समुच्चयों का कार्टेशियन गुणन - Revision history

Mani: content added

2024-04-03T07:38:08Z

content added

← Older revision		Revision as of 13:08, 3 April 2024
Line 29:		Line 29:

	=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन ===		=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन ===
	(i) ~~Two ordered pairs are equal~~, ~~if and only if the corresponding first elements are equal and the second elements are also equal~~,		(i) दो क्रमित युग्म समान हैं, यदि और केवल यदि संगत पहले अवयव समान हैं और दूसरे अवयव भी समान हैं,

	~~i.e.~~ <math>(x,y)=(u,v)</math> ~~if and only if~~ <math>x=u , y=v</math>.		अर्थात <math>(x,y)=(u,v)</math> यदि और केवल यदि <math>x=u , y=v</math>.

	(ii) if <math>n(A)=p,n(B)=q</math> ~~then~~ <math>n(A X B)=pq</math>		(ii) if <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math>

	(iii) <math>A \ X \ A \ X \ A =\{(a,b,c):a,b,c \in A \}</math>. ~~Here~~<math>(a,b,c)</math> ~~is called an ordered triplet.~~		(iii) <math>A \ X \ A \ X \ A =\{(a,b,c):a,b,c \in A \}</math>. यहाँ <math>(a,b,c)</math> को क्रमित त्रिक कहा जाता है।

	~~Example~~:		उदाहरण:

	~~Find the Cartesian product of three sets~~ A = {a, b}, B = {1, 2} ~~and~~ C = {x, y}.		तीन समुच्चयों A = {a, b}, B = {1, 2} और C = {x, y} का कार्टेशियन गुणनफल ज्ञात कीजिए।

	<math>A=\{a,b\}, B=\{1,2\}</math> and <math>C=\{x,y\}</math>		<math>A=\{a,b\}, B=\{1,2\}</math> and <math>C=\{x,y\}</math>

	'''~~Solution~~:'''		'''हल:'''

	~~The ordered pairs of~~<math>A \ X \ B \ X \ C</math> ~~can be formed as given below~~:		<math>A \ X \ B \ X \ C</math> के क्रमित युग्म नीचे दिए गए अनुसार बनाए जा सकते हैं:

	~~1st pair~~ ⇒ {'''a''', b} × {'''1''', 2} × {'''x''', y} ⇒ <math>(a,1,x)</math>		1वां युग्म ⇒ {'''a''', b} × {'''1''', 2} × {'''x''', y} ⇒ <math>(a,1,x)</math>

	~~2nd pair~~ ⇒ {'''a''', b} × {'''1''', 2} × {x, '''y'''} ⇒ (a, 1, y)		2वां युग्म ⇒ {'''a''', b} × {'''1''', 2} × {x, '''y'''} ⇒ (a, 1, y)

	~~3rd pair~~ ⇒ {'''a''', b} × {1, '''2'''} × {'''x''', y} ⇒ (a, 2, x)		3वां युग्म ⇒ {'''a''', b} × {1, '''2'''} × {'''x''', y} ⇒ (a, 2, x)

	~~4th pair~~ ⇒ {'''a''', b} × {1, '''2'''} × {x, '''y'''} ⇒ (a, 2, y)		4वां युग्म ⇒ {'''a''', b} × {1, '''2'''} × {x, '''y'''} ⇒ (a, 2, y)

	~~5th pair~~ ⇒ {a, '''b'''} × {'''1''', 2} × {'''x''', y} ⇒ (b, 1, x)		5वां युग्म ⇒ {a, '''b'''} × {'''1''', 2} × {'''x''', y} ⇒ (b, 1, x)

	~~6th pair~~ ⇒ {a, '''b'''} × {'''1''', 2} × {x, '''y'''} ⇒ (b, 1, y)		6वां युग्म ⇒ {a, '''b'''} × {'''1''', 2} × {x, '''y'''} ⇒ (b, 1, y)

	~~7th pair~~ ⇒ {a, '''b'''} × {1, '''2'''} × {'''x''', y} ⇒ (b, 2, x)		7वां युग्म ⇒ {a, '''b'''} × {1, '''2'''} × {'''x''', y} ⇒ (b, 2, x)

	~~8th pair~~ ⇒ {a, '''b'''} × {1, '''2'''} × {x, '''y'''} ⇒ (b, 2, y)		8वां युग्म ⇒ {a, '''b'''} × {1, '''2'''} × {x, '''y'''} ⇒ (b, 2, y)

	~~Thus~~, ~~the ordered pairs of~~ <math>A \ X \ B \ X \ C</math> ~~can be written as~~:		इस प्रकार, <math>A \ X \ B \ X \ C</math> के क्रमबद्ध युग्मों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

	<math>A \ X \ B \ X \ C =\{ (a,1,x),(a,1,y),(a,2,x),(a,2,y),(b,1,x),(b,1,y),(b,2,x),(b,2,y)\}</math>		<math>A \ X \ B \ X \ C =\{ (a,1,x),(a,1,y),(a,2,x),(a,2,y),(b,1,x),(b,1,y),(b,2,x),(b,2,y)\}</math>

	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: /* समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन */

2024-04-03T06:27:36Z

समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन

← Older revision		Revision as of 11:57, 3 April 2024
Line 29:		Line 29:

	=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन ===		=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन ===
			(i) Two ordered pairs are equal, if and only if the corresponding first elements are equal and the second elements are also equal,

			i.e. <math>(x,y)=(u,v)</math> if and only if <math>x=u , y=v</math>.

			(ii) if <math>n(A)=p,n(B)=q</math> then <math>n(A X B)=pq</math>

			(iii) <math>A \ X \ A \ X \ A =\{(a,b,c):a,b,c \in A \}</math>. Here<math>(a,b,c)</math> is called an ordered triplet.

			Example:

			Find the Cartesian product of three sets A = {a, b}, B = {1, 2} and C = {x, y}.

			<math>A=\{a,b\}, B=\{1,2\}</math> and <math>C=\{x,y\}</math>

			'''Solution:'''

			The ordered pairs of<math>A \ X \ B \ X \ C</math> can be formed as given below:

			1st pair ⇒ {'''a''', b} × {'''1''', 2} × {'''x''', y} ⇒ <math>(a,1,x)</math>

			2nd pair ⇒ {'''a''', b} × {'''1''', 2} × {x, '''y'''} ⇒ (a, 1, y)

			3rd pair ⇒ {'''a''', b} × {1, '''2'''} × {'''x''', y} ⇒ (a, 2, x)

			4th pair ⇒ {'''a''', b} × {1, '''2'''} × {x, '''y'''} ⇒ (a, 2, y)

			5th pair ⇒ {a, '''b'''} × {'''1''', 2} × {'''x''', y} ⇒ (b, 1, x)

			6th pair ⇒ {a, '''b'''} × {'''1''', 2} × {x, '''y'''} ⇒ (b, 1, y)

			7th pair ⇒ {a, '''b'''} × {1, '''2'''} × {'''x''', y} ⇒ (b, 2, x)

			8th pair ⇒ {a, '''b'''} × {1, '''2'''} × {x, '''y'''} ⇒ (b, 2, y)

			Thus, the ordered pairs of <math>A \ X \ B \ X \ C</math> can be written as:

			<math>A \ X \ B \ X \ C =\{ (a,1,x),(a,1,y),(a,2,x),(a,2,y),(b,1,x),(b,1,y),(b,2,x),(b,2,y)\}</math>

	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: added content

2024-04-03T06:27:11Z

added content

← Older revision		Revision as of 11:57, 3 April 2024
Line 29:		Line 29:

	=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन ===		=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन ===


	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: content modified

2024-04-03T06:09:39Z

content modified

← Older revision		Revision as of 11:39, 3 April 2024
Line 2:		Line 2:

	== समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा ==		== समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा ==
	~~मान लीजिए~~ A और B ~~दो समुच्चय इस प्रकार~~ हैं ~~कि A तीन रंगों की मेजों~~ का एक समुच्चय है और B ~~तीन रंगों की कुर्सियों वाली वस्तुओं~~ का ~~एक समुच्चय है, अर्थात~~		दो अरिक्त समुच्चय A और B दिए गए हैं, सभी क्रमित युग्म <math>(x,y)</math> का समुच्चय, जहां <math>x\in A</math>और <math>y\in B</math> को <math>A</math> और <math>B</math> का कार्टेशियन गुणन कहा जाता है। प्रतीकात्मक रूप से हम लिखते हैं

	<math>A=\{~~</math>भूरा~~, ~~हरा~~, ~~पीला<math>~~\}</math>		<math>A X B=\{(x,y): x \in A, y \in B \}</math>

	<math>B=\{</math>~~लाल, नीला, बैंगनी~~<math>\}</math>		यदि <math>A=\{1,2,3\}</math> और <math>B=\{4,5\}</math>, तब

	आइए विभिन्न संयोजनों में टेबल और कुर्सियों के एक समुच्चय से रंगीन वस्तुओं के युग्मों की संख्या ज्ञात करें जिन्हें हम बना सकते हैं।		<math>A X B=\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) \}</math>

	~~इन्हें नीचे दिए गए अनुसार श्रृंखलित किया जा सकता है:~~		<math>B X A=\{(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3) \}</math>

	(भूरा, लाल), (भूरा, नीला), (भूरा, बैंगनी), (हरा, लाल), (हरा, नीला), (हरा, बैंगनी), (पीला, लाल), (पीला, नीला), (पीला) , बैंगनी)		=== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ===

	कार्टेशियन गुणनफल में ऐसे नौ युग्म हैं क्योंकि प्रत्येक परिभाषित समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> में तीन अवयव हैं। उपरोक्त क्रमित युग्म दिए गए समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह गुणन <math>A X B</math> द्वारा दर्शाया गया है।

	== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==
	दो अरिक्त समुच्चय <math>P</math> और <math>Q</math> दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन <math>P X Q</math>, <math>P</math> और <math>Q</math> से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात,		दो अरिक्त समुच्चय <math>P</math> और <math>Q</math> दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन <math>P X Q</math>, <math>P</math> और <math>Q</math> से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात,

Line 23:		Line 19:
	यदि <math>P</math> या <math>Q</math> शून्य समुच्चय है, तो <math>P X Q</math> भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्, <math>P X Q = \emptyset</math>		यदि <math>P</math> या <math>Q</math> शून्य समुच्चय है, तो <math>P X Q</math> भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्, <math>P X Q = \emptyset</math>

	== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ==		=== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ===

	समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> के कार्टेशियन गुणन का गणनांक <math>A X B</math> में क्रमित युग्मों की कुल संख्या होगी		समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> के कार्टेशियन गुणन का गणनांक <math>A X B</math> में क्रमित युग्मों की कुल संख्या होगी

Line 32:		Line 27:

	अर्थात यदि <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math>		अर्थात यदि <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math>

			=== समुच्चय गुणधर्म का कार्टेशियन गुणन ===


	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: added content

2024-04-03T04:47:44Z

added content

← Older revision		Revision as of 10:17, 3 April 2024
Line 25:		Line 25:
	== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ==		== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ==

			समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> के कार्टेशियन गुणन का गणनांक <math>A X B</math> में क्रमित युग्मों की कुल संख्या होगी

			मान लीजिए <math>p</math>, <math>A</math> के अवयवों की संख्या है और <math>q</math>, <math>B</math> में अवयवों की संख्या है।

			तो, <math>A</math> और <math>B</math> के कार्टेशियन गुणन में अवयवों की संख्या <math>pq</math> है

	अर्थात यदि <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math>		अर्थात यदि <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math>
	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: content added

2024-04-03T04:30:34Z

content added

← Older revision		Revision as of 10:00, 3 April 2024
Line 17:		Line 17:

	== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==		== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==
	दो अरिक्त समुच्चय <math>P</math> और <math>Q</math> दिए गए हैं। कार्टेशियन ~~उत्पाद~~ <math>P X Q</math>, <math>P</math> और <math>Q</math> से ~~तत्वों~~ के सभी क्रमित ~~जोड़े~~ का ~~सेट~~ है, अर्थात,		दो अरिक्त समुच्चय <math>P</math> और <math>Q</math> दिए गए हैं। कार्टेशियन गुणन <math>P X Q</math>, <math>P</math> और <math>Q</math> से अवयवों के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय है, अर्थात,

	<math>P X Q=\{(p,q): p \in P, q \in Q \}</math>		<math>P X Q=\{(p,q): p \in P, q \in Q \}</math>

	~~If either~~ <math>P</math> or <math>Q</math> ~~is the null set~~, ~~then~~ <math>P X Q</math> ~~will also be an empty set~~, ~~i.e.~~, <math>P X Q = \emptyset</math>		यदि <math>P</math> या <math>Q</math> शून्य समुच्चय है, तो <math>P X Q</math> भी एक रिक्त समुच्चय होगा, अर्थात्, <math>P X Q = \emptyset</math>

	== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ==		== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ==



			अर्थात यदि <math>n(A)=p,n(B)=q</math> तब <math>n(A X B)=pq</math>
	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: content added

2024-04-03T04:18:49Z

content added

← Older revision		Revision as of 09:48, 3 April 2024
Line 17:		Line 17:

	== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==		== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==
	~~Given two non-empty sets~~ <math>P</math> ~~and~~ <math>Q</math>~~. The Cartesian product~~ <math>P X Q</math> ~~is the set of all ordered pairs of elements from~~ <math>P</math> ~~and~~ <math>Q</math> ,~~i.e.~~,		दो अरिक्त समुच्चय <math>P</math> और <math>Q</math> दिए गए हैं। कार्टेशियन उत्पाद <math>P X Q</math>, <math>P</math> और <math>Q</math> से तत्वों के सभी क्रमित जोड़े का सेट है, अर्थात,

	<math>P X Q=\{(p,q): p \in P, q \in Q \}</math>		<math>P X Q=\{(p,q): p \in P, q \in Q \}</math>
Line 23:		Line 23:
	If either <math>P</math> or <math>Q</math> is the null set, then <math>P X Q</math> will also be an empty set, i.e., <math>P X Q = \emptyset</math>		If either <math>P</math> or <math>Q</math> is the null set, then <math>P X Q</math> will also be an empty set, i.e., <math>P X Q = \emptyset</math>

			== कार्टेशियन गुणन का गणनांक क्या है? ==
	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: /* समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन */

2024-04-03T03:15:50Z

समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन

← Older revision		Revision as of 08:45, 3 April 2024
Line 17:		Line 17:

	== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==		== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==
			Given two non-empty sets <math>P</math> and <math>Q</math>. The Cartesian product <math>P X Q</math> is the set of all ordered pairs of elements from <math>P</math> and <math>Q</math> ,i.e.,

			<math>P X Q=\{(p,q): p \in P, q \in Q \}</math>

			If either <math>P</math> or <math>Q</math> is the null set, then <math>P X Q</math> will also be an empty set, i.e., <math>P X Q = \emptyset</math>

	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: added content

2024-04-03T03:15:31Z

added content

← Older revision		Revision as of 08:45, 3 April 2024
Line 16:		Line 16:
	कार्टेशियन गुणनफल में ऐसे नौ युग्म हैं क्योंकि प्रत्येक परिभाषित समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> में तीन अवयव हैं। उपरोक्त क्रमित युग्म दिए गए समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह गुणन <math>A X B</math> द्वारा दर्शाया गया है।		कार्टेशियन गुणनफल में ऐसे नौ युग्म हैं क्योंकि प्रत्येक परिभाषित समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> में तीन अवयव हैं। उपरोक्त क्रमित युग्म दिए गए समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह गुणन <math>A X B</math> द्वारा दर्शाया गया है।

			== समुच्चय सूत्र का कार्टेशियन गुणन ==
	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: content added

2024-04-03T03:13:39Z

content added

← Older revision		Revision as of 08:43, 3 April 2024
Line 1:		Line 1:
	~~पंक्तियों~~ के ~~समुच्चय~~ और ~~स्तम्भों~~ के समुच्चय का कार्तेज़ीय गुणन लेकर सारणी बनाई जा सकती है। यदि कार्तेज़ीय गुणन पंक्तियों × स्तंभों को लिया जाता है, ~~तो सारणी के कक्ष क्रमित युग्मों (पंक्ति मान, स्तम्भ मान) के रूप में होते हैं।~~		यहां हम सीखेंगे कि दो समुच्चयों के अवयवों के युग्म को कैसे श्रृंखलित किया जाए और फिर शृंखला में दो अवयवों के बीच संबंध कैसे प्रस्तुत किया जाए।

			== समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा ==
			मान लीजिए A और B दो समुच्चय इस प्रकार हैं कि A तीन रंगों की मेजों का एक समुच्चय है और B तीन रंगों की कुर्सियों वाली वस्तुओं का एक समुच्चय है, अर्थात

	~~Cartesian Product of Sets~~		<math>A=\{</math>भूरा, हरा, पीला<math>\}</math>

			<math>B=\{</math>लाल, नीला, बैंगनी<math>\}</math>

			आइए विभिन्न संयोजनों में टेबल और कुर्सियों के एक समुच्चय से रंगीन वस्तुओं के युग्मों की संख्या ज्ञात करें जिन्हें हम बना सकते हैं।

	~~यहां हम सीखेंगे कि दो समुच्चयों के अवयवों के युग्म को कैसे~~ श्रृंखलित किया ~~जाए~~ और ~~फिर शृंखला~~ में ~~दो अवयवों~~ के ~~बीच संबंध कैसे प्रस्तुत किया जाए।~~		इन्हें नीचे दिए गए अनुसार श्रृंखलित किया जा सकता है:

			(भूरा, लाल), (भूरा, नीला), (भूरा, बैंगनी), (हरा, लाल), (हरा, नीला), (हरा, बैंगनी), (पीला, लाल), (पीला, नीला), (पीला) , बैंगनी)

			कार्टेशियन गुणनफल में ऐसे नौ युग्म हैं क्योंकि प्रत्येक परिभाषित समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> में तीन अवयव हैं। उपरोक्त क्रमित युग्म दिए गए समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह गुणन <math>A X B</math> द्वारा दर्शाया गया है।

	~~== समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन की परिभाषा ==~~
	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]