सम्मिलन(समुच्चय) - Revision history

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2024-11-06T16:28:48Z

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 ध्यान दें कि <math>A\cup B</math> लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव <math>6</math> और <math>8</math> को मात्र  एक बार लिखते हैं।
 == परिभाषा: ==
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 (v) <math>U\cup A = U</math> (<math>U</math> का नियम)
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	'''हल:''' हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>		'''हल:''' हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>

	~~नोट कीजिए~~ कि <math>A\cup B</math> लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव <math>6</math> और <math>8</math> को मात्र एक बार लिखते हैं।		ध्यान दें कि <math>A\cup B</math> लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव <math>6</math> और <math>8</math> को मात्र एक बार लिखते हैं।

	== परिभाषा: ==		== परिभाषा: ==

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	दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो <math>A</math> में हैं या <math>B</math> में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A\cup B=\{x:x\in A</math> या <math>x \in B\}</math> है।		दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो <math>A</math> में हैं या <math>B</math> में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A\cup B=\{x:x\in A</math> या <math>x \in B\}</math> है।

	दो समुच्चयों के सम्मिलन को चित्र में दिखाए गए वेन आरेख से प्रदर्शित किया जा सकता है।		दो [[समुच्चयों पर संक्रियाएँ\|समुच्चयों]] के सम्मिलन को चित्र में दिखाए गए वेन आरेख से प्रदर्शित किया जा सकता है।

	चित्र में छायांकित भाग <math>A\cup B</math> को प्रदर्शित करता है।		चित्र में छायांकित भाग <math>A\cup B</math> को प्रदर्शित करता है।
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	'''हल:''' स्पष्टतया <math>A\cup B = \{a,e, i, o, u\} = A</math> ।		'''हल:''' स्पष्टतया <math>A\cup B = \{a,e, i, o, u\} = A</math> ।

	इस उदाहरण से स्पष्ट होता है कि किसी समुच्चय <math>A</math> और उसके उपसमुच्चय <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय <math>A</math> स्वयं होता है, अर्थात् यदि <math>B\subset A</math>, तो <math>A\cup B=A</math>।		इस उदाहरण से स्पष्ट होता है कि किसी समुच्चय <math>A</math> और उसके [[उपसमुच्चय]] <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय <math>A</math> स्वयं होता है, अर्थात् यदि <math>B\subset A</math>, तो <math>A\cup B=A</math>।
	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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← Older revision		Revision as of 19:30, 6 November 2024
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	मान लेते हैं कि <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो समुच्चय हैं। <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें <math>A</math> के सभी अवयवों के साथ <math>B</math> के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक '<math>\cup</math>' का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम <math>A\cup B</math> लिखते हैं और इसे '<math>A</math> सम्मिलन <math>B</math>' पढ़ते हैं।		मान लेते हैं कि <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो समुच्चय हैं। <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें <math>A</math> के सभी अवयवों के साथ <math>B</math> के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक '<math>\cup</math>' का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम <math>A\cup B</math> लिखते हैं और इसे '<math>A</math> सम्मिलन <math>B</math>' पढ़ते हैं।

	'''उदाहरण:''' मान लीजिए कि<math>A = \{ 2, 4, 6, 8\}</math>और <math>B = \{6, 8, 10, 12\}</math>। <math>A\cup B</math> ज्ञात कीजिए।		'''उदाहरण 1:''' मान लीजिए कि<math>A = \{ 2, 4, 6, 8\}</math>और <math>B = \{6, 8, 10, 12\}</math>। <math>A\cup B</math> ज्ञात कीजिए।

	'''हल:''' हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>		'''हल:''' हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>
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	(iv) <math>A\cup A = A</math> ( वर्गसम नियम)		(iv) <math>A\cup A = A</math> ( वर्गसम नियम)

	(v) <math>U\cup A = U</math> (<math>U</math> का नियम)		(v) <math>U\cup A = U</math> (<math>U</math> का नियम)

			'''उदाहरण 2:''' मान लीजिए कि <math>A = \{a, e, i, o, u \}</math>और <math>B =\{a, i, u\}</math>

	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		<math>A\cup B = A</math> ।

			'''हल:''' स्पष्टतया <math>A\cup B = \{a,e, i, o, u\} = A</math> ।

			इस उदाहरण से स्पष्ट होता है कि किसी समुच्चय <math>A</math> और उसके उपसमुच्चय <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय <math>A</math> स्वयं होता है, अर्थात् यदि <math>B\subset A</math>, तो <math>A\cup B=A</math>।
			[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	== परिभाषा: ==		== परिभाषा: ==
			[[File:समुच्चयों का सम्मिलन.jpg\|thumb\|चित्र-]]
	दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो <math>A</math> में हैं या <math>B</math> में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A\cup B=\{x:x\in A</math> या <math>x \in B\}</math> है।		दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो <math>A</math> में हैं या <math>B</math> में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A\cup B=\{x:x\in A</math> या <math>x \in B\}</math> है।

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2024-11-06T13:41:57Z

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← Older revision		Revision as of 19:11, 6 November 2024
Line 1:		Line 1:
	~~1.10.1~~ समुच्चयों का सम्मिलन ~~(Union of sets)~~ मान ~~लीजिए~~ कि A और B कोई दो समुच्चय हैं। A और B का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें A के सभी अवयवों के साथ B के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक <~~nowiki~~>'' का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम ~~AUB~~ लिखते हैं और इसे 'A सम्मिलन B'</~~nowiki~~> पढ़ते हैं।		== समुच्चयों का सम्मिलन ==
			मान लेते हैं कि <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो समुच्चय हैं। <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें <math>A</math> के सभी अवयवों के साथ <math>B</math> के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक '<math>\cup</math>' का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम <math>A\cup B</math> लिखते हैं और इसे '<math>A</math> सम्मिलन <math>B</math>' पढ़ते हैं।

	उदाहरण 12 मान लीजिए कि A = ( 2, 4, 6, 8 } और B = { 6, 8, 10, 12~~). AUB~~ ज्ञात कीजिए। ~~हल हम देखते हैं कि AUB = {2, 4, 6, 8, 10, 12)~~		'''उदाहरण:''' मान लीजिए कि<math>A = \{ 2, 4, 6, 8\}</math>और <math>B = \{6, 8, 10, 12\}</math>। <math>A\cup B</math> ज्ञात कीजिए।

	~~नोट कीजिए~~ कि ~~AUB लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव~~ 6 और 8 ~~को केवल एक बार लिखते हैं।~~		'''हल:''' हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>

	U		नोट कीजिए कि <math>A\cup B</math> लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव <math>6</math> और <math>8</math> को मात्र एक बार लिखते हैं।

	परिभाषा 6 दो समुच्चयों A और B का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो A में हैं या B में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि ~~AUB~~ = {~~xxe~~ A या x ∈B } है।		== परिभाषा: ==
			दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो <math>A</math> में हैं या <math>B</math> में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A\cup B=\{x:x\in A</math> या <math>x \in B\}</math> है।

	~~करते~~		दो समुच्चयों के सम्मिलन को चित्र में दिखाए गए वेन आरेख से प्रदर्शित किया जा सकता है।

	~~दो समुच्चयों के सम्मिलन~~ को ~~आकृति 1.4 में दिखाए गए वेन आरेख से~~ प्रदर्शित ~~किया जा सकता~~ है।		चित्र में छायांकित भाग <math>A\cup B</math> को प्रदर्शित करता है।

	~~आकृति 1.4 में छायांकित भाग AUB को प्रदर्शित करता है।~~		== सम्मिलन की संक्रिया के कुछ गुणधर्मः ==
			(i) <math>A\cup B = B\cup A</math> (क्रम विनिमय नियम )

	A		(ii) <math>(A\cup B ) \cup C=A\cup (B\cup C)</math> (साहचर्य नियम)

	D.		(iii)<math>A\cup \phi = A</math> (तत्समक नियम, <math>\phi</math> संक्रिया का तत्समक अवयव है )

	~~AUB~~		(iv) <math>A\cup A = A</math> ( वर्गसम नियम)

	~~आकृति 1.4~~		(v) <math>U\cup A = U</math> (<math>U</math> का नियम)

	B

	~~सम्मिलन की संक्रिया के कुछ गुणधर्मः~~		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

	~~(i) AUB = BUA (क्रम विनिमय नियम )~~

	~~(ii) (AUB ) UC=AU (BUC)~~

	~~(iii) AU¢ = A~~

	~~(iv) AUA = A~~

	~~(v) UUA = U~~

	~~(साहचर्य नियम)~~

	~~(तत्समक नियम, 6 संक्रिया का तत्समक अवयव है )~~

	~~( वर्गसम नियम) (U का नियम)~~
	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-06T12:10:41Z

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← Older revision		Revision as of 17:40, 6 November 2024
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	Union (sets)		1.10.1 समुच्चयों का सम्मिलन (Union of sets) मान लीजिए कि A और B कोई दो समुच्चय हैं। A और B का सम्मिलन वह समुच्चय है जिसमें A के सभी अवयवों के साथ B के भी सभी अवयव हों, तथा उभयनिष्ठ अवयवों को केवल एक बार लिया गया हो। प्रतीक <nowiki>'' का प्रयोग सम्मिलन को निरूपित करने के लिए किया जाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम AUB लिखते हैं और इसे 'A सम्मिलन B'</nowiki> पढ़ते हैं।

			उदाहरण 12 मान लीजिए कि A = ( 2, 4, 6, 8 } और B = { 6, 8, 10, 12). AUB ज्ञात कीजिए। हल हम देखते हैं कि AUB = {2, 4, 6, 8, 10, 12)

			नोट कीजिए कि AUB लिखते समय उभयनिष्ठ अवयव 6 और 8 को केवल एक बार लिखते हैं।

			U

			परिभाषा 6 दो समुच्चयों A और B का सम्मिलन समुच्चय, वह समुच्चय है जिसमें वे सभी अवयव हैं, जो या तो A में हैं या B में हैं (उन अवयवों को सम्मिलित हुए जो दोनों में हैं)। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि AUB = {xxe A या x ∈B } है।

			करते

			दो समुच्चयों के सम्मिलन को आकृति 1.4 में दिखाए गए वेन आरेख से प्रदर्शित किया जा सकता है।

			आकृति 1.4 में छायांकित भाग AUB को प्रदर्शित करता है।

			A

			D.

			AUB

			आकृति 1.4

			B

			सम्मिलन की संक्रिया के कुछ गुणधर्मः

			(i) AUB = BUA (क्रम विनिमय नियम )

			(ii) (AUB ) UC=AU (BUC)

			(iii) AU¢ = A

			(iv) AUA = A

			(v) UUA = U

			(साहचर्य नियम)

			(तत्समक नियम, 6 संक्रिया का तत्समक अवयव है )

			( वर्गसम नियम) (U का नियम)
	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 06:12, 4 August 2023

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	Union (sets)		Union (sets)

	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:39, 4 August 2023

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	Union (sets)		Union (sets)

	[[Category:समुच्चय]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]]

Sarika at 11:59, 18 April 2023

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	Union (sets)		Union (sets)
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:समुच्चय~~]][[Category: कक्षा-11~~]]		[[Category:समुच्चय]]