सारणिक - Revision history

Mani at 04:44, 17 January 2024

2024-01-17T04:44:28Z

← Older revision		Revision as of 10:14, 17 January 2024
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	=== उदाहरण ===		=== उदाहरण ===
			<math>A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1\\ 4 & -2 & 5 \\ 2 & 8 & 7\end{bmatrix}</math>

			<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}=(1 \times 3\begin{vmatrix}-2 & 5\\ 8 & 7 \end{vmatrix})+(-1 \times 1\begin{vmatrix}4 & 5\\ 2 & 7 \end{vmatrix})+(1 \times 1\begin{vmatrix}4 & -2\\ 2 & 8 \end{vmatrix}) </math>

			<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= 3(-2 \times 7 -5 \times 8)-1(4 \times 7-5 \times 2)+1(4 \times 8-(-2 \times 2)) </math>

			<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= 3(-14 -40)-1(28-10)+1(32-(-4)) </math>

			<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= 3(-54)-1(18)+1(36) </math>

			<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= -162-18+36 </math>

			<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= -144 </math>

	[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: added content

2024-01-17T04:43:59Z

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← Older revision		Revision as of 10:13, 17 January 2024
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	'''एक पंक्ति के साथ एक सारणिक का विस्तार (पहली पंक्ति)'''		'''एक पंक्ति के साथ एक सारणिक का विस्तार (पहली पंक्ति)'''

			'''प्रक्रिया 1''': पहली पंक्ति के पहले अवयव <math>a_{11}</math> को <math>(-1)^{sum \ of \ suffixes \ in \ a_{11}} = (-1)^{1+1}=(-1)^{2}= 1</math> और <math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}</math> की पहली पंक्ति और पहले स्तंभ के अवयवों को हटाकर प्राप्त दूसरे कोटि के सारणिक के साथ से गुणा करें चूँकि <math>a_{11}</math> पहली पंक्ति और पहले स्तंभ में स्थित है।

			<math>1 \times a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}</math>

			'''प्रक्रिया 2''' : पहली पंक्ति के पहले अवयव <math>a_{12}</math> को <math>(-1)^{sum \ of \ suffixes \ in \ a_{12}} = (-1)^{1+2}=(-1)^{3}= -1</math> और <math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}</math> की पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ के अवयवों को हटाकर प्राप्त दूसरे कोटि के सारणिक के साथ से गुणा करें चूँकि <math>a_{12}</math> पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ में स्थित है।

			<math>-1 \times a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}</math>

			'''प्रक्रिया 3''' : पहली पंक्ति के पहले अवयव <math>a_{13}</math> को <math>(-1)^{sum \ of \ suffixes \ in \ a_{13}} = (-1)^{1+3}=(-1)^{4}= 1</math> और <math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}</math> की पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ के अवयवों को हटाकर प्राप्त दूसरे कोटि के सारणिक के साथ से गुणा करें चूँकि <math>a_{13}</math> पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ में स्थित है।

			<math>1 \times a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}</math>

			'''प्रक्रिया 4''' : उपरोक्त प्रक्रिया 1, 2, और 3 में प्राप्त तीनों पदों के योग के रूप में लिखे गए <math>A
			</math> (<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}
			</math>) के सारणिकों का विस्तार इस प्रकार दिया गया है

			<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}=(1 \times a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix})+(-1 \times a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix})+(1 \times a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix})
			</math>

			<math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} )-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23} a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22} a_{31})
			</math>

			=== उदाहरण ===
	[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: added content

2024-01-16T13:25:32Z

added content

@@ Line 14: / Line 14: @@
 == कोटि एक के आव्यूह का सारणिक ==
 मान लीजिए  <math>A = \begin{bmatrix} a \end{bmatrix}</math>  कोटि <math>1</math> का आव्यूह है, तो <math>A</math> का सारणिक <math>a</math> के समान परिभाषित किया जाएगा।
 == कोटि दो के आव्यूह का सारणिक ==
-मान लीजिए  <math>A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math>  कोटि <math>2 \times 2</math> का आव्यूह है, तो <math>A</math> का सारणिक <math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}</math> के समान परिभाषित किया जाएगा।
+मान लीजिए  <math>A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}</math>  कोटि <math>2 \times 2</math> का आव्यूह है, तो <math>A</math> का सारणिक <math>\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}</math> के समान परिभाषित किया जाएगा।
 [[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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2024-01-13T12:14:58Z

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@@ Line 6: / Line 6: @@
 एक सारणिक को संख्याओं की ग्रिड लेकर और उन्हें वर्गाकार कोष्ठकों का उपयोग करने के बजाय निरपेक्ष-मूल्य बार के अंदर व्यवस्थित करके लिखा जाता है।
-आव्यूह पर विचार करें
+आव्यूह <math>C = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}</math> पर विचार करें
 [[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: New Mathematics Class 12 Hindi Page Created

2024-01-13T05:23:35Z

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← Older revision		Revision as of 10:53, 13 January 2024
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	~~Determinant~~		सारणिक एक अदिश मान है जिसकी गणना एक वर्ग आव्यूह के तत्वों से की जा सकती है।

			== परिभाषा ==
			प्रत्येक <math>n \times n</math> कोटि का वर्ग आव्यूह <math>C=[c_{ij}]</math> के लिए, एक सारणिक को एक अदिश मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो वास्तविक या एक जटिल संख्या है, जहां आव्यूह का <math>(i,j)</math>वां अवयव <math>c_{ij}</math> है। सारणिक को <math>det(C)</math> या <math>\begin{vmatrix}C \end{vmatrix}</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है।

			एक सारणिक को संख्याओं की ग्रिड लेकर और उन्हें वर्गाकार कोष्ठकों का उपयोग करने के बजाय निरपेक्ष-मूल्य बार के अंदर व्यवस्थित करके लिखा जाता है।

			आव्यूह पर विचार करें
	[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: Updated Category

2023-08-07T05:11:26Z

Updated Category

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	Determinant		Determinant

	~~[[Category:रैखिक बीजगणित]]~~
	[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:24, 4 August 2023

2023-08-04T06:24:02Z

← Older revision		Revision as of 11:54, 4 August 2023
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	[[Category:रैखिक बीजगणित]]		[[Category:रैखिक बीजगणित]]
	[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]]		[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:20, 4 August 2023

2023-08-04T06:20:01Z

← Older revision		Revision as of 11:50, 4 August 2023
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	[[Category:रैखिक बीजगणित]]		[[Category:रैखिक बीजगणित]]
	[[Category:सारणिक]]		[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]]

Mani: added category

2023-04-25T04:26:08Z

added category

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	[[Category:रैखिक बीजगणित]]		[[Category:रैखिक बीजगणित]]
			[[Category:सारणिक]]

Sarika at 06:47, 19 April 2023

2023-04-19T06:47:33Z

← Older revision		Revision as of 12:17, 19 April 2023
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	Determinant		Determinant
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:रैखिक बीजगणित~~]][[Category: कक्षा-12~~]]		[[Category:रैखिक बीजगणित]]