समाकलन की विधियाँ - Revision history

Mani at 05:05, 5 December 2024

2024-12-05T05:05:59Z

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	समाकलन, एक संपूर्ण को ज्ञात करने के लिए भाग को एकजुट करने का एक उपाय है। समाकलन कलन में, हम एक ऐसा फलन पाते हैं जिसका अंतर दिया गया है। इस प्रकार समाकलन अवकलन का प्रतिलोम है। समाकलन का उपयोग फलन के आलेख द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्र को परिभाषित करने और गणना करने के लिए किया जाता है। वक्र आकार का क्षेत्र इसमें अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या को ज्ञात कर अनुमानित किया जाता है। निःशेषण(क्सहॉशन) की विधि के रूप में जानी जाने वाली इस प्रक्रिया को बाद में समाकलन के रूप में अपनाया गया।		समाकलन, एक संपूर्ण को ज्ञात करने के लिए भाग को एकजुट करने का एक उपाय है। समाकलन कलन में, हम एक ऐसा फलन पाते हैं जिसका अंतर दिया गया है। इस प्रकार समाकलन [[अवकलनीयता\|अवकलन]] का प्रतिलोम है। समाकलन का उपयोग फलन के आलेख द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्र को परिभाषित करने और गणना करने के लिए किया जाता है। वक्र आकार का क्षेत्र इसमें अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या को ज्ञात कर अनुमानित किया जाता है। निःशेषण(क्सहॉशन) की विधि के रूप में जानी जाने वाली इस प्रक्रिया को बाद में समाकलन के रूप में अपनाया गया।

	== परिचय ==		== परिचय ==
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	== समाकलन के उपाय ==		== समाकलन के उपाय ==
	कभी-कभी, कुछ फलन का ~~इंटीग्रल~~ ज्ञात करने के लिए निरीक्षण पर्याप्त नहीं होता है। इसके ~~इंटीग्रल~~ को ज्ञात करने के लिए मानक रूप में फलन को कम करने के लिए अतिरिक्त तरीके हैं। प्रमुख तरीकों पर नीचे चर्चा की गई है।		कभी-कभी, कुछ फलन का समाकलन ज्ञात करने के लिए निरीक्षण पर्याप्त नहीं होता है। इसके समाकलन को ज्ञात करने के लिए मानक रूप में फलन को कम करने के लिए अतिरिक्त तरीके हैं। प्रमुख तरीकों पर नीचे चर्चा की गई है।

	समाकलन के तरीके हैं:		समाकलन के तरीके हैं:
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	=== विधि 2: प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन ===		=== विधि 2: प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन ===
	प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि हमें समाकलन के चर को बदलने देती है ताकि समाकलन को आसान तरीके से एकीकृत किया जा सके।<math>mx = t</math>		प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन विधि हमें समाकलन के चर को बदलने देती है ताकि समाकलन को आसान तरीके से एकीकृत किया जा सके। <math>mx = t</math>

	मान लीजिए, हमें <math>y =\int f(x) dx</math> ज्ञात करना है।		मान लीजिए, हमें <math>y =\int f(x) dx</math> ज्ञात करना है।

Mani: formulas

2024-12-05T04:53:15Z

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	निम्न तालिका कुछ परिमेय फलनों और आंशिक भिन्नों के उनके संगत रूप को दर्शाती है।[[File:आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन.jpg\|thumb\|356x356px\|आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]		निम्न तालिका कुछ परिमेय फलनों और आंशिक भिन्नों के उनके संगत रूप को दर्शाती है।[[File:आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन.jpg\|thumb\|356x356px\|आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]

			उदाहरण के लिए, आइए इसका समाकल ज्ञात करें







	उदाहरण के लिए, आइए इसका समाकल ज्ञात करें

	<math>f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> आंशिक अंशों द्वारा एकीकरण का उपयोग करना।		<math>f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> आंशिक अंशों द्वारा एकीकरण का उपयोग करना।
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	<math>= \log \left\vert \frac{x+1}{x+2} \right\vert + C</math>		<math>= \log \left\vert \frac{x+1}{x+2} \right\vert + C</math>

	=== ~~Method~~ 4: ~~Integration by Parts~~ ===		=== विधि 4: खंडशः समाकलन ===
	~~This Integration rule is used to find the integral of two functions~~.		इस समाकलन नियम का उपयोग दो फलनों का अभिन्न समाकलन ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

			अवकलाजों के गुणन नियम से, हमारे पास है <math>{d(uv) \over dx}=u{dv \over dx}+v{du \over dx}...1)</math>

			समीकरण (1) के दोनों पक्षों पर समाकलन, हमें मिलता है <math>\int u {dv \over dx}dx =uv - \int v\ {du \over dx}dx...2)</math>

	~~By product rule of derivatives, we have ddx~~(uv)=~~udvdx~~+~~vdudx⋯(1)~~		समीकरण (2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>uv=\int u {dv \over dx}dx+\int v{du \over dx}dx</math>

	~~Integration on both sides of equation~~ (1)~~, we get ∫udvdxdx~~=~~uv−∫vdudxdx⋯~~(2)		मान लीजिए <math>u=f(x)</math> और <math>{dv \over dx}=g(x)</math>

	~~Equation~~ (2) ~~can be written as uv~~=~~∫udvdxdx+∫vdudxdx~~		तो, हमारे पास है <math>{du \over dx}=f'(x)</math> और <math>v = \int g(x)dx</math>

	~~Let u=f~~(x) ~~and dvdx=g(x).~~		तो, समीकरण (2) बन जाता है

	~~Then, we have dudx=f′~~(x) ~~and v = ∫~~ g(x)dx.		<math>\int f(x)g(x)dx</math>

	~~So, Equation~~ (2) ~~becomes~~		<math>=f(x)\int g(x)dx-\int [f'(x) \int g(x)dx]dx</math>

	~~∫f(~~x~~)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx−∫[f′(x)∫g(x)dx]dx~~		उदाहरण के लिए, आइए भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके <math>xe^x</math> का समाकल ज्ञात करें।

	~~For example, let's find the integral of xex using integration by parts.~~		<math>\int xe^xdx=x\int e^xdx-\int ({dx \over dx}\int e^xdx]dx</math>

	~~∫xexdx~~=~~x∫exdx−∫(dxdx∫exdx]dx=xex−∫~~[ex)dx~~=xex−ex+C~~		<math>=xe^x-\int [e^x)dx</math>

	~~A few important standard results(Bernoulli's formula):~~		<math>=xe^x-e^x+C</math>

	* ∫ e<sup>ax</sup> sin bx dx = e<sup>ax</sup> /(~~a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>~~)~~[a sin bx - b cos bx] + C~~		कुछ महत्वपूर्ण मानक परिणाम (बर्नौली का सूत्र):
	* ∫ e<sup>ax</sup> cos bx dx = e<sup>ax</sup> /(a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>)[a cos bx + b sin bx] + C

			* <math>\int e^{ax} sin\ bx\ dx = e^{ax} /(a^2 + b^2)[a\ sin\ bx - b\ cos\ bx] + C</math>
			* <math>\int e^{ax} cos\ bx\ dx = e^{ax} /(a^2 + b^2)[a\ cos\ bx + b\ sin\ bx] + C</math>
	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: formulas

2024-12-05T04:08:59Z

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	उदाहरण के लिए, आइए इसका समाकल ज्ञात करें		उदाहरण के लिए, आइए इसका समाकल ज्ञात करें

	f(x)=1(x+1)(x+2) ~~using integration by partial fractions.~~		<math>f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> आंशिक अंशों द्वारा एकीकरण का उपयोग करना।

	~~By using partial fraction we have~~ 1(x+1)(x+2)=Ax+1+Bx+~~2⋯(~~1).		आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर हमें यह प्राप्त होता है <math>\frac{1}{(x+1)(x+2)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}...1)</math>

	~~We will determine the values of~~ A ~~and~~ B.		हम <math>A</math> और <math>B</math> के मान निर्धारित करेंगे।

	~~On comparing in equation~~ (1), ~~we get~~ 1=A(x+2)+B(x+1).		समीकरण (1) की तुलना करने पर, हमें <math>1=A(x+2)+B(x+1)</math> प्राप्त होता है

	~~From this, we have a set of two linear equations.~~

	~~A+B=0 and 2A+B =1~~

	~~On solving these equations we get, A=1 and B=-1.~~

	~~So, equation (1) can be written as 1(x+1)(x+2)=1x+1−1x+2.~~

	~~Now, solving the integral~~

	~~∫(1(x+1)(x+2))dx=∫(1x+1−1x+2)dx=log\|x+1\|−log\|x+2\|+C=log∣∣∣x+1x+2∣∣∣+C~~

			इससे हमें दो रैखिक समीकरणों का एक समूह प्राप्त होता है।

			<math>A+B=0</math> और <math>2A+B =1</math>

			इन समीकरणों को हल करने पर, <math>A=1</math>और <math>B=-1</math> प्राप्त होता है।

			इसलिए, समीकरण (1) को <math>\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}</math> के रूप में लिखा जा सकता है।

			अब, समाकलन को हल करते हुए

			<math>\int (\frac{1}{(x+1)(x+2)})dx</math>

			<math>=\int (\frac{1}{x+1}- \frac{1}{x+2})dx</math>

			<math>=\log \left\vert x+1 \right\vert - \log \left\vert x+2 \right\vert + C</math>

			<math>= \log \left\vert \frac{x+1}{x+2} \right\vert + C</math>

	=== Method 4: Integration by Parts ===		=== Method 4: Integration by Parts ===

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2024-12-04T16:28:55Z

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 समाकलन, एक संपूर्ण को ज्ञात करने  के लिए भाग को एकजुट करने का एक उपाय है। समाकलन कलन में, हम एक ऐसा फलन पाते हैं जिसका अंतर दिया गया है। इस प्रकार समाकलन  अवकलन का प्रतिलोम है। समाकलन  का उपयोग फलन के आलेख द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्र को परिभाषित करने और गणना करने के लिए किया जाता है। वक्र आकार का क्षेत्र इसमें अंकित बहुभुज की भुजाओं की संख्या  को ज्ञात कर अनुमानित किया जाता है।  निःशेषण(क्सहॉशन) की विधि के रूप में जानी जाने वाली इस प्रक्रिया को बाद में समाकलन के रूप में अपनाया गया।
 हम समाकल के दो रूप प्राप्त करते हैं, '''अनिश्चित''' और '''निश्चित''' समाकल। अवकलन और समाकलन कलन में मौलिक उपकरण हैं जिनका उपयोग गणित और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। समाकलन  के सिद्धांत लाइबनिज द्वारा तैयार किए गए थे। आइए आगे बढ़ते हैं और समाकलन , इसके गुणों और इसकी कुछ शक्तिशाली तकनीकों के बारे में सीखते हैं।
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 === विधि 3: आंशिक भिन्नों का उपयोग करके समाकलन  ===
-मान लीजिए हमें y=∫P(x)Q(x)dx ज्ञात करना है, जहाँ P(x)Q(x) एक अनुचित परिमेय फलन है। हम इसे इस तरह से घटाते हैं कि P(x)Q=T(x)+P1(x)Q(x)यहाँ, T(x) x में बहुपद है और P1(x)Q(x)उचित परिमेय फलन है। निम्न तालिका कुछ परिमेय फलनों और आंशिक भिन्नों के उनके संगत रूप को दर्शाती है।
+मान लीजिए हमें <math>y={P(x) \over Q(x)}dx</math> ज्ञात करना है, जहाँ  <math>{P(x) \over Q(x)}</math> एक अनुचित परिमेय फलन है। हम इसे इस तरह से घटाते हैं कि <math>{P(x) \over Q(x)}=T(x)+ {P_1(x) \over Q(x)}</math>  । यहाँ, <math>T(x)</math>, <math>x</math> में बहुपद है और <math>{P_1(x) \over Q(x)}</math> उचित परिमेय फलन है।
 === Method 4: Integration by Parts ===

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Mani: Updated Category

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	Methods of Integration		Methods of Integration

	~~[[Category:कलन]]~~
	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:24, 4 August 2023

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	[[Category:कलन]]		[[Category:कलन]]
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