सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित - Revision history

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2023-11-08T08:49:48Z

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← Older revision		Revision as of 14:19, 8 November 2023
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	=== गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व ===		=== गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व ===
			प्रत्येक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या <math>z=a+ib</math> <math>(a \ne 0 , b \ne 0)</math>, के लिए हमारे पास सम्मिश्र संख्या <math>\frac{a}{a^2+b^2}+i \frac{-b}{a^2+b^2}</math> (<math>\frac{1}{z}</math> या <math>z^{-1}</math>के रूप में चिह्नित) <math>z</math> का गुणनात्मक प्रतिलोम इस प्रकार कहा जाता है कि <math>z \times \frac{1}{z}=1</math> (गुणात्मक तत्समक)।

			=== वितरण नियम ===
			किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं के लिए <math>
			z_1 , z_2 ,z_3</math>

			* <math>z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3</math>
			* <math>(z_1+z_2)z_3=z_1z_3+z_2z_3</math>

			== दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन ==
			किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं <math>z_1 , z_2</math> को देखते हुए, जहां <math>z_2 \ne 0</math>, भागफल <math>\frac{z_1}{z_2}</math> को परिभाषित किया गया है।

			<math>\frac{z_1}{z_2}=z_1 \times \frac{1}{z_2}</math>

			उदाहरण: मान लीजिए <math>z_1=6+3i</math> और <math>z_2=2-i</math>

			<math>\frac{z_1}{z_2}=(6+3i) \times \frac{1}{2-i}</math>

			हम जानते हैं

			<math>z=a+ib</math> के लिए <math>\frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+i \frac{-b}{a^2+b^2}</math>

			अतः <math>z=2-i</math> के लिए , <math>a=2 ; b=-1</math>

			<math>\frac{1}{2-i}=\frac{2}{2^2+(-1)^2}+i \frac{-(-1)}{2^2+(-1)^2}</math>

			<math>\frac{1}{2-i}=\frac{2}{4+1}+i \frac{1}{4+1}=\frac{2}{5}+i \frac{1}{5}=\frac{2+i}{5}</math>

			<math>\frac{z_1}{z_2}=(6+3i) \times \frac{2+i}{5}=\frac{1}{5}(12+6i+6i+3i^2)=\frac{1}{5}(12+12i+3(-1))=\frac{1}{5}(9+12i)</math>

			== i के घात ==
			हम जानते हैं <math>i^2=-1</math>

			<math>i^3=i^2 \times i= -1 \times i = -i</math>

			<math>i^4=(i^2)^2= (-1)^2 = 1</math>

			<math>i^5=(i^2)^2 \times i= (-1)^2 \times i = 1 \times i=i</math>

			<math>i^6=(i^2)^3= (-1)^3 = -1</math>

	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2023-11-08T04:26:27Z

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← Older revision		Revision as of 09:56, 8 November 2023
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	=== संवरक नियम ===		=== संवरक नियम ===
			दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल एक सम्मिश्र संख्या होती है। <math>z_1z_2</math> सभी सम्मिश्र संख्याओं <math>z_1
			</math> और <math>z_2</math> के लिए एक सम्मिश्र संख्या है।

	=== क्रम विनिमय नियम ===		=== क्रम विनिमय नियम ===
			किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए <math>z_1</math> और <math>z_1z_2=z_2z_1</math>

	=== साहचर्य नियम ===		=== साहचर्य नियम ===
			किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं के लिए <math>z_1 , z_2 ,z_3</math>, <math>(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)</math>

	=== गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व ===		=== गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व ===
			वहाँ सम्मिश्र संख्या <math>1+i0</math> (<math>1</math> के रूप में चिह्नित) मौजूद है जिसे गुणात्मक तत्समक कहा जाता है, जैसे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या <math>z</math> के लिए, <math>z \times 1=z</math>

	=== गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व ===		=== गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व ===
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2023-11-08T04:08:51Z

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← Older revision		Revision as of 09:38, 8 November 2023
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	== दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर ==		== दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर ==
			किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं <math>z_1 , z_2</math> को देखते हुए अंतर <math>z_1-z_2</math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

			<math>z_1-z_2=z_1+(-z_2)</math>

			उदाहरण: <math>(6+3i)-(2-i)=(6+3i)+(-2+i)= 4+4i</math>

			== दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणन ==
			मान लीजिए कि <math>z_1=a+ib</math> और <math>z_2=c+id</math> कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब गुणनफल <math>z_1z_2</math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

			<math>z_1z_2=(a+ib) \times (c+id)</math>

			<math>z_1z_2=a \times (c+id)+ ib \times (c+id)
			</math>

			<math>z_1z_2=ac+iad+ ibc+i^2bd</math>

			<math>z_1z_2=ac+i(ad+bc)+-1 \times bd .......(i^2=-1)
			</math>

			<math>z_1z_2=(ac-bd)+i(ad+bc)</math>

			सम्मिश्र संख्याओं का गुणन निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

			=== संवरक नियम ===

			=== क्रम विनिमय नियम ===

			=== साहचर्य नियम ===

			=== गुणात्मक तत्समक का अस्तित्व ===

			=== गुणात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व ===
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2023-11-07T13:20:36Z

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← Older revision		Revision as of 18:50, 7 November 2023
Line 19:		Line 19:
	किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं <math>z_1 , z_2 ,z_3</math> , <math>(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)</math>		किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं <math>z_1 , z_2 ,z_3</math> , <math>(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)</math>

			=== योगात्मक तत्समक का अस्तित्व ===
			सम्मिश्र संख्या <math>0+i0</math> (<math>0</math> के रूप में चिह्नित) मौजूद है, जिसे योगात्मक तत्समक या शून्य सम्मिश्र संख्या कहा जाता है, जैसे कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या <math>z</math> के लिए <math>z+0=z</math>

			=== योगात्मक प्रतिलोम का अस्तित्व ===
			प्रत्येक सम्मिश्र संख्या <math>z=a+ib</math> के लिए, हमारे पास सम्मिश्र संख्या <math>-z=-a+i(-b)</math> होती है जिसे <math>z</math> का योगात्मक प्रतिलोम या ऋणात्मक कहा जाता है। हम देखते हैं कि <math>z+(-z)=0</math> (योगात्मक तत्समक)।

			== दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर ==
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani at 10:41, 7 November 2023

2023-11-07T10:41:19Z

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Line 17:		Line 17:

	=== साहचर्य नियम ===		=== साहचर्य नियम ===
			किन्हीं तीन सम्मिश्र संख्याओं <math>z_1 , z_2 ,z_3</math> , <math>(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)</math>


	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: New Mathematics Class 11 Hindi Page Created

2023-11-07T10:37:39Z

New Mathematics Class 11 Hindi Page Created

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Line 1:		Line 1:
	~~Algebra of Complex Numbers~~		इस अनुभाग में, हम सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित वर्णन करेंगे।

			== दो सम्मिश्र संख्याओं का योग ==
			मान लीजिए कि <math>z_1=a+ib</math> और <math>z_2=c+id</math> कोई दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं। फिर योग <math>z_1+z_2</math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

			<math>z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)</math> जो कि एक सम्मिश्र संख्या भी है।

			उदाहरण: मान लीजिए <math>z_1=2+i3</math> और <math>z_2=-6+i5</math>। अत: <math>z_1+z_2=(2-6)+i(3+5)=-4+i8</math>

			सम्मिश्र संख्याओं का योग निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

			=== संवरक नियम ===
			दो सम्मिश्र संख्याओं का योग एक सम्मिश्र संख्या होती है। <math>z_1+z_2</math> सभी सम्मिश्र संख्याओं <math>z_1</math> और <math>z_2</math> के लिए एक सम्मिश्र संख्या है।

			=== क्रम विनिमय नियम ===
			किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं <math>z_1</math> और <math>z_2</math> के लिए, <math>z_1+z_2=z_2+z_1</math>

			=== साहचर्य नियम ===
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Ramamurthy: Category updated

2023-08-06T16:05:45Z

Category updated

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Line 1:		Line 1:
	Algebra of Complex Numbers		Algebra of Complex Numbers

	~~[[Category:बीजगणित]]~~
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 06:12, 4 August 2023

2023-08-04T06:12:55Z

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Line 2:		Line 2:

	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:40, 4 August 2023

2023-08-04T05:40:12Z

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Line 2:		Line 2:

	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]][[Category:कक्षा-11]]

Mani: added category

2023-04-21T12:54:34Z

added category

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Line 2:		Line 2:

	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
			[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]