल का त्रिभुज नियम
	* सदिशों के योगफल का समांतर चतुर्भुज नियम		* सदिशों के योगफल का समांतर चतुर्भुज नियम
			[[File:सदिशों का योगफल.jpg\|thumb\|262x262px\|सदिशों का योगफल]]

	== अवयवों का उपयोग करके सदिशों का योगफल ==		== अवयवों का उपयोग करके सदिशों का योगफल ==
	कार्टेशियन निर्देशांक में दर्शाए गए सदिश को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अवयवों में विघटित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई छवि में दिखाए गए कोण <math>\phi</math> पर एक सदिश <math>A</math> को इसके ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अवयवों में विघटित किया जा सकता है:		कार्टेशियन निर्देशांक में दर्शाए गए सदिश को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अवयवों में विघटित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई छवि में दिखाए गए कोण <math>\phi</math> पर एक सदिश <math>A</math> को इसके ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अवयवों में विघटित किया जा सकता है:




	उपरोक्त छवि में,		उपरोक्त छवि में,

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	~~Addition of Vectors~~		वेक्टर योग का अनुप्रयोग भौतिक राशियों में होता है जहाँ वेक्टर का उपयोग वेग, विस्थापन और त्वरण को दर्शाने के लिए किया जाता है।

			* वेक्टरों को ज्यामितीय रूप से जोड़ना उनकी पूंछों को एक साथ रखना है और इस प्रकार एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण करना है। वेक्टरों का योग समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होता है जो पूंछों के प्रतिच्छेदन से शुरू होता है।
			* बीजगणितीय रूप से वेक्टरों को जोड़ना उनके संगत घटकों को जोड़ना है।

			इस लेख में, आइए हल किए गए उदाहरणों के साथ वेक्टरों के योग, उनके गुणों और विभिन्न नियमों के बारे में जानें।

			वेक्टर जोड़ क्या है?

			वेक्टर को दिशा और परिमाण के संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है और उन्हें एक वर्णमाला और उनके ऊपर एक तीर (या) बोल्ड में लिखे गए वर्णमाला के साथ लिखा जाता है। दो वेक्टर, a और b, को वेक्टर जोड़ का उपयोग करके एक साथ जोड़ा जा सकता है, और परिणामी वेक्टर को इस प्रकार लिखा जा सकता है: a + b। वेक्टर जोड़ के गुणों के बारे में जानने से पहले, हमें उन शर्तों के बारे में जानना होगा जिनका वेक्टर जोड़ते समय पालन किया जाना चाहिए। शर्तें इस प्रकार हैं:

			सदिशों को तभी जोड़ा जा सकता है जब वे एक ही प्रकृति के हों। उदाहरण के लिए, त्वरण को केवल त्वरण के साथ जोड़ा जाना चाहिए, द्रव्यमान के साथ नहीं

			हम सदिशों और अदिशों को एक साथ नहीं जोड़ सकते

			दो सदिशों C और D पर विचार करें, जहाँ, C = Cxi + Cyj + Czk और D = Dxi + Dyj + Dzk. फिर, परिणामी सदिश (या सदिश योग सूत्र) R = C + D = (Cx + Dx)i + (Cy + Dy)j + (Cz + Cz) k है

			== सदिश योग के गुण ==
			वेक्टर जोड़ बीजीय जोड़ से अलग है। वेक्टर जोड़ करते समय विचार किए जाने वाले कुछ महत्वपूर्ण गुण यहां दिए गए हैं:




			== वेक्टरों का ग्राफिक रूप से योग ==
			वेक्टरों का योग ग्राफिकल और गणितीय विधियों का उपयोग करके किया जा सकता है। ये विधियाँ इस प्रकार हैं:

			* घटकों का उपयोग करके वेक्टर योग
			* वेक्टरों के योग का त्रिभुज नियम
			* वेक्टरों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम

			== घटकों का उपयोग करके वेक्टर जोड़ना ==
			कार्टेशियन निर्देशांक में दर्शाए गए वेक्टर को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में विघटित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दी गई छवि में दिखाए गए कोण Φ पर एक वेक्टर A को इसके ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में विघटित किया जा सकता है:



			उपरोक्त छवि में,

			Ax, क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष) के साथ सदिश A के घटक को दर्शाता है, और

			Ay, ऊर्ध्वाधर अक्ष (y-अक्ष) के साथ सदिश A के घटक को दर्शाता है।

			हम देख सकते हैं कि तीनों सदिश एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं और सदिश A को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

			'''A''' = '''Ax''' + '''Ay'''

			गणितीय रूप से, दिए गए सदिश के परिमाण और कोण का उपयोग करके, हम सदिश के घटकों को निर्धारित कर सकते हैं।

			'''Ax''' = A cos Φ

			'''Ay''' = A sin Φ

			दो सदिशों के लिए, यदि उनके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक दिए गए हैं, तो परिणामी सदिश की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि Ax और Ay के मान दिए गए हैं, तो हम सदिश A के कोण और परिमाण की गणना इस प्रकार कर पाएंगे:

			\|'''A'''\| = √ (('''Ax''')<sup>2</sup>+('''Ay''')<sup>2</sup>)

			और कोण इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है:

			Φ = tan-1 ('''Ay'''/ '''Ax''')

			इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि:

			* यदि किसी सदिश के घटक दिए गए हैं, तो हम परिणामी सदिश निर्धारित कर सकते हैं
			* इसी तरह, यदि सदिश प्रदान किया गया है, तो हम उपरोक्त समीकरणों का उपयोग करके सदिश के घटकों को निर्धारित कर सकते हैं

			इसी तरह, यदि ये सदिश क्रमित युग्मों यानी स्तंभ सदिशों में व्यक्त किए गए हैं, तो हम उनके घटकों का उपयोग करके सदिशों पर योग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो सदिश P और Q पर विचार करें।

			'''P''' = (p1, p2)

			'''Q''' = (q1, q2)

			परिणामी सदिश M को दो सदिशों P और Q पर सदिश योग करके, इन दोनों सदिशों के क्रमशः x और y घटकों को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है।

			'''M''' = '''P''' + '''Q'''

			'''M''' = (p1+q1, p2+ q2).

			This can be expressed explicitly as:

			Mx = p1 + q1

			My = p2 + q2.

			परिणामी सदिश M का परिमाण ज्ञात करने का परिमाण सूत्र है: \|M\| = √ ((Mx)2+(My)2)

			और कोण की गणना Φ = tan-1 (My/ Mx) के रूप में की जा सकती है



	[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	Addition of Vectors		Addition of Vectors

	~~[[Category:बीजगणित]]~~
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	Addition of Vectors		Addition of Vectors
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:बीजगणित~~]][[Category: कक्षा-12~~]]		[[Category:बीजगणित]]

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	Addition of Vectors		Addition of Vectors
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
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