सममित तथा विषम सममित आव्यूह - Revision history

Mani: added internal links

2024-11-28T12:24:00Z

added internal links

← Older revision		Revision as of 17:54, 28 November 2024
Line 5:		Line 5:

	=== परिभाषा ===		=== परिभाषा ===
	रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग आव्यूह है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त <math>B</math> आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:		रैखिक बीजगणित में सममित आव्यूह एक वर्ग [[आव्यूह]] है जो तब अपरिवर्तित रहता है जब इसका परिवर्त की गणना की जाती है। इसका अर्थ है, एक आव्यूह जिसका परिवर्त <math>B</math> आव्यूह के बराबर होता है, उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

	एक वर्ग आव्यूह जिसका आकार <math>n \times n</math> है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि <math>B^T = B</math> है। दिए गए आव्यूह <math>B</math> पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।		एक वर्ग आव्यूह जिसका आकार <math>n \times n</math> है, उसे सममित माना जाता है यदि और केवल यदि <math>B^T = B</math> है। दिए गए आव्यूह <math>B</math> पर विचार करें, अर्थात, एक वर्ग आव्यूह जो उस आव्यूह के परिवर्त रूप के बराबर है, जिसे सममित आव्यूह कहा जाता है।
Line 15:		Line 15:
	सभी <math>i</math> और <math>j</math> के लिए या <math>1 \leq i \leq n,</math>और <math>1 \leq j \leq n,</math>। यहाँ,		सभी <math>i</math> और <math>j</math> के लिए या <math>1 \leq i \leq n,</math>और <math>1 \leq j \leq n,</math>। यहाँ,

	* <math>n</math> कोई भी प्राकृतिक संख्या है।		* <math>n</math> कोई भी [[प्राकृतिक संख्याएँ\|प्राकृतिक संख्या]] है।
	* <math>b_{ij}</math> स्थिति <math>(i, j)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>i</math>वीं पंक्ति और <math>j</math>वां स्तंभ है, और		* <math>b_{ij}</math> स्थिति <math>(i, j)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>i</math>वीं पंक्ति और <math>j</math>वां स्तंभ है, और
	* <math>b_{ji}</math> स्थिति<math>(j, i)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>j</math>वीं पंक्ति और <math>i</math>वां स्तंभ है।		* <math>b_{ji}</math> स्थिति<math>(j, i)</math> पर एक तत्व है जो आव्यूह <math>B</math> में <math>j</math>वीं पंक्ति और <math>i</math>वां स्तंभ है।
Line 48:		Line 48:
	सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय होते हैं। इस लेख में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।		सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय होते हैं। इस लेख में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।

	'''प्रमेय 1''': [[वास्तविक संख्याएँ\|वास्तविक संख्या]] तत्वों वाले किसी भी वर्ग [[आव्यूह]] <math>B</math> के लिए, <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है।		'''प्रमेय 1''': [[वास्तविक संख्याएँ\|वास्तविक संख्या]] तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह <math>B</math> के लिए, <math> B + B^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math> B - B^T</math> एक विषम -सममित आव्यूह है।

	उपाय:		उपाय:

Mani: formulas

2024-11-28T12:22:26Z

formulas

← Older revision		Revision as of 17:52, 28 November 2024
Line 126:		Line 126:
	आइए आव्यूह <math>B</math> का उदाहरण लेते हैं,		आइए आव्यूह <math>B</math> का उदाहरण लेते हैं,

			<math>B=\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}</math>

			<math>B^T=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}</math>

	=~~== विषम सममित आव्यूह से संबंधित प्रमेय ===~~		<math>-B=-\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}</math>
	विषम सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-~~साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।~~

	प्रमेय 1: वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए, A + AT एक सममित आव्यूह है, और A - ~~AT एक विषम सममित आव्यूह है।~~		<math>-B=\begin{bmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}</math>

	~~उपाय:~~

	~~मान लें P~~ = ~~A + AT.~~		यहाँ, हम देख सकते हैं कि, <math>B^T = -B</math> , <math>b_{12} =-b_{21},</math> और <math>b_{11} = b_{22} = 0</math> । इस प्रकार, <math>B</math> एक विषम सममित आव्यूह है।

	~~P का परिवर्त इस प्रकार दिया जा सकता है, PT~~ = ~~(A + AT)T~~ = ~~AT + (AT)T~~ = ~~AT + A~~ = ~~A + AT~~ = P		=== विषम सममित आव्यूह से संबंधित प्रमेय ===
			विषम सममित आव्यूह से संबंधित दो महत्वपूर्ण प्रमेय हैं। इस अनुभाग में, आइए इन प्रमेयों के साथ-साथ उनके प्रमाणों के बारे में जानें।

	⇒ A + AT एक सममित आव्यूह है।		'''प्रमेय 1''': वास्तविक संख्या तत्वों वाले किसी भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> के लिए, <math>A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है, और <math>A - A^T</math> एक विषम सममित आव्यूह है।

	~~इसके बाद, हम Q = A - AT~~		उपाय:

	QT = (A + ~~(-AT))T = AT + (-AT)~~T ~~= AT - (AT)T = AT - A = -(A - AT) = -Q~~		मान लें <math>P = A + A^T</math>

	⇒ A ~~- AT एक विषम सममित आव्यूह है।~~		<math>P</math> का परिवर्त इस प्रकार दिया जा सकता है, <math>P^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T = P</math>

	~~प्रमेय 2: किसी भी वर्ग आव्यूह~~ A ~~को सममित आव्यूह, S और विषम~~ सममित आव्यूह~~, V के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि,~~		<math>\Rightarrow A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है।

	A = ~~(1/2) × (A + AT) + (1/2 ) × (~~A - ~~AT)। यहाँ, AT वर्ग आव्यूह~~ A ~~का परिवर्त है।~~		इसके बाद, हम <math>Q = A - A^T</math>

	~~यदि~~ A + ~~AT एक सममित आव्यूह है, तो~~ (~~1/2~~) × (A ~~+ AT~~) ~~भी एक सममित आव्यूह है।~~		<math>Q^T = (A + (-A^T))^T = A^T + (-A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -Q</math>

	~~यदि~~ A - ~~AT एक विषम सममित आव्यूह है, तो (1~~/~~2 ) × (A - AT) भी~~ एक विषम सममित आव्यूह है।		<math>\Rightarrow A - A^T</math> एक विषम सममित आव्यूह है।

	~~इस प्रकार,~~ किसी भी वर्ग आव्यूह को ~~विषम~~ सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है		'''प्रमेय 2''': किसी भी वर्ग आव्यूह <math>A</math> को सममित आव्यूह, S और विषम सममित आव्यूह, V के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जैसे कि,

	=~~== विषम सममित आव्यूह के गुणधर्म ===~~		<math>A = \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (A + A^T) + \left ( \frac{1}{2} \right ) \times (A - A^T)</math>। यहाँ, <math>A^T</math> वर्ग आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त है।
	~~किसी आव्यूह के विषम सममित होने के लिए दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं कि यह एक~~ वर्ग आव्यूह होना चाहिए यानी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए और दूसरी बात, दिया गया आव्यूह अपने परिवर्त के ऋणात्मक के बराबर होना चाहिए। यहाँ विषम सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म दिए गए हैं,

	~~जब दो विषम~~ सममित आव्यूह ~~जोड़े जाते हैं~~, तो ~~परिणामी आव्यूह हमेशा एक विषम~~ सममित आव्यूह होगा। दो विषम सममित आव्यूह A और B पर विचार करें जैसे कि AT = -A, और BT = -B, तो हमारे पास (~~A + B~~)~~T = -~~(A + B) है		यदि <math>A + A^T</math> एक सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (A + A^T)</math> भी एक सममित आव्यूह है।

	विषम सममित आव्यूह ~~का ट्रेस शून्य के बराबर होता~~ है ~~यानी मुख्य विकर्ण में सभी तत्वों का योग~~ भी ~~शून्य के बराबर होता~~ है।		यदि <math>A - A^T</math> एक विषम सममित आव्यूह है, तो <math>\left ( \frac{1}{2} \right ) \times (A - A^T)</math> भी एक विषम सममित आव्यूह है।

	~~एक वास्तविक~~ विषम सममित आव्यूह ~~A का वास्तविक आइजेनवैल्यू, λ शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि विषम~~ सममित आव्यूह के ~~शून्येतर आइजेनवैल्यू गैर-वास्तविक हैं।~~		इस प्रकार, किसी भी वर्ग आव्यूह को विषम सममित आव्यूह और सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

	~~जब किसी स्केलर या वास्तविक संख्या को~~ विषम-सममित आव्यूह से गुणधर्म ~~ा किया जाता है, तो परिणामी~~ आव्यूह भी विषम-सममित ~~आव्यूह होगा। एक स्केलर मान k पर विचार करें, B~~ एक ~~विषम-सममित~~ आव्यूह है, ~~तो परिणामी~~ आव्यूह ~~भी एक~~ विषम सममित आव्यूह ~~है। (kB)T = -kB.~~		=== विषम सममित आव्यूह के गुणधर्म ===
			किसी आव्यूह के विषम सममित होने के लिए दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं कि यह एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए यानी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए और दूसरी बात, दिया गया आव्यूह अपने परिवर्त के ऋणात्मक के बराबर होना चाहिए। यहाँ विषम सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म दिए गए हैं,

	किसी भी वास्तविक विषम सममित आव्यूह A के लिए, I + A आव्यूह व्युत्क्रमणीय होगा, जहाँ I एक पहचान आव्यूह है।		* जब दो विषम सममित आव्यूह जोड़े जाते हैं, तो परिणामी आव्यूह सदैव एक विषम सममित आव्यूह होगा। दो विषम सममित आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> पर विचार करें जैसे कि <math>A^T = -A,</math> और <math>B^T = -B,</math> तो हमारे पास <math>(A + B)^T = -(A + B)</math> है।
			* विषम सममित आव्यूह का अवशेष शून्य के बराबर होता है यानी मुख्य विकर्ण में सभी तत्वों का योग भी शून्य के बराबर होता है।
			* एक वास्तविक विषम सममित आव्यूह <math>A</math> का वास्तविक आइजेनवैल्यू, <math>\lambda</math> शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि विषम सममित आव्यूह के शून्येतर आइजेनवैल्यू गैर-वास्तविक हैं।
			* जब किसी अदिश या वास्तविक संख्या को विषम-सममित आव्यूह से गुणन किया जाता है, तो परिणामी आव्यूह भी विषम-सममित आव्यूह होगा। एक अदिश मान <math>k</math> पर विचार करें, <math>B</math> एक विषम-सममित आव्यूह है, तो परिणामी आव्यूह भी एक विषम सममित आव्यूह है। <math>(kB)^T = -kB</math> ।
			* किसी भी वास्तविक विषम सममित आव्यूह <math>A</math> के लिए, <math>I + A</math> आव्यूह व्युत्क्रमणीय होगा, जहाँ I एक पहचान आव्यूह है।
			* किसी भी वास्तविक विषम सममित आव्यूह <math>A</math> के लिए, <math>A^2</math> एक सममित नकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है।

	किसी भी वास्तविक विषम सममित आव्यूह A के लिए, A2 एक सममित नकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है।
	[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: added content

2024-11-28T11:31:45Z

added content

Show changes

Mani at 11:14, 28 November 2024

2024-11-28T11:14:52Z

Show changes

Mani at 11:07, 28 November 2024

2024-11-28T11:07:25Z

← Older revision		Revision as of 16:37, 28 November 2024
Line 1:		Line 1:
	== I सममित आव्यूह ==		== I) सममित आव्यूह ==
	सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह <math>A, A = A^T</math> की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।		सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह <math>A, A = A^T</math> की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।

Line 108:		Line 108:


	== II विषम सममित मैट्रिक्स ==		== II) विषम सममित मैट्रिक्स ==
	गणित में, विषम सममित आव्यूह को वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स, A के लिए, परिवर्त आव्यूह AT के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक तिरछा-सममित या एंटीसिमेट्रिक आव्यूह A को A = -AT के रूप में दर्शाया जा सकता है। तिरछा-सममित आव्यूह का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।		गणित में, विषम सममित आव्यूह को वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स, A के लिए, परिवर्त आव्यूह AT के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक तिरछा-सममित या एंटीसिमेट्रिक आव्यूह A को A = -AT के रूप में दर्शाया जा सकता है। तिरछा-सममित आव्यूह का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।

Mani at 11:05, 28 November 2024

2024-11-28T11:05:57Z

← Older revision		Revision as of 16:35, 28 November 2024
Line 1:		Line 1:
	== सममित आव्यूह ==		== I सममित आव्यूह ==
	सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह <math>A, A = A^T</math> की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।		सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह <math>A, A = A^T</math> की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।

Line 108:		Line 108:


	== विषम सममित मैट्रिक्स ==		== II विषम सममित मैट्रिक्स ==
	गणित में, विषम सममित आव्यूह को वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स, A के लिए, परिवर्त आव्यूह AT के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक तिरछा-सममित या एंटीसिमेट्रिक आव्यूह A को A = -AT के रूप में दर्शाया जा सकता है। तिरछा-सममित आव्यूह का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।		गणित में, विषम सममित आव्यूह को वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स, A के लिए, परिवर्त आव्यूह AT के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक तिरछा-सममित या एंटीसिमेट्रिक आव्यूह A को A = -AT के रूप में दर्शाया जा सकता है। तिरछा-सममित आव्यूह का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।

Mani: formulas

2024-11-28T11:05:22Z

formulas

Show changes

Mani: formulas

2024-11-28T10:16:18Z

formulas

← Older revision		Revision as of 15:46, 28 November 2024
Line 2:		Line 2:
	सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह <math>A, A = A^T</math> की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।		सममित आव्यूह, एक वर्ग आव्यूह है जो इसके परिवर्त(ट्रांसपोज़) आव्यूह के समान होता है। किसी भी दिए गए आव्यूह <math>A</math> का परिवर्त आव्यूह <math>A^T</math> के रूप में दिया जा सकता है। इसलिए, एक सममित आव्यूह <math>A, A = A^T</math> की शर्त को पूरा करता है। सभी विभिन्न प्रकार के मैट्रिसेस में से, सममित आव्यूह सबसे महत्वपूर्ण में से एक है जिसका उपयोग मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जाता है।

	इस लेख में, आइए सममित आव्यूह , उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ ~~गुणों~~ के बारे में जानें।		इस लेख में, आइए सममित आव्यूह , उनकी परिभाषाओं और हल किए गए उदाहरणों के साथ गुणधर्मों के बारे में जानें।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
Line 34:		Line 34:
	'''4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण:''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1&5 \\ 2&1 & 3&0 \\ -1&3&0&4 \\ 5&0&4&2 \end{bmatrix}</math>		'''4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण:''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1&5 \\ 2&1 & 3&0 \\ -1&3&0&4 \\ 5&0&4&2 \end{bmatrix}</math>
	== सममित आव्यूह के गुणधर्म ==		== सममित आव्यूह के गुणधर्म ==
	यहाँ सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण ~~गुण~~ दिए गए हैं।		यहाँ सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म दिए गए हैं।

	दो सममित आव्यूह का योग और अंतर परिणामी को सममित आव्यूह के रूप में देता है।		* दो सममित आव्यूह का योग और अंतर परिणामी को सममित आव्यूह के रूप में देता है।
			* ऊपर वर्णित गुणधर्म सदैव गुणनफल के लिए सत्य नहीं होता है: सममित आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> दिए गए हैं, तो <math>AB</math> सममित है यदि और केवल यदि <math>A</math> और <math>B</math> गुणधर्म न के विनिमेय गुणधर्म का पालन करते हैं, अर्थात, यदि <math>AB = BA</math> है।
	ऊपर वर्णित ~~गुण हमेशा उत्पाद~~ के लिए सत्य नहीं होता है: सममित आव्यूह A और B दिए गए हैं, तो AB सममित है यदि और केवल यदि A और B ~~गुणन~~ के विनिमेय ~~गुण~~ का पालन करते हैं, अर्थात, यदि AB = BA है।		* [[पूर्णांक]] <math>n</math> के लिए, यदि <math>A</math> सममित है, तो <math>\Rightarrow A^n </math> सममित है।
			* एक सममित आव्यूह के आइगेन मान(आइजेनवैल्यू) सदैव वास्तविक और सकारात्मक होते हैं।
	पूर्णांक n के लिए, यदि A सममित है, तो ~~⇒ An~~ सममित है।		* एक सममित आव्यूह के लिए आव्यूह का निर्धारक और उसका परिवर्त समान होता है।
			* एक सममित आव्यूह का सहायक सममित होता है।
	एक सममित आव्यूह के आइगेन मान ~~हमेशा~~ वास्तविक और सकारात्मक होते हैं।		* सममित आव्यूह का प्रतिलोम सममित होता है।

	एक सममित आव्यूह के लिए आव्यूह का निर्धारक और उसका परिवर्त समान होता है।

	एक सममित आव्यूह का सहायक सममित होता है।

	सममित आव्यूह का ~~व्युत्क्रम~~ सममित होता है।

	== सममित आव्यूह प्रमेय ==		== सममित आव्यूह प्रमेय ==
Line 105:		Line 99:
	गणित में, विषम सममित आव्यूह को वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स, A के लिए, परिवर्त आव्यूह AT के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक तिरछा-सममित या एंटीसिमेट्रिक आव्यूह A को A = -AT के रूप में दर्शाया जा सकता है। तिरछा-सममित आव्यूह का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।		गणित में, विषम सममित आव्यूह को वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इसके परिवर्त आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर होता है। किसी भी वर्ग मैट्रिक्स, A के लिए, परिवर्त आव्यूह AT के रूप में दिया जाता है। इसलिए एक तिरछा-सममित या एंटीसिमेट्रिक आव्यूह A को A = -AT के रूप में दर्शाया जा सकता है। तिरछा-सममित आव्यूह का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि मशीन लर्निंग और सांख्यिकीय विश्लेषण में।

	आइए निम्नलिखित अनुभागों में हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके विषम सममित मैट्रिक्स, उनकी परिभाषाओं और ~~गुणों~~ के बारे में जानें।		आइए निम्नलिखित अनुभागों में हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके विषम सममित मैट्रिक्स, उनकी परिभाषाओं और गुणधर्म ों के बारे में जानें।

	विषम सममित आव्यूह क्या है?		विषम सममित आव्यूह क्या है?
Line 170:		Line 164:


	== विषम सममित आव्यूह के ~~गुण~~ ==		== विषम सममित आव्यूह के गुणधर्म ==
	किसी आव्यूह के विषम सममित होने के लिए दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं कि यह एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए यानी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए और दूसरी बात, दिया गया आव्यूह अपने परिवर्त के ऋणात्मक के बराबर होना चाहिए। यहाँ विषम सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण ~~गुण~~ दिए गए हैं,		किसी आव्यूह के विषम सममित होने के लिए दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं कि यह एक वर्ग आव्यूह होना चाहिए यानी पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होनी चाहिए और दूसरी बात, दिया गया आव्यूह अपने परिवर्त के ऋणात्मक के बराबर होना चाहिए। यहाँ विषम सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुणधर्म दिए गए हैं,

	जब दो विषम सममित आव्यूह जोड़े जाते हैं, तो परिणामी आव्यूह हमेशा एक विषम सममित आव्यूह होगा। दो विषम सममित आव्यूह A और B पर विचार करें जैसे कि AT = -A, और BT = -B, तो हमारे पास (A + B)T = -(A + B) है		जब दो विषम सममित आव्यूह जोड़े जाते हैं, तो परिणामी आव्यूह हमेशा एक विषम सममित आव्यूह होगा। दो विषम सममित आव्यूह A और B पर विचार करें जैसे कि AT = -A, और BT = -B, तो हमारे पास (A + B)T = -(A + B) है
Line 179:		Line 173:
	एक वास्तविक विषम सममित आव्यूह A का वास्तविक आइजेनवैल्यू, λ शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि विषम सममित आव्यूह के शून्येतर आइजेनवैल्यू गैर-वास्तविक हैं।		एक वास्तविक विषम सममित आव्यूह A का वास्तविक आइजेनवैल्यू, λ शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि विषम सममित आव्यूह के शून्येतर आइजेनवैल्यू गैर-वास्तविक हैं।

	जब किसी स्केलर या वास्तविक संख्या को तिरछा-सममित आव्यूह से ~~गुणा~~ किया जाता है, तो परिणामी आव्यूह भी तिरछा-सममित आव्यूह होगा। एक स्केलर मान k पर विचार करें, B एक तिरछा-सममित आव्यूह है, तो परिणामी आव्यूह भी एक विषम सममित आव्यूह है। (kB)T = -kB.		जब किसी स्केलर या वास्तविक संख्या को तिरछा-सममित आव्यूह से गुणधर्म ा किया जाता है, तो परिणामी आव्यूह भी तिरछा-सममित आव्यूह होगा। एक स्केलर मान k पर विचार करें, B एक तिरछा-सममित आव्यूह है, तो परिणामी आव्यूह भी एक विषम सममित आव्यूह है। (kB)T = -kB.

	किसी भी वास्तविक विषम सममित आव्यूह A के लिए, I + A आव्यूह व्युत्क्रमणीय होगा, जहाँ I एक पहचान आव्यूह है।		किसी भी वास्तविक विषम सममित आव्यूह A के लिए, I + A आव्यूह व्युत्क्रमणीय होगा, जहाँ I एक पहचान आव्यूह है।

Mani: formulas

2024-11-28T10:05:07Z

formulas

← Older revision		Revision as of 15:35, 28 November 2024
Line 22:		Line 22:
	आइए आव्यूह <math>B</math> का एक उदाहरण लेते हैं,		आइए आव्यूह <math>B</math> का एक उदाहरण लेते हैं,

	यहाँ, हम देख सकते हैं कि, <math>B^T = B</math>। उदाहरण के लिए, ~~b12~~ = ~~b21~~ = 3, और ~~b13~~ = ~~b31~~ = 6. इस प्रकार, B एक सममित आव्यूह है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित आव्यूह के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।		यहाँ, हम देख सकते हैं कि, <math>B^T = B</math>। उदाहरण के लिए,<math>b_{12} = b_{21} = 3,</math>और <math>b_{13} = b_{31} = 6,</math>. इस प्रकार, B एक सममित आव्यूह है। नीचे विभिन्न क्रमों के सममित आव्यूह के कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

			<math>B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 3&4 & 5 \\ 6&5&9 \end{bmatrix}</math>

			<math>B^T=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 6 \\ 3&4 & 5 \\ 6&5&9 \end{bmatrix}</math>

			'''2 X 2 सममित आव्यूह उदाहरण:''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}</math>

			'''3 X 3 सममित आव्यूह उदाहरण :''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2&1 & 3 \\ -1&3&0 \end{bmatrix}</math>

			'''4 X 4 सममित आव्यूह उदाहरण:''' <math>B=\begin{bmatrix} 1 & 2 &-1&5 \\ 2&1 & 3&0 \\ -1&3&0&4 \\ 5&0&4&2 \end{bmatrix}</math>
	== सममित आव्यूह के गुणधर्म ==		== सममित आव्यूह के गुणधर्म ==
	यहाँ सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुण दिए गए हैं।		यहाँ सममित आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण गुण दिए गए हैं।

Mani: formulas

2024-11-28T06:25:17Z

formulas

Show changes