समुच्चय का पूरक - Revision history

Mani: added internal links

2024-11-05T11:10:40Z

added internal links

← Older revision		Revision as of 16:40, 5 November 2024
Line 1:		Line 1:
	किसी समुच्चय का पूरक सार्वभौमिक समुच्चय के उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं:		किसी समुच्चय का पूरक सार्वभौमिक समुच्चय के उन सभी तत्वों का [[समुच्चय और उनका निरूपण\|समुच्चय]] है जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं:

	कल्पना कीजिए कि अभाज्य संख्याओं का सार्वत्रिक समुच्चय <math>U</math> है तथा <math>A</math>, <math>U</math> का वह उपसमुच्चय है, जिसमें वे सभी अभाज्य संख्याएँ हैं जो <math>42</math> की भाजक नहीं हैं। इस प्रकार <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x</math> संख्या <math>42</math> का भाजक नहीं है <math>\}</math>। हम देखते हैं कि <math>2\in U</math> किंतु <math>2\not\in A</math>, क्योंकि संख्या <math>2</math>, <math>42</math> का भाजक है। इसी प्रकार <math>3\in U</math> परंतु <math>3\not\in A</math> तथा <math>7\in U</math> किंतु <math>7\not\in A</math> अब केवल <math>2</math>, <math>3</math> और <math>7</math> ही <math>U</math> के ऐसे अवयव हैं जो <math>A</math> में नहीं हैं। इन तीन अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अर्थात् समुच्चय {2, 3, 7}<math>\{2, 3, 7\}</math>, <math>U</math> के सापेक्ष <math>A</math> का पूरक समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक <math>A'</math>' से निरूपित किया जाता है । अत: <math>A' = \{2, 3, 7\}</math> इस प्रकार हम देखते हैं कि <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x\not\in A\}</math> है।		कल्पना कीजिए कि अभाज्य संख्याओं का सार्वत्रिक समुच्चय <math>U</math> है तथा <math>A</math>, <math>U</math> का वह उपसमुच्चय है, जिसमें वे सभी [[अभाज्य संख्याएँ]] हैं जो <math>42</math> की भाजक नहीं हैं। इस प्रकार <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x</math> संख्या <math>42</math> का भाजक नहीं है <math>\}</math>। हम देखते हैं कि <math>2\in U</math> किंतु <math>2\not\in A</math>, क्योंकि संख्या <math>2</math>, <math>42</math> का भाजक है। इसी प्रकार <math>3\in U</math> परंतु <math>3\not\in A</math> तथा <math>7\in U</math> किंतु <math>7\not\in A</math> अब केवल <math>2</math>, <math>3</math> और <math>7</math> ही <math>U</math> के ऐसे अवयव हैं जो <math>A</math> में नहीं हैं। इन तीन अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अर्थात् समुच्चय {2, 3, 7}<math>\{2, 3, 7\}</math>, <math>U</math> के सापेक्ष <math>A</math> का पूरक समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक <math>A'</math>' से निरूपित किया जाता है । अत: <math>A' = \{2, 3, 7\}</math> इस प्रकार हम देखते हैं कि <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x\not\in A\}</math> है।

	इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है:		इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है:

Mani: added content

2024-11-05T11:03:07Z

added content

← Older revision		Revision as of 16:33, 5 November 2024
Line 1:		Line 1:
			किसी समुच्चय का पूरक सार्वभौमिक समुच्चय के उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं:

	कल्पना कीजिए कि अभाज्य संख्याओं का सार्वत्रिक समुच्चय <math>U</math> है तथा <math>A</math>, <math>U</math> का वह उपसमुच्चय है, जिसमें वे सभी अभाज्य संख्याएँ हैं जो <math>42</math> की भाजक नहीं हैं। इस प्रकार <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x</math> संख्या <math>42</math> का भाजक नहीं है <math>\}</math>। हम देखते हैं कि <math>2\in U</math> किंतु <math>2\not\in A</math>, क्योंकि संख्या <math>2</math>, <math>42</math> का भाजक है। इसी प्रकार <math>3\in U</math> परंतु <math>3\not\in A</math> तथा <math>7\in U</math> किंतु <math>7\not\in A</math> अब केवल <math>2</math>, <math>3</math> और <math>7</math> ही <math>U</math> के ऐसे अवयव हैं जो <math>A</math> में नहीं हैं। इन तीन अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अर्थात् समुच्चय {2, 3, 7}<math>\{2, 3, 7\}</math>, <math>U</math> के सापेक्ष <math>A</math> का पूरक समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक <math>A'</math>' से निरूपित किया जाता है । अत: <math>A' = \{2, 3, 7\}</math> इस प्रकार हम देखते हैं कि <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x\not\in A\}</math> है।		कल्पना कीजिए कि अभाज्य संख्याओं का सार्वत्रिक समुच्चय <math>U</math> है तथा <math>A</math>, <math>U</math> का वह उपसमुच्चय है, जिसमें वे सभी अभाज्य संख्याएँ हैं जो <math>42</math> की भाजक नहीं हैं। इस प्रकार <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x</math> संख्या <math>42</math> का भाजक नहीं है <math>\}</math>। हम देखते हैं कि <math>2\in U</math> किंतु <math>2\not\in A</math>, क्योंकि संख्या <math>2</math>, <math>42</math> का भाजक है। इसी प्रकार <math>3\in U</math> परंतु <math>3\not\in A</math> तथा <math>7\in U</math> किंतु <math>7\not\in A</math> अब केवल <math>2</math>, <math>3</math> और <math>7</math> ही <math>U</math> के ऐसे अवयव हैं जो <math>A</math> में नहीं हैं। इन तीन अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अर्थात् समुच्चय {2, 3, 7}<math>\{2, 3, 7\}</math>, <math>U</math> के सापेक्ष <math>A</math> का पूरक समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक <math>A'</math>' से निरूपित किया जाता है । अत: <math>A' = \{2, 3, 7\}</math> इस प्रकार हम देखते हैं कि <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x\not\in A\}</math> है।

Mani: added content

2024-11-05T10:54:40Z

added content

← Older revision		Revision as of 16:24, 5 November 2024
Line 4:		Line 4:

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	मान लीजिए कि <math>U</math> एक सार्वत्रिक समुच्चय है और <math>A</math>, <math>U</math> का एक उपसमुच्चय है, तो <math>A</math> का पूरक समुच्चय <math>U</math> के उन अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A</math> के अवयव नहीं हैं। प्रतीकात्मक रूप में हम <math>U</math> के सापेक्ष <math>A</math> के पूरक को प्रतीक <math>A'</math> से निरूपित करते हैं। अत: <math>A=\{x:x\in U </math> और ~~https://www.vidyalayawiki.~~in/~~index.php?title=Special:MathShowImage&hash=c8a88fba780feca7dcb3cccac4e5dd29&mode=mathml~~ हम लिख सकते हैं। <math>A= U-A</math>।		मान लीजिए कि <math>U</math> एक सार्वत्रिक समुच्चय है और <math>A</math>, <math>U</math> का एक उपसमुच्चय है, तो <math>A</math> का पूरक समुच्चय <math>U</math> के उन अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A</math> के अवयव नहीं हैं। प्रतीकात्मक रूप में हम <math>U</math> के सापेक्ष <math>A</math> के पूरक को प्रतीक <math>A'</math> से निरूपित करते हैं। अत: <math>A'=\{x:x\in U </math> और <math>x\not\in A\}
			</math> हम लिख सकते हैं। <math>A= U-A</math>।

	ध्यान दीजिए कि <math>A</math> के पूरक समुच्चय को विकल्पतः सार्वत्रिक समुच्चय तथा समुच्चय <math>A</math> के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।		ध्यान दीजिए कि <math>A</math> के पूरक समुच्चय को विकल्पतः सार्वत्रिक समुच्चय तथा समुच्चय <math>A</math> के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।

Mani: added content

2024-11-05T10:52:01Z

added content

← Older revision		Revision as of 16:22, 5 November 2024
Line 1:		Line 1:
	~~Complement of a Set~~		कल्पना कीजिए कि अभाज्य संख्याओं का सार्वत्रिक समुच्चय <math>U</math> है तथा <math>A</math>, <math>U</math> का वह उपसमुच्चय है, जिसमें वे सभी अभाज्य संख्याएँ हैं जो <math>42</math> की भाजक नहीं हैं। इस प्रकार <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x</math> संख्या <math>42</math> का भाजक नहीं है <math>\}</math>। हम देखते हैं कि <math>2\in U</math> किंतु <math>2\not\in A</math>, क्योंकि संख्या <math>2</math>, <math>42</math> का भाजक है। इसी प्रकार <math>3\in U</math> परंतु <math>3\not\in A</math> तथा <math>7\in U</math> किंतु <math>7\not\in A</math> अब केवल <math>2</math>, <math>3</math> और <math>7</math> ही <math>U</math> के ऐसे अवयव हैं जो <math>A</math> में नहीं हैं। इन तीन अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अर्थात् समुच्चय {2, 3, 7}<math>\{2, 3, 7\}</math>, <math>U</math> के सापेक्ष <math>A</math> का पूरक समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक <math>A'</math>' से निरूपित किया जाता है । अत: <math>A' = \{2, 3, 7\}</math> इस प्रकार हम देखते हैं कि <math>A=\{x:x\in U </math> और <math>x\not\in A\}</math> है।

			इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है:

			== परिभाषा ==
			मान लीजिए कि <math>U</math> एक सार्वत्रिक समुच्चय है और <math>A</math>, <math>U</math> का एक उपसमुच्चय है, तो <math>A</math> का पूरक समुच्चय <math>U</math> के उन अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A</math> के अवयव नहीं हैं। प्रतीकात्मक रूप में हम <math>U</math> के सापेक्ष <math>A</math> के पूरक को प्रतीक <math>A'</math> से निरूपित करते हैं। अत: <math>A=\{x:x\in U </math> और https://www.vidyalayawiki.in/index.php?title=Special:MathShowImage&hash=c8a88fba780feca7dcb3cccac4e5dd29&mode=mathml हम लिख सकते हैं। <math>A= U-A</math>।

			ध्यान दीजिए कि <math>A</math> के पूरक समुच्चय को विकल्पतः सार्वत्रिक समुच्चय तथा समुच्चय <math>A</math> के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।

			== विवरण ==
			इन परिणामों को शब्दों में प्रकार व्यक्त करते हैं:

			"दो समुच्चयों के सम्मिलन का पूरक उनके पूरक समुच्चयों का सार्वनिष्ठ होता है तथा दोनों समुच्चयों के सार्वनिष्ठ का पूरक उनके पूरक समुच्चयों का सम्मिलन होता है। इनको डी मॉर्गन के ' नियम कहते हैं।
			[[File:समुच्चय का पूरक.jpg\|thumb\|चित्र]]
			यह नाम गणितज्ञ डी मॉर्गन के नाम पर रखा गया है। किसी समुच्चय <math>A</math> के पूरक <math>A'</math> को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है जैसा कि चित्र में प्रदर्शित है। छायांकित भाग समुच्चय <math>A</math> के पूरक <math>A'</math> को दर्शाता है।

			== पूरकों के कुछ गुणधर्म ==
			1. '''पूरक नियम''' :

			(i) <math>A\cup A' =U</math> (ii)<math>A\cap A'=\phi</math>

			2. '''डी मॉर्गन का नियम''' :

			(i) <math>\bigl(A \cup B\bigr)'= A'\cap B'</math> (ii) <math>\bigl(A \cap B\bigr)'= A'\cup B'</math>

			3. '''द्वि- पूरक नियम''' :

			<math>(A')' = A</math>

			4. '''<math>\phi</math> और <math>U</math> के नियम''' :

			<math>\phi'= U</math> और <math>U'= \phi</math>।


			इन नियमों का सत्यापन वेन आरेखों द्वारा किया जा सकता है।

	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 06:12, 4 August 2023

2023-08-04T06:12:09Z

← Older revision		Revision as of 11:42, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Complement of a Set		Complement of a Set

	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:39, 4 August 2023

2023-08-04T05:39:26Z

← Older revision		Revision as of 11:09, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Complement of a Set		Complement of a Set

	[[Category:समुच्चय]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]]

Sarika at 11:59, 18 April 2023

2023-04-18T11:59:23Z

← Older revision		Revision as of 17:29, 18 April 2023
Line 1:		Line 1:
	Complement of a Set		Complement of a Set
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:समुच्चय~~]][[Category: कक्षा-11~~]]		[[Category:समुच्चय]]

Sarika at 06:59, 21 March 2023

2023-03-21T06:59:42Z

← Older revision		Revision as of 12:29, 21 March 2023
Line 1:		Line 1:
	Complement of a Set		Complement of a Set
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:समुच्चय]]		[[Category:समुच्चय]][[Category: कक्षा-11]]

Mani: New Page Created

2023-03-07T09:40:23Z

New Page Created

New page

Complement of a Set
[[Category:गणित]]
[[Category:समुच्चय]]