साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल - Revision history

Mani: /* वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के लिए सूत्र */

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वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के लिए सूत्र

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	'''अक्ष के अंतर्गत क्षेत्रफल :''' अक्ष के नीचे वक्र का क्षेत्र ऋणात्मक मान है और इसलिए क्षेत्र का मापांक लिया जाता है। <math>x</math>-अक्ष के नीचे और <math>x</math>-अक्ष से घिरे वक्र <math>y = f(x),</math> का क्षेत्र <math>a</math> और <math>b</math> की सीमाएँ लेकर प्राप्त किया जाता है। वक्र और <math>x</math>-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है। <math>A=\left\vert \ _a\int_{}^{b } f(x)\cdot dx \right\vert</math>		'''अक्ष के अंतर्गत क्षेत्रफल :''' अक्ष के नीचे वक्र का क्षेत्र ऋणात्मक मान है और इसलिए क्षेत्र का मापांक लिया जाता है। <math>x</math>-अक्ष के नीचे और <math>x</math>-अक्ष से घिरे वक्र <math>y = f(x),</math> का क्षेत्र <math>a</math> और <math>b</math> की सीमाएँ लेकर प्राप्त किया जाता है। वक्र और <math>x</math>-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है। <math>A=\left\vert \ _a\int_{}^{b } f(x)\cdot dx \right\vert</math>

	[[File:अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र.jpg\|thumb\|250x250px\|अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र]]		[[File:अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र.jpg\|thumb\|250x250px\|अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र]]
	'''अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र:''' वक्र का वह क्षेत्र जो आंशिक रूप से अक्ष के नीचे और आंशिक रूप से अक्ष के ऊपर है, उसे दो क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है और अलग-अलग गणना की जाती है। अक्ष के नीचे का क्षेत्र ऋणात्मक है, और इसलिए क्षेत्र का मापांक लिया जाता है। इसलिए कुल क्षेत्रफल दो क्षेत्रों के योग के बराबर है		'''अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र:''' वक्र का वह क्षेत्र जो आंशिक रूप से अक्ष के नीचे और आंशिक रूप से अक्ष के ऊपर है, उसे दो क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है और अलग-अलग गणना की जाती है। अक्ष के नीचे का क्षेत्र ऋणात्मक है, और इसलिए क्षेत्र का मापांक लिया जाता है। इसलिए कुल क्षेत्रफल दो क्षेत्रों के योग के बराबर है

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	वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना विभिन्न तरीकों से की जाती है, जिनमें से क्षेत्र ज्ञात करने की प्रतिअवकलज विधि सबसे लोकप्रिय है। वक्र के नीचे का क्षेत्र वक्र के समीकरण, वक्र की सीमाओं और वक्र को घेरने वाली धुरी को जानकर पाया जा सकता है। साधारणतः, हमारे पास नियमित आकृतियों जैसे वर्ग, आयत, चतुर्भुज, बहुभुज, वृत्त के क्षेत्रों को ज्ञात करने के लिए सूत्र होते हैं, लेकिन वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए कोई निश्चित सूत्र नहीं है। समाकलन की प्रक्रिया समीकरण को हल करने और आवश्यक क्षेत्र ज्ञात करने में सहायता करती है।		वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना विभिन्न तरीकों से की जाती है, जिनमें से क्षेत्र ज्ञात करने की प्रतिअवकलज विधि सबसे लोकप्रिय है। वक्र के नीचे का क्षेत्र वक्र के समीकरण, वक्र की सीमाओं और वक्र को घेरने वाली धुरी को जानकर पाया जा सकता है। साधारणतः, हमारे पास नियमित आकृतियों जैसे वर्ग, आयत, [[चतुर्भुज]], बहुभुज, [[वृत्त]] के क्षेत्रों को ज्ञात करने के लिए सूत्र होते हैं, लेकिन वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए कोई निश्चित सूत्र नहीं है। समाकलन की प्रक्रिया समीकरण को हल करने और आवश्यक क्षेत्र ज्ञात करने में सहायता करती है।

	अनियमित समतल सतहों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रतिअवकलज विधियाँ बहुत सहायक होती हैं। यहाँ हम सीखेंगे कि अक्ष के सापेक्ष वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।		अनियमित समतल सतहों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रतिअवकलज विधियाँ बहुत सहायक होती हैं। यहाँ हम सीखेंगे कि अक्ष के सापेक्ष वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।
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	== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि ==		== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि ==
	वक्र के नीचे का क्षेत्रफल तीन सरल चरणों के माध्यम से गणना किया जा सकता है। सबसे पहले, हमें वक्र का समीकरण <math>(y = f(x)),</math> वह सीमा जिसके पार क्षेत्रफल की गणना की जानी है, और क्षेत्रफल को घेरने वाली अक्ष को जानना होगा। दूसरे, हमें वक्र का समाकलन (प्रतिअवकलज) ज्ञात करना होगा। अंत में, हमें समाकलन उत्तर पर ऊपरी सीमा और निचली सीमा लागू करने और वक्र के नीचे का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए अंतर लेने की आवश्यकता है।		वक्र के नीचे का क्षेत्रफल तीन सरल चरणों के माध्यम से गणना किया जा सकता है। सबसे पहले, हमें वक्र का समीकरण <math>(y = f(x)),</math> वह सीमा जिसके पार क्षेत्रफल की गणना की जानी है, और क्षेत्रफल को घेरने वाली अक्ष को जानना होगा। दूसरे, हमें वक्र का समाकलन (प्रतिअवकलज) ज्ञात करना होगा। अंत में, हमें [[समाकलन की विधियाँ\|समाकलन]] उत्तर पर ऊपरी सीमा और निचली सीमा लागू करने और वक्र के नीचे का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए अंतर लेने की आवश्यकता है।

	क्षेत्रफल <math>=\ _a\int_{}^{b } y\cdot dx</math>		क्षेत्रफल <math>=\ _a\int_{}^{b } y\cdot dx</math>

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	अनियमित समतल सतहों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रतिअवकलज विधियाँ बहुत सहायक होती हैं। यहाँ हम सीखेंगे कि अक्ष के सापेक्ष वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।		अनियमित समतल सतहों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रतिअवकलज विधियाँ बहुत सहायक होती हैं। यहाँ हम सीखेंगे कि अक्ष के सापेक्ष वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें।
			[[File:वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल.jpg\|thumb\|वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल]]

	== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि ==		== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि ==
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	== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के लिए सूत्र ==		== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के लिए सूत्र ==
	वक्र के क्षेत्र की गणना विभिन्न अक्षों के संबंध में की जा सकती है, जो दिए गए वक्र की सीमा के रूप में है। वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना <math>x</math>-अक्ष या <math>y</math>-अक्ष के संबंध में की जा सकती है। विशेष मामलों के लिए, वक्र अक्षों के नीचे होता है, और आंशिक रूप से अक्षों के नीचे होता है। इन सभी मामलों के लिए हमारे पास वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए व्युत्पन्न सूत्र है।		वक्र के क्षेत्र की गणना विभिन्न अक्षों के संबंध में की जा सकती है, जो दिए गए वक्र की सीमा के रूप में है। वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल की गणना <math>x</math>-अक्ष या <math>y</math>-अक्ष के संबंध में की जा सकती है। विशेष मामलों के लिए, वक्र अक्षों के नीचे होता है, और आंशिक रूप से अक्षों के नीचे होता है। इन सभी मामलों के लिए हमारे पास वक्र के नीचे का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए व्युत्पन्न सूत्र है।
			[[File:X-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल.jpg\|thumb\|245x245px\|X-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल]]
	'''<math>x</math>-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल''': यहाँ हम सबसे पहले वक्र <math>y = f(x),</math> और <math>x</math>-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल को देखेंगे। नीचे दिए गए चित्र वक्र और <math>x</math>-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल को दर्शाते हैं। <math>x</math>-अक्ष के सापेक्ष वक्र के लिए परिबद्ध मान क्रमशः <math>a</math> और <math>b</math> हैं। <math>x</math>-अक्ष के सापेक्ष वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है <math>A=\ _a\int_{}^{b } f(x)\cdot dx</math>		'''<math>x</math>-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल''': यहाँ हम सबसे पहले वक्र <math>y = f(x),</math> और <math>x</math>-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल को देखेंगे। नीचे दिए गए चित्र वक्र और <math>x</math>-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल को दर्शाते हैं। <math>x</math>-अक्ष के सापेक्ष वक्र के लिए परिबद्ध मान क्रमशः <math>a</math> और <math>b</math> हैं। <math>x</math>-अक्ष के सापेक्ष वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है <math>A=\ _a\int_{}^{b } f(x)\cdot dx</math>


			[[File:Y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल.jpg\|thumb\|Y-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल]]


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			[[File:अक्ष के अंतर्गत क्षेत्रफल.jpg\|thumb\|247x247px\|अक्ष के अंतर्गत क्षेत्रफल]]


	'''अक्ष के अंतर्गत क्षेत्रफल :''' अक्ष के नीचे वक्र का क्षेत्र ऋणात्मक मान है और इसलिए क्षेत्र का मापांक लिया जाता है। <math>x</math>-अक्ष के नीचे और <math>x</math>-अक्ष से घिरे वक्र <math>y = f(x),</math> का क्षेत्र <math>a</math> और <math>b</math> की सीमाएँ लेकर प्राप्त किया जाता है। वक्र और <math>x</math>-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है। <math>A=\left\vert \ _a\int_{}^{b } f(x)\cdot dx \right\vert</math>		'''अक्ष के अंतर्गत क्षेत्रफल :''' अक्ष के नीचे वक्र का क्षेत्र ऋणात्मक मान है और इसलिए क्षेत्र का मापांक लिया जाता है। <math>x</math>-अक्ष के नीचे और <math>x</math>-अक्ष से घिरे वक्र <math>y = f(x),</math> का क्षेत्र <math>a</math> और <math>b</math> की सीमाएँ लेकर प्राप्त किया जाता है। वक्र और <math>x</math>-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है। <math>A=\left\vert \ _a\int_{}^{b } f(x)\cdot dx \right\vert</math>
			[[File:अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र.jpg\|thumb\|250x250px\|अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र]]
	'''अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र:''' वक्र का वह क्षेत्र जो आंशिक रूप से अक्ष के नीचे और आंशिक रूप से अक्ष के ऊपर है, उसे दो क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है और अलग-अलग गणना की जाती है। अक्ष के नीचे का क्षेत्र ऋणात्मक है, और इसलिए क्षेत्र का मापांक लिया जाता है। इसलिए कुल क्षेत्रफल दो क्षेत्रों के योग के बराबर है		'''अक्ष के ऊपर और नीचे का क्षेत्र:''' वक्र का वह क्षेत्र जो आंशिक रूप से अक्ष के नीचे और आंशिक रूप से अक्ष के ऊपर है, उसे दो क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है और अलग-अलग गणना की जाती है। अक्ष के नीचे का क्षेत्र ऋणात्मक है, और इसलिए क्षेत्र का मापांक लिया जाता है। इसलिए कुल क्षेत्रफल दो क्षेत्रों के योग के बराबर है

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			[[File:वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल - वृत्त.jpg\|thumb\|256x256px\|वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल - वृत्त]]

	== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल - वृत्त ==		== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल - वृत्त ==
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	अतः वृत्त का क्षेत्रफल <math>\pi a^2 </math> वर्ग इकाई है।		अतः वृत्त का क्षेत्रफल <math>\pi a^2 </math> वर्ग इकाई है।
			[[File:वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल - परवलय.jpg\|thumb\|275x275px\|वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल - परवलय]]

	== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल - परवलय ==		== वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल - परवलय ==
	एक परवलय में एक अक्ष होता है जो परवलय को दो सममित भागों में विभाजित करता है। यहाँ हम एक परवलय लेते हैं जो x-अक्ष के साथ सममित है और इसका समीकरण <math>y^2 = 4ax</math> है। इसे <math>y = \sqrt{(4ax)}</math> के रूप में बदला जा सकता है। हम सबसे पहले <math>x</math>-अक्ष के संबंध में और <math>0</math> से <math>a</math> तक की सीमाओं के साथ पहले चतुर्थांश में परवलय का क्षेत्र ज्ञात करते हैं। यहाँ हम समीकरण को सीमा के भीतर एकीकृत करते हैं और इसे दोगुना करते हैं, ताकि पूरे परवलय का क्षेत्र प्राप्त हो सके। परवलय के क्षेत्र के लिए व्युत्पन्न इस प्रकार है।		एक परवलय में एक अक्ष होता है जो परवलय को दो सममित भागों में विभाजित करता है। यहाँ हम एक परवलय लेते हैं जो x-अक्ष के साथ सममित है और इसका समीकरण <math>y^2 = 4ax</math> है। इसे <math>y = \sqrt{(4ax)}</math> के रूप में बदला जा सकता है। हम सबसे पहले <math>x</math>-अक्ष के संबंध में और <math>0</math> से <math>a</math> तक की सीमाओं के साथ पहले चतुर्थांश में परवलय का क्षेत्र ज्ञात करते हैं। यहाँ हम समीकरण को सीमा के भीतर एकीकृत करते हैं और इसे दोगुना करते हैं, ताकि पूरे परवलय का क्षेत्र प्राप्त हो सके। परवलय के क्षेत्र के लिए व्युत्पन्न इस प्रकार है।





	<math>A= 2 \int_{0}^{a } \sqrt{(4ax)}\cdot dx</math>		<math>A= 2 \int_{0}^{a } \sqrt{(4ax)}\cdot dx</math>

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