सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम - Revision history

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	इन दो नियमों का उपयोग करके, हम यह साबित करने जा रहे हैं कि दो सदिशों का योग उन्हें शीर्ष से अन्त्य तक जोड़कर प्राप्त किया जाता है और सदिश योग उस सदिश द्वारा दिया जाता है जो मुक्त अन्त्य और मुक्त शीर्ष को जोड़ता है।		इन दो नियमों का उपयोग करके, हम यह साबित करने जा रहे हैं कि दो सदिशों का योग उन्हें शीर्ष से अन्त्य तक जोड़कर प्राप्त किया जाता है और सदिश योग उस सदिश द्वारा दिया जाता है जो मुक्त अन्त्य और मुक्त शीर्ष को जोड़ता है।

	~~== सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम ==~~
	सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम, एक विधि है जिसका उपयोग सदिश सिद्धांत में दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। हम सदिशों के योग के लिए दो नियमों का अध्ययन करते हैं - सदिश योग का त्रिभुज नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम दो [[सदिशों के प्रकार\|सदिशों]] को जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है जब जोड़े जाने वाले सदिश दो सदिशों की पूंछों को जोड़कर समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ बनाते हैं। फिर, दो सदिशों का योग दो सदिशों की अन्त्य से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।		सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम, एक विधि है जिसका उपयोग सदिश सिद्धांत में दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। हम सदिशों के योग के लिए दो नियमों का अध्ययन करते हैं - सदिश योग का त्रिभुज नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम दो [[सदिशों के प्रकार\|सदिशों]] को जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है जब जोड़े जाने वाले सदिश दो सदिशों की पूंछों को जोड़कर समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ बनाते हैं। फिर, दो सदिशों का योग दो सदिशों की अन्त्य से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।

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	== सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम ==		== सदिशों के योग का समांतर चतुर्भुज नियम ==
	सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम, एक विधि है जिसका उपयोग सदिश सिद्धांत में दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। हम सदिशों के योग के लिए दो नियमों का अध्ययन करते हैं - सदिश योग का त्रिभुज नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम दो सदिशों को जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है जब जोड़े जाने वाले सदिश दो सदिशों की पूंछों को जोड़कर समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ बनाते हैं। फिर, दो सदिशों का योग दो सदिशों की अन्त्य से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।		सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम, एक विधि है जिसका उपयोग सदिश सिद्धांत में दो सदिशों का योग ज्ञात करने के लिए किया जाता है। हम सदिशों के योग के लिए दो नियमों का अध्ययन करते हैं - सदिश योग का त्रिभुज नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम। सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम दो [[सदिशों के प्रकार\|सदिशों]] को जोड़ने के लिए उपयोग किया जाता है जब जोड़े जाने वाले सदिश दो सदिशों की पूंछों को जोड़कर समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ बनाते हैं। फिर, दो सदिशों का योग दो सदिशों की अन्त्य से गुजरने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।

	इस लेख में, हम सदिशों के योग के समांतर चतुर्भुज नियम, इसके सूत्र, कथन और प्रमाण का पता लगाएंगे।		इस लेख में, हम सदिशों के योग के समांतर चतुर्भुज नियम, इसके सूत्र, कथन और प्रमाण का पता लगाएंगे।
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	<math>= 0^\circ</math>		<math>= 0^\circ</math>

	=== जब दो सदिश विपरीत दिशा ~~में कार्य कर रहे~~ हों ===		=== जब दो सदिश विपरीत दिशा हों ===
	यदि सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> विपरीत दिशा में कार्य कर रहे हों, तो हमारे पास <math>\theta = 180^\circ</math> है। इसे सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास यह है		यदि सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> विपरीत दिशा में कार्य कर रहे हों, तो हमारे पास <math>\theta = 180^\circ</math> है। इसे सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास यह है

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	(2) के मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है		(2) के मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

	R<~~sup~~>2~~</sup>~~ = (P + Q cos θ)~~<sup>~~2~~</sup>~~ + (Q sin θ)~~<sup>~~2</~~sup~~>		<math>R^2 = (P + Q cos \theta)^2 + (Q sin \theta)^2</math>

	~~⇒ R~~<~~sup~~>2~~</sup>~~ = P~~<sup>~~2~~</sup>~~ + Q~~<sup>2</sup>cos<sup>~~2~~</sup>θ~~ + 2PQ cos θ + Q~~<sup>2</sup>sin<sup>~~2</~~sup~~>θ		<math>\Rightarrow R^2= P^2+ Q^2cos^2\theta + 2PQ cos \theta + Q^2sin^2\theta</math>

	~~⇒ R~~<~~sup~~>2~~</sup>~~ = P~~<sup>~~2~~</sup>~~ + 2PQ cos θ + Q~~<sup>~~2~~</sup>~~(cos~~<sup>~~2~~</sup>θ~~ + sin~~<sup>~~2</~~sup~~>θ)		<math>\Rightarrow R^2= P^2+ 2PQ cos \theta+ Q^2(cos^2\theta+ sin^2\theta)</math>

	~~⇒ R~~<~~sup~~>2~~</sup>~~ = P~~<sup>~~2~~</sup>~~ + 2PQ cos θ + Q~~<sup>~~2~~</sup>~~ [cos~~<sup>~~2~~</sup>θ~~ + sin~~<sup>~~2</~~sup~~>~~θ = 1]~~		<math>\Rightarrow R^2= P^2+ 2PQ cos \theta+ Q^2[cos^2\theta+ sin^2\theta=1]</math>

	⇒ R = √(P~~<sup>~~2~~</sup>~~ + 2PQ cos θ + Q<~~sup~~>2</~~sup~~>~~) → Magnitude of the resultant vector '''R'''~~		<math>\Rightarrow R = \sqrt{(P^2+ 2PQ cos \theta + Q^2)}</math>→परिणामी सदिश <math>R</math> का परिमाण

	इसके बाद, हम परिणामी सदिश की दिशा निर्धारित करेंगे। समकोण त्रिभुज <math>ODC</math>में,		इसके बाद, हम परिणामी सदिश की दिशा निर्धारित करेंगे। समकोण त्रिभुज <math>ODC</math> में,

	tan β = DC/OD		<math>tan \ \beta = DC/OD</math>

	⇒ tan β = Q sin θ/(OA + AD) [~~From~~ (2)]		<math>\Rightarrow tan \beta = Q sin \theta/(OA + AD)</math> [ (2) से ]

	⇒ tan β = Q sin θ/(P + Q cos θ) [~~From~~ (2)]		<math>\Rightarrow tan \beta = Q sin \theta/(P + Q cos \theta)</math> [ (2) से ]

	~~⇒ β~~ = tan~~<sup>~~-1~~</sup>~~[(Q sin θ)/(P + Q cos θ)] → ~~Direction of the resultant vector '''~~R~~'''~~		<math>\Rightarrow \beta= tan^{-1}[(Q sin \theta)/(P + Q cos \theta)]</math> → परिणामी सदिश <math>R</math> की दिशा

	समांतर चतुर्भुज सदिश योग नियम के कुछ विशेष मामले		समांतर चतुर्भुज सदिश योग नियम के कुछ विशेष मामले
Line 97:		Line 97:

	=== जब दो सदिश समांतर हों (एक ही दिशा में) ===		=== जब दो सदिश समांतर हों (एक ही दिशा में) ===
	यदि सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> समांतर हैं, तो हमारे पास θ = 0° है। इसे सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है		यदि सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> समांतर हैं, तो हमारे पास <math>\theta = 0^\circ</math> है। इसे सदिशों के समांतर चतुर्भुज नियम के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

	\|'''R'''\| = R = √(P<sup>2</sup> + 2PQ cos 0 + Q<sup>2</sup>)		\|'''R'''\| = R = √(P<sup>2</sup> + 2PQ cos 0 + Q<sup>2</sup>)
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	== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==		== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
	सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम को लागू करने के लिए, दो सदिश एक दूसरे की अन्त्य पर जुड़ जाते हैं और समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बनाते हैं।

	जब दो सदिश समांतर होते हैं, तो उनके परिणामी सदिश का परिमाण केवल दो सदिशों के परिमाणों को जोड़कर निर्धारित किया जा सकता है।

	त्रिकोण नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम समतुल्य हैं और परिणामी सदिश के समान मान देते हैं।






























			* सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम को लागू करने के लिए, दो सदिश एक दूसरे की अन्त्य पर जुड़ जाते हैं और समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बनाते हैं।
			* जब दो सदिश समांतर होते हैं, तो उनके परिणामी सदिश का परिमाण केवल दो सदिशों के परिमाणों को जोड़कर निर्धारित किया जा सकता है।
			* त्रिकोण नियम और सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम समतुल्य हैं और परिणामी सदिश के समान मान देते हैं।

	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:सदिश बीजगणित]]		[[Category:सदिश बीजगणित]]

Mani at 05:17, 11 December 2024

2024-12-11T05:17:42Z

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Line 24:		Line 24:
	चरण 3: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण जिसकी अन्त्य सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> के समान है, दो सदिशों के योग को दर्शाता है।		चरण 3: समांतर चतुर्भुज का विकर्ण जिसकी अन्त्य सदिश <math>P</math> और <math>Q</math> के समान है, दो सदिशों के योग को दर्शाता है।

	~~i.e.~~, ~~'''~~P~~'''~~ + ~~'''~~Q~~'''~~ = ~~'''~~R~~.'''~~		अर्थात, <math>P + Q = R</math> ।


Line 30:		Line 30:


			ध्यान दे: यहाँ, सदिश <math>R</math> को परिणामी सदिश (<math>P</math> और <math>Q</math> का) कहा जाता है।
	~~☛नोट~~: यहाँ, सदिश <math>R</math> को परिणामी सदिश (<math>P</math> और <math>Q</math> का) कहा जाता है।

	== समांतर चतुर्भुज सदिश नियम सूत्र ==		== समांतर चतुर्भुज सदिश नियम सूत्र ==
Line 65:		Line 64:
	समकोण त्रिभुज <math>CAD</math> में, हमारे पास है		समकोण त्रिभुज <math>CAD</math> में, हमारे पास है

	cos θ = AD/AC ~~and~~ sin θ = DC/AC		<math>cos \theta = AD/AC </math> और <math>sin \theta = DC/AC</math>

	⇒ AD = AC cos ~~θ and~~ DC = AC sin θ		<math>\Rightarrow AD = AC cos \theta</math> और <math>DC = AC sin \theta</math>

	⇒ AD = Q cos ~~θ and~~ DC = Q sin θ --- (2)		<math>\Rightarrow AD = Q cos \theta</math> और <math>DC = Q sin \theta --- (2)</math>

	(2) के मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है		(2) के मानों को (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

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Mani at 04:15, 11 December 2024

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Line 150:		Line 150:
	= tan<sup>-1</sup>(Q/P)		= tan<sup>-1</sup>(Q/P)

	== ~~समांतर चतुर्भुज सदिश योग नियम पर~~ महत्वपूर्ण ~~नोट्स:~~ ==		== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
	सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम को लागू करने के लिए, दो सदिश एक दूसरे की पूंछ पर जुड़ जाते हैं और समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बनाते हैं।		सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम को लागू करने के लिए, दो सदिश एक दूसरे की पूंछ पर जुड़ जाते हैं और समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ बनाते हैं।

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-Parallelogram law of vector addition
+सदिश योग के नियम
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
 [[Category:सदिश बीजगणित]]

Mani: Updated Category

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Updated Category

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	Parallelogram law of vector addition		Parallelogram law of vector addition
			[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:~~बीजगणित~~]][[Category:~~गणित~~]][[Category:~~कक्षा-12~~]]		[[Category:सदिश बीजगणित]]