समान जीवाएं और उनकी केंद्र से दूरीयाँ - Revision history

Mani: added content

2024-09-18T11:16:41Z

added content

← Older revision		Revision as of 16:46, 18 September 2024
Line 1:		Line 1:
	जीवा एक रेखाखंड है जो वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ता है। सामान्यतः, एक वृत्त में अनंत जीवाएँ हो सकती हैं। एक बिंदु से रेखा की दूरी को एक बिंदु से एक रेखा तक लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि हम एक वृत्त पर अनंत जीवाएँ खींचते हैं, तो लंबी जीवा वृत्त के केंद्र के करीब होती है, छोटी जीवा की तुलना में। यहां हम समान जीवाओं और केंद्र से उनकी दूरी से संबंधित प्रमेय और प्रमाण तथा इसके व्युत्क्रम प्रमेय पर विस्तार से चर्चा करेंगे।		जीवा एक रेखाखंड है जो वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ता है। सामान्यतः, एक वृत्त में अनंत जीवाएँ हो सकती हैं। एक बिंदु से रेखा की दूरी को एक बिंदु से एक रेखा तक लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि हम एक वृत्त पर अनंत जीवाएँ खींचते हैं, तो लंबी जीवा वृत्त के केंद्र के करीब होती है, छोटी जीवा की तुलना में। यहां हम समान जीवाओं और केंद्र से उनकी दूरी से संबंधित प्रमेय और प्रमाण तथा इसके व्युत्क्रम प्रमेय पर विस्तार से चर्चा करेंगे।

	== ~~Equal Chords and their Distance from the Centre~~ – ~~Theorem and Proof~~ ==		== समान जीवाएं और उनकी केंद्र से दूरीयाँ – प्रमेय एवं प्रमाण ==

	=== ~~Theorem~~: ===		=== प्रमेय : ===
	~~Equal chords of a circle~~ (~~or of congruent circles~~) ~~are equidistant from the centre~~ (~~or centres~~).		एक वृत्त (या सर्वांगसम वृत्तों) की समान जीवाएँ केंद्र (या केंद्रों) से समान दूरी पर होती हैं।

	'''~~Proof~~:'''		'''प्रमाण:'''
	[[File:Circle-2.jpg\|alt=Fig. 2\|thumb\|150x150px\|~~Fig.~~ 2]]		[[File:Circle-2.jpg\|alt=Fig. 2\|thumb\|150x150px\|चित्र -2]]
	~~Consider a circle with centre~~ <math>O</math>.		केंद्र <math>O</math> वाले एक वृत्त पर विचार करें।

	<math>AB</math> ~~and~~ <math>CD</math> ~~are the equal chords of a circle i.e~~ <math>AB=CD</math>		<math>AB</math> और <math>CD</math> एक वृत्त की समान जीवाएँ हैं अर्थात् <math>AB=CD</math>

	~~The line~~ <math>OX</math> ~~is perpendicular to the chord~~ <math>AB</math> ~~and~~ <math>OY</math> ~~is perpendicular to the chord~~ <math>CD</math>.		रेखा <math>OX</math> जीवा <math>AB</math> पर लंबवत है और <math>OY</math> जीवा <math>CD</math> पर लंबवत है।

	~~We have to prove~~ <math>OX=OY</math>.		हमें प्रमाणित करना होगा <math>OX=OY</math>.

	~~Also~~, ~~the line~~ <math>OX</math> ~~is perpendicular to~~ <math>AB</math>.		साथ ही, रेखा <math>OX</math>, <math>AB</math>पर लंबवत है।

	~~As the perpendicular from the centre of the circle to a chord~~, ~~bisects the chord, we can write it as~~		चूँकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

	<math>AX=BX=\frac{AB}{2} .... (1)</math>		<math>AX=BX=\frac{AB}{2} .... (1)</math>

	~~Similarly~~, ~~the line~~ <math>OY</math> ~~is perpendicular to~~ <math>CD</math>,		इसी प्रकार, रेखा <math>OY</math>, <math>CD</math> पर लंबवत है,

	<math>CY=DY=\frac{CD}{2} .... (2)</math> [~~Since~~, ~~the perpendicular from the centre of the circle to a chord, bisects the chord~~)		<math>CY=DY=\frac{CD}{2} .... (2)</math> [चूँकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है)

	~~Given that~~, <math>AB=CD</math>		मान लें कि, <math>AB=CD</math>

	<math>\frac{AB}{2}=\frac{CD}{2} .... (2)</math>		<math>\frac{AB}{2}=\frac{CD}{2} .... (2)</math>

	~~Therefore~~, <math>AX=CY .... (3)</math> [~~Using~~ <math>(1)</math> ~~and~~ <math>(2)</math>]		अत:, <math>AX=CY .... (3)</math> [<math>(1)</math> और <math>(2)</math>का उपयोग करते हुए]

	~~Now~~, ~~by using the triangles~~ <math>AOX</math> ~~and~~ <math>COY</math> ,		अब, त्रिभुजों का उपयोग करके <math>AOX</math> और <math>COY</math> ,

	<math>\angle OXA =\angle OYC =90^\circ </math>		<math>\angle OXA =\angle OYC =90^\circ </math>

	<math>OA =OC </math> (~~Radii~~)		<math>OA =OC </math> (त्रिज्या)

	<math>AX=CY .... (3)</math>		<math>AX=CY .... (3)</math>

	~~From the~~ RHS ~~rule~~, ~~we can write it as~~		RHS नियम से, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं

	<math>\triangle AOX \cong \triangle COY</math>		<math>\triangle AOX \cong \triangle COY</math>

	~~Hence, we can conclude that~~ <math>OX=OY</math>(~~Using~~ CPCT)		अतः हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि <math>OX=OY</math>(CPCT का उपयोग करते हुए)

	~~Therefore~~, ~~the theorem “equal chords of a circle~~ (~~or of congruent circles~~) ~~are equidistant from the centre~~ (~~or centres~~)”, ~~is proved.~~		इसलिए, प्रमेय "एक वृत्त (या सर्वांगसम वृत्तों) की समान जीवाएँ केंद्र (या केंद्रों) से समान दूरी पर होती हैं", सिद्ध होता है।

	=== ~~Converse of this Theorem~~ ===		=== इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===
	~~The converse of the above-mentioned theorem is “chords equidistant from the centre of a circle are equal in length”.~~		उपर्युक्त प्रमेय का व्युत्क्रम है "वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं"।

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Mani at 06:50, 18 September 2024

2024-09-18T06:50:12Z

← Older revision		Revision as of 12:20, 18 September 2024
Line 1:		Line 1:
	~~A chord is the line segment which joins two points on the circumference of a circle. In general~~, ~~a circle can have infinitely many chords. The distance of the line from a point is defined as the perpendicular distance from a point to a line. If we draw infinite chords to a circle~~, ~~the longer chord is close to the centre of the circle~~, ~~than the smaller chord of a circle. Here we will discuss the theorem and proof related to the equal chords and their distance from the centre and also its converse theorem in detail.~~		जीवा एक रेखाखंड है जो वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ता है। सामान्यतः, एक वृत्त में अनंत जीवाएँ हो सकती हैं। एक बिंदु से रेखा की दूरी को एक बिंदु से एक रेखा तक लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि हम एक वृत्त पर अनंत जीवाएँ खींचते हैं, तो लंबी जीवा वृत्त के केंद्र के करीब होती है, छोटी जीवा की तुलना में। यहां हम समान जीवाओं और केंद्र से उनकी दूरी से संबंधित प्रमेय और प्रमाण तथा इसके व्युत्क्रम प्रमेय पर विस्तार से चर्चा करेंगे।

	== Equal Chords and their Distance from the Centre – Theorem and Proof ==		== Equal Chords and their Distance from the Centre – Theorem and Proof ==

Mani at 06:37, 18 September 2024

2024-09-18T06:37:23Z

← Older revision		Revision as of 12:07, 18 September 2024
Line 50:		Line 50:
	=== Converse of this Theorem ===		=== Converse of this Theorem ===
	The converse of the above-mentioned theorem is “chords equidistant from the centre of a circle are equal in length”.		The converse of the above-mentioned theorem is “chords equidistant from the centre of a circle are equal in length”.

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Mani at 06:36, 18 September 2024

2024-09-18T06:36:48Z

← Older revision		Revision as of 12:06, 18 September 2024
Line 1:		Line 1:
			A chord is the line segment which joins two points on the circumference of a circle. In general, a circle can have infinitely many chords. The distance of the line from a point is defined as the perpendicular distance from a point to a line. If we draw infinite chords to a circle, the longer chord is close to the centre of the circle, than the smaller chord of a circle. Here we will discuss the theorem and proof related to the equal chords and their distance from the centre and also its converse theorem in detail.

			== Equal Chords and their Distance from the Centre – Theorem and Proof ==

			=== Theorem: ===
			Equal chords of a circle (or of congruent circles) are equidistant from the centre (or centres).

			'''Proof:'''
			[[File:Circle-2.jpg\|alt=Fig. 2\|thumb\|150x150px\|Fig. 2]]
			Consider a circle with centre <math>O</math>.

			<math>AB</math> and <math>CD</math> are the equal chords of a circle i.e <math>AB=CD</math>

			The line <math>OX</math> is perpendicular to the chord <math>AB</math> and <math>OY</math> is perpendicular to the chord <math>CD</math>.

			We have to prove <math>OX=OY</math>.

			Also, the line <math>OX</math> is perpendicular to <math>AB</math>.

			As the perpendicular from the centre of the circle to a chord, bisects the chord, we can write it as

			<math>AX=BX=\frac{AB}{2} .... (1)</math>

			Similarly, the line <math>OY</math> is perpendicular to <math>CD</math>,

			<math>CY=DY=\frac{CD}{2} .... (2)</math> [Since, the perpendicular from the centre of the circle to a chord, bisects the chord)

			Given that, <math>AB=CD</math>

			<math>\frac{AB}{2}=\frac{CD}{2} .... (2)</math>

			Therefore, <math>AX=CY .... (3)</math> [Using <math>(1)</math> and <math>(2)</math>]

			Now, by using the triangles <math>AOX</math> and <math>COY</math> ,

			<math>\angle OXA =\angle OYC =90^\circ </math>

			<math>OA =OC </math> (Radii)

			<math>AX=CY .... (3)</math>

			From the RHS rule, we can write it as

			<math>\triangle AOX \cong \triangle COY</math>

			Hence, we can conclude that <math>OX=OY</math>(Using CPCT)

			Therefore, the theorem “equal chords of a circle (or of congruent circles) are equidistant from the centre (or centres)”, is proved.

			=== Converse of this Theorem ===
			The converse of the above-mentioned theorem is “chords equidistant from the centre of a circle are equal in length”.
	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
	~~Equal chords and their distances from the centre~~

Mani at 08:55, 16 August 2023

2023-08-16T08:55:17Z

← Older revision		Revision as of 14:25, 16 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
			Equal chords and their distances from the centre

Ramamurthy: Category updated

2023-08-06T07:45:49Z

Category updated

← Older revision		Revision as of 13:15, 6 August 2023
Line 1:		Line 1:

	~~[[Category:ज्यामिति]]~~
	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:29, 4 August 2023

2023-08-04T05:29:11Z

← Older revision		Revision as of 10:59, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:22, 4 August 2023

2023-08-04T05:22:06Z

← Older revision		Revision as of 10:52, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:वृत्त]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]]

Sarika at 10:51, 18 April 2023

2023-04-18T10:51:21Z

← Older revision		Revision as of 16:21, 18 April 2023
Line 1:		Line 1:
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:वृत्त~~]][[Category: कक्षा -9~~]]		[[Category:वृत्त]]

Sarika at 06:12, 21 March 2023

2023-03-21T06:12:45Z

← Older revision		Revision as of 11:42, 21 March 2023
Line 1:		Line 1:
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:वृत्त]]		[[Category:वृत्त]][[Category: कक्षा -9]]