सारणिकों के गुणधर्म - Revision history

Mani: added content

2024-01-30T02:20:59Z

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← Older revision		Revision as of 07:50, 30 January 2024
Line 121:		Line 121:
	<math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup</math>		<math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup</math>
	=== त्रिकोणीय गुणधर्म ===		=== त्रिकोणीय गुणधर्म ===
			यदि मुख्य विकर्ण के ऊपर या नीचे के अवयव शून्य के समान हैं, तो सारणिक का मूल्य विकर्ण आव्यूह के अवयवों के गुणनफल के समान होता है।

	<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\0 & 0 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ b_1 & b_2 & 0\\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}= a_1b_2c_3</math>		<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\0 & 0 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ b_1 & b_2 & 0\\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}= a_1b_2c_3</math>

	'''~~Verification~~'''		'''सत्यापन'''

	L.H.S <math>=a_1(b_2c_3-0)-a_2 (0-0)+a_3(0-0)=a_1b_2c_3 </math>		L.H.S <math>=a_1(b_2c_3-0)-a_2 (0-0)+a_3(0-0)=a_1b_2c_3 </math>

Mani: /* त्रिकोणीय गुणधर्म */

2024-01-30T02:17:06Z

त्रिकोणीय गुणधर्म

@@ Line 121: / Line 121: @@
 <math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup</math>
 === त्रिकोणीय गुणधर्म ===
 [[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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2024-01-29T04:21:53Z

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← Older revision		Revision as of 09:51, 29 January 2024
Line 106:		Line 106:
	<math>=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>=R.H.S		<math>=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>=R.H.S
	=== अपरिवर्तनीय गुणधर्म ===		=== अपरिवर्तनीय गुणधर्म ===
			यदि किसी सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक अवयव में, अन्य पंक्तियों (या स्तंभों) के संगत अवयवों के समगुणकों को जोड़ दिया जाए, तो सारणिक का मान वही रहता है, अर्थात, सारणिक का मान वही रहता है यदि हम संचालन <math>R_i=R_i+kR_j</math> या <math>C_i=C_i+kC_j</math>लागू करें।

	<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math> <math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} a_1+kc_1 & a_2+kc_2 & a_3+kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>		<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math> <math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} a_1+kc_1 & a_2+kc_2 & a_3+kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>

	~~Here we have multiplied the elements of the third row~~ (<math>R_3</math>) ~~by a constant~~ <math>k</math> ~~and added them to the corresponding elements of the first row~~ (<math>R_1</math>)~~. This is shown symbolically as~~ <math>R_1=R_1+kR_3</math>		यहां हमने तीसरी पंक्ति (<math>R_3</math>) के अवयवों को एक स्थिरांक <math>k</math> से गुणा किया है और उन्हें पहली पंक्ति (<math>R_1</math>) के संबंधित अवयवों में जोड़ा है। इसे प्रतीकात्मक रूप से <math>R_1=R_1+kR_3</math> के रूप में दर्शाया गया है <math>R_1=R_1+kR_3</math>

	~~Using~~ '''~~Sum property~~'''		'''योग गुणधर्म''' का उपयोग करने पर

	<math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} a_1+kc_1 & a_2+kc_2 & a_3+kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}		<math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} a_1+kc_1 & a_2+kc_2 & a_3+kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}
	=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} kc_1 & kc_2 & kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>		=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} kc_1 & kc_2 & kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>

	<math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup+0</math> (~~as the~~ <math>R_1</math> ~~and~~ <math>R_3</math> ~~are proportional~~)		<math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup+0</math> (चूंकि <math>R_1</math> और <math>R_3</math> समानुपाती हैं)

	<math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup</math>		<math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup</math>


	=== त्रिकोणीय गुणधर्म ===		=== त्रिकोणीय गुणधर्म ===
	[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani at 04:06, 29 January 2024

2024-01-29T04:06:52Z

@@ Line 106: / Line 106: @@
 <math>=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>=R.H.S
 === अपरिवर्तनीय गुणधर्म ===
 === त्रिकोणीय गुणधर्म ===
 [[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: content modified

2024-01-29T03:24:40Z

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← Older revision		Revision as of 08:54, 29 January 2024
Line 73:		Line 73:
	<math>\bigtriangleup= 3 -0 -3 =0 </math>		<math>\bigtriangleup= 3 -0 -3 =0 </math>
	=== गुणन गुणधर्म ===		=== गुणन गुणधर्म ===
	यदि किसी सारणिक की पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक अवयव को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो उसका मान k से गुणा हो जाता है		यदि किसी सारणिक की पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक अवयव को एक स्थिरांक <math>k</math> से गुणा किया जाता है, तो उसका मान <math>k</math> से गुणा हो जाता है

	<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math> <math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>		<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math> <math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>

Mani: added content

2024-01-29T03:22:46Z

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← Older revision		Revision as of 08:52, 29 January 2024
Line 73:		Line 73:
	<math>\bigtriangleup= 3 -0 -3 =0 </math>		<math>\bigtriangleup= 3 -0 -3 =0 </math>
	=== गुणन गुणधर्म ===		=== गुणन गुणधर्म ===
	यदि किसी सारणिक की पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक ~~तत्व~~ को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो उसका मान k से गुणा हो जाता है		यदि किसी सारणिक की पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक अवयव को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो उसका मान k से गुणा हो जाता है

	<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math> <math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>		<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math> <math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>
Line 91:		Line 91:
	<math>\bigtriangleup_1=2\bigtriangleup</math>		<math>\bigtriangleup_1=2\bigtriangleup</math>
	=== योग गुणधर्म ===		=== योग गुणधर्म ===
			यदि किसी सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ के कुछ या सभी अवयवों को दो (या अधिक) पदों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो सारणिक को दो (या अधिक) सारणिकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

	<math>\begin{vmatrix} a_1+d_1 & a_2+d_2 & a_3+d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>		<math>\begin{vmatrix} a_1+d_1 & a_2+d_2 & a_3+d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>

	'''~~Verification~~'''		'''सत्यापन'''

	L.H.S =<math>\begin{vmatrix} a_1+d_1 & a_2+d_2 & a_3+d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>		L.H.S =<math>\begin{vmatrix} a_1+d_1 & a_2+d_2 & a_3+d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>
Line 103:		Line 105:

	<math>=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>=R.H.S		<math>=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>=R.H.S


	=== अपरिवर्तनीय गुणधर्म ===		=== अपरिवर्तनीय गुणधर्म ===

	=== त्रिकोणीय गुणधर्म ===		=== त्रिकोणीय गुणधर्म ===
	[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani at 03:20, 29 January 2024

2024-01-29T03:20:22Z

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 <math>\bigtriangleup_1=2\bigtriangleup</math>
 === योग गुणधर्म ===
 === अपरिवर्तनीय गुणधर्म ===

Mani: added content

2024-01-29T03:19:28Z

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← Older revision		Revision as of 08:49, 29 January 2024
Line 73:		Line 73:
	<math>\bigtriangleup= 3 -0 -3 =0 </math>		<math>\bigtriangleup= 3 -0 -3 =0 </math>
	=== गुणन गुणधर्म ===		=== गुणन गुणधर्म ===
			यदि किसी सारणिक की पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक तत्व को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो उसका मान k से गुणा हो जाता है

	<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math> <math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>		<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math> <math>\bigtriangleup_1= \begin{vmatrix} ka_1 & ka_2 & ka_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>

	<math>\bigtriangleup_1=k\bigtriangleup</math>		<math>\bigtriangleup_1=k\bigtriangleup</math>

	'''~~Verification~~'''		'''सत्यापन'''

	<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\3 & 2 & 3 \end{vmatrix}</math> <math>k=2</math>		<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\3 & 2 & 3 \end{vmatrix}</math> <math>k=2</math>
Line 88:		Line 90:

	<math>\bigtriangleup_1=2\bigtriangleup</math>		<math>\bigtriangleup_1=2\bigtriangleup</math>


	=== योग गुणधर्म ===		=== योग गुणधर्म ===

Mani at 03:17, 29 January 2024

2024-01-29T03:17:54Z

@@ Line 73: / Line 73: @@
 <math>\bigtriangleup=  3 -0 -3 =0  </math>
 === गुणन गुणधर्म ===
 === योग गुणधर्म ===

Mani: added content

2024-01-29T03:17:26Z

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Line 62:		Line 62:

	'''सत्यापन'''		'''सत्यापन'''

	<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} 3 & 2 & 3 \\3 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}</math>		<math>\bigtriangleup= \begin{vmatrix} 3 & 2 & 3 \\3 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}</math>

Line 71:		Line 72:

	<math>\bigtriangleup= 3 -0 -3 =0 </math>		<math>\bigtriangleup= 3 -0 -3 =0 </math>


	=== गुणन गुणधर्म ===		=== गुणन गुणधर्म ===