सर्वनिष्ट(समुच्चय) - Revision history

Mani at 17:16, 6 November 2024

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	नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।		नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।
	[[File:I.jpg\|thumb\|चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ I]]		[[File:I.jpg\|thumb\|चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ I\|left]]
	[[File:II.jpg\|thumb\|चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ II]]		[[File:II.jpg\|thumb\|चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ II]]
	[[File:III.jpg\|thumb\|चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ III]]		[[File:III.jpg\|thumb\|चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ III\|left]]
	[[File:IV.jpg\|thumb\|चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ IV]]		[[File:IV.jpg\|thumb\|चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ IV]]
	[[File:V.jpg\|thumb\|चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ V]]		[[File:V.jpg\|thumb\|चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ V\|center]]
	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	अर्थात् <math>\cap</math> वितरित होता है <math>\cup</math> पर		अर्थात् <math>\cap</math> वितरित होता है <math>\cup</math> पर

	नीचे ~~बने~~ वेन आरेखों [~~आकृतियों 1.7~~ (i) - (v)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।		नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।
			[[File:I.jpg\|thumb\|चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ I]]
			[[File:II.jpg\|thumb\|चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ II]]
			[[File:III.jpg\|thumb\|चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ III]]
			[[File:IV.jpg\|thumb\|चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ IV]]
			[[File:V.jpg\|thumb\|चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ V]]
	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
			[[File:समुच्चयों का सर्वनिष्ठ.jpg\|thumb\|समुच्चयों का सर्वनिष्ठ]]
	समुच्चय <math>A		समुच्चय <math>A
	</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A		</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A

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	Intersection (sets)		1.10.2 समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of sets) समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ है। प्रतीक <nowiki>''</nowiki> का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि

			AnB = {x:x€A 3

			xe B}

			उदाहरण 15 उदाहरण 12 के समुच्चय A और B पर विचार कीजिए \| An

			ज्ञात कीजिए।

			हल हम देखते हैं कि केवल 6 और 8 ही ऐसे अवयव हैं जो A और B दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः A∩B = { 6, 8 }

			उदाहरण 16 उदाहरण 14 के समुच्चय X और Y पर विचार कीजिए \| XY ज्ञात कीजिए ।

			हल हम देखते हैं केवल 'गीता' ही एक मात्र ऐसा अवयव है, जो दोनों में उभयनिष्ठ है। अतः XOY = {गीता}

			उदाहरण 17 मान लीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 और B = { 2, 3, 5, 7 } AB ज्ञात कीजिए और इस प्रकार दिखाइए कि AB = B.

			हल हम देखते हैं कि An B = { 2, 3, 5, 7 } = B हम ध्यान देते हैं कि BCA और AOB = B परिभाषा 7 समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि

			An B = {x: x ∈ A और x ∈ B} आकृति 1.5 में छायांकित भाग, A और B के सर्वनिष्ठ

			को प्रदर्शित करता है।

			यदि A और B ऐसे दो समुच्चय हों कि AB = 6,

			U

			A

			R

			परिभाषा 7 समुच्चय A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो A और B दोनों में हो। प्रतीकात्मक रूप में, हम लिखते हैं कि

			An B = {x: x∈ A और x ∈ B} आकृति 1.5 में छायांकित भाग, A और B के सर्वनिष्ठ को प्रदर्शित करता है।

			यदि A और B ऐसे दो समुच्चय हों कि An B = 6, तो A और B असंयुक्त समुच्चय कहलाते हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि A = { 2, 4, 6, 8 } और

			U

			A

			D

			AOB आकृति 1.5

			B

			समुच्चय

			19

			B = { 1, 3, 5, 7 }, तो A और B असंयुक्त समुच्चय हैं, क्योंकि A और B में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। असंयुक्त समुच्चयों को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है, जैसा आकृति 1.6 में प्रदर्शित है। उपर्युक्त आरेख में A और B असंयुक्त समुच्चय हैं। सर्वनिष्ठ संक्रिय के कुछ गुणधर्म

			(i) A∩B =BOA

			(ii) (AB)∩C=An(B∩c)

			(iii)

			A = ¢, UnA=A

			(iv) AnA = A

			(v) A∩ (BUC) = (AB) ( AnC)

			अर्थात् वितरित होता है

			पर

			U

			C

			आकृति 1.6 ( क्रम विनिमय नियम ) (साहचर्य नियम) (p और U के नियम) । ( वर्गसम नियम )

			ved

			( वितरण या बंटन नियम)

			नीचे बने वेन आरेखों [आकृतियों 1.7 (i) - (v)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।
	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 06:12, 4 August 2023

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	Intersection (sets)		Intersection (sets)

	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:39, 4 August 2023

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	Intersection (sets)		Intersection (sets)

	[[Category:समुच्चय]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]]

Sarika at 11:59, 18 April 2023

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	Intersection (sets)		Intersection (sets)
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:समुच्चय~~]][[Category: कक्षा-11~~]]		[[Category:समुच्चय]]

Sarika at 07:00, 21 March 2023

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	Intersection (sets)		Intersection (sets)
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:समुच्चय]]		[[Category:समुच्चय]][[Category: कक्षा-11]]

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Line 51:		Line 51:

	नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।		नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।
	[[File:I.jpg\|thumb\|चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ I]]		[[File:I.jpg\|thumb\|चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ I\|left]]
	[[File:II.jpg\|thumb\|चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ II]]		[[File:II.jpg\|thumb\|चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ II]]
	[[File:III.jpg\|thumb\|चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ III]]		[[File:III.jpg\|thumb\|चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ III\|left]]
	[[File:IV.jpg\|thumb\|चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ IV]]		[[File:IV.jpg\|thumb\|चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ IV]]
	[[File:V.jpg\|thumb\|चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ V]]		[[File:V.jpg\|thumb\|चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ V\|center]]
	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	समुच्चय <math>A		समुच्चय <math>A
	</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A		</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A
	</math> और <math>B</math> दोनों में उभयनिष्ठ है। प्रतीक '<math>\cap</math>' का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय <math>A		</math> और <math>B</math> दोनों में [[सम्मिलन(समुच्चय)\|उभयनिष्ठ]] है। प्रतीक '<math>\cap</math>' का प्रयोग सर्वनिष्ठ को निरूपित करने के लिए किया जाता है। समुच्चय <math>A
	</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A		</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A
	</math> और <math>B</math> दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A \cap B =\{x:x\in A</math> और <math>x\in B\}</math>		</math> और <math>B</math> दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि <math>A \cap B =\{x:x\in A</math> और <math>x\in B\}</math>
Line 11:		Line 11:
	हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>		हम देखते हैं कि <math>A\cup B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}</math>

	'''उदाहरण''' '''1:''' उपर्युक्त उदाहरण के समुच्चय <math>A		'''उदाहरण''' '''1:''' उपर्युक्त उदाहरण के [[समुच्चयों पर संक्रियाएँ\|समुच्चय]] <math>A
	</math> और <math>B</math> पर विचार करते हुए \| <math>A \cap B</math> ज्ञात कीजिए।		</math> और <math>B</math> पर विचार करते हुए \| <math>A \cap B</math> ज्ञात कीजिए।

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	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	[[File:समुच्चयों का सर्वनिष्ठ.jpg\|thumb\|समुच्चयों का सर्वनिष्ठ]]		[[File:समुच्चयों का सर्वनिष्ठ.jpg\|thumb\|चित्र -समुच्चयों का सर्वनिष्ठ]]
	समुच्चय <math>A		समुच्चय <math>A
	</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A		</math> और <math>B</math> का सर्वनिष्ठ उन सभी अवयवों का समुच्चय है, जो <math>A
Line 51:		Line 51:

	नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।		नीचे दिए गए वेन आरेखों [चित्र (I) - (V)] द्वारा इस बात को सरलता से देख सकते हैं।
	[[File:I.jpg\|thumb\|चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ I\|left]]		[[File:I.jpg\|thumb\|चित्र-1-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>B\cup C</math>\|left]]
	[[File:II.jpg\|thumb\|चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ II]]		[[File:II.jpg\|thumb\|चित्र-2-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>A\cap(B\cup C)</math>]]
	[[File:III.jpg\|thumb\|चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ ~~III~~\|left]]		[[File:III.jpg\|thumb\|चित्र-3-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>A\cap B</math>\|left]]
	[[File:IV.jpg\|thumb\|चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ IV]]		[[File:IV.jpg\|thumb\|चित्र-4-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>A\cap C</math>]]
	[[File:V.jpg\|thumb\|चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ V\|center]]		[[File:V.jpg\|thumb\|चित्र-समुच्चयों का सर्वनिष्ठ <math>(A\cap B)\cup(A\cap C)</math>\|center]]
	[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:समुच्चय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]