सैद्धांतिक प्रायिकता - Revision history

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2023-11-21T06:31:46Z

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	हम लोगो में से प्रत्येक ने जीवन में<ref>{{Cite web\|url=https://byjus.com/maths/theoretical-probability/\|title=परिभाषा}}</ref> कई परिस्थितियों का सामना किया होगा जहां हमें जोखिम लेना पड़ा होगा । स्थिति के आधार पर कुछ हद तक यह अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष घटना घटित होने वाली है या नहीं । किसी विशेष घटना के घटित होने की इस संभावना को हम प्रायिकता में अध्ययन करते हैं। सैद्धांतिक प्रायिकता, सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना को ज्ञात करने से संबंधित है । सैद्धांतिक प्रायिकता को शास्त्रीय प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है । किसी घटना के घटित होने की संभावना <math>0</math> और <math>1</math> के बीच होती है । यदि संभावना <math>0</math> के करीब है, तो इसका मतलब है कि घटना घटित होने की संभावना कम है । इसी तरह , यदि संभावना <math>1</math> के करीब है तो यह दर्शाता है कि घटना के घटित होने की संभावना अधिक है ।		हम लोगो में से प्रत्येक ने जीवन में<ref>{{Cite web\|url=https://byjus.com/maths/theoretical-probability/\|title=परिभाषा}}</ref> कई परिस्थितियों का सामना किया होगा जहां हमें जोखिम लेना पड़ा होगा । स्थिति के आधार पर कुछ हद तक यह अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष घटना घटित होने वाली है या नहीं । किसी विशेष घटना के घटित होने की इस संभावना को हम प्रायिकता में अध्ययन करते हैं। सैद्धांतिक प्रायिकता, सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना को ज्ञात करने से संबंधित है । सैद्धांतिक प्रायिकता को शास्त्रीय प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है । किसी घटना के घटित होने की संभावना <math>0</math> और <math>1</math> के बीच होती है । यदि संभावना <math>0</math> के करीब है, तो इसका मतलब है कि घटना घटित होने की संभावना कम है । इसी तरह , यदि संभावना <math>1</math> के करीब है तो यह दर्शाता है कि घटना के घटित होने की संभावना अधिक है ।

Mani at 09:48, 16 October 2023

2023-10-16T09:48:36Z

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	हम लोगो में से प्रत्येक ने जीवन में<ref>{{Cite web\|url=https://byjus.com/maths/theoretical-probability/\|title=परिभाषा}}</ref> कई परिस्थितियों का सामना किया होगा जहां हमें जोखिम लेना पड़ा होगा । स्थिति के आधार पर कुछ हद तक यह अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष घटना घटित होने वाली है या नहीं । किसी विशेष घटना के घटित होने की इस संभावना को हम प्रायिकता में अध्ययन करते हैं। सैद्धांतिक प्रायिकता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना ~~का पता लगाने~~ से संबंधित है । सैद्धांतिक प्रायिकता को शास्त्रीय प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है । किसी घटना के घटित होने की संभावना <math>0</math> और <math>1</math> के बीच होती है । यदि संभावना <math>0</math> के करीब है तो इसका मतलब है कि घटना घटित होने की संभावना कम है । इसी तरह , यदि संभावना <math>1</math> के करीब है तो यह दर्शाता है कि घटना के घटित होने की संभावना अधिक है ।		हम लोगो में से प्रत्येक ने जीवन में<ref>{{Cite web\|url=https://byjus.com/maths/theoretical-probability/\|title=परिभाषा}}</ref> कई परिस्थितियों का सामना किया होगा जहां हमें जोखिम लेना पड़ा होगा । स्थिति के आधार पर कुछ हद तक यह अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष घटना घटित होने वाली है या नहीं । किसी विशेष घटना के घटित होने की इस संभावना को हम प्रायिकता में अध्ययन करते हैं। सैद्धांतिक प्रायिकता, सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना को ज्ञात करने से संबंधित है । सैद्धांतिक प्रायिकता को शास्त्रीय प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है । किसी घटना के घटित होने की संभावना <math>0</math> और <math>1</math> के बीच होती है । यदि संभावना <math>0</math> के करीब है, तो इसका मतलब है कि घटना घटित होने की संभावना कम है । इसी तरह , यदि संभावना <math>1</math> के करीब है तो यह दर्शाता है कि घटना के घटित होने की संभावना अधिक है ।

	==विशेषताएं==		==विशेषताएं==
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	=== प्रारम्भिक घटना <ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS( NCERT) \|edition=REVISED \|pages=299-302}}</ref> ===		=== प्रारम्भिक घटना <ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS( NCERT) \|edition=REVISED \|pages=299-302}}</ref> ===
	ऐसी घटना जिसमें प्रयोग का केवल एक परिणाम होता है , उसे प्रारंभिक घटना कहा जाता है । सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकता का योग <math>1</math> होता है । उदाहरण के लिए , जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>5</math> आने की प्रायिकता प्रारम्भिक घटना होगी ।		ऐसी घटना जिसमें प्रयोग का केवल एक परिणाम होता है , उसे प्रारंभिक घटना कहा जाता है । सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकता का योग <math>1</math> होता है । उदाहरण के लिए , जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>5</math> आने की प्रायिकता प्रारम्भिक घटना होगी ।

	=== असंभव घटना ===		=== असंभव घटना ===

Jaya agarwal: /* पूरक घटनाएँ */

2023-10-15T06:08:55Z

पूरक घटनाएँ

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	=== पूरक घटनाएँ ===		=== पूरक घटनाएँ ===
	दो घटनाएँ जो इस प्रकार मौजूद हैं कि एक घटना तब घटित होगी तभी जब दूसरी घटना घटित नहीं होगी उसे पूरक घटनाएँ कहा जाता है । दो घटनाओं को पूरक घटनाओं के रूप में वर्गीकृत करने के लिए उन्हें परस्पर अनन्य होना चाहिए । पूरक घटनाएँ तभी घटित हो सकती हैं जब दो परिणाम होते हैं । मान लीजिए <math>E</math> एक घटना है, <math>E</math> के पूरक को <math>E'</math> या <math>E_c</math> के रूप में दर्शाया जाता है । पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग '''<math>1</math>''' के बराबर होना चाहिए अर्थात <math>P(E)+P(E')=1</math>		दो घटनाएँ जो इस प्रकार मौजूद हैं कि एक घटना तब घटित होगी तभी जब दूसरी घटना घटित नहीं होगी उसे पूरक घटनाएँ कहा जाता है । दो घटनाओं को पूरक घटनाओं के रूप में वर्गीकृत करने के लिए उन्हें परस्पर अनन्य होना चाहिए । पूरक घटनाएँ तभी घटित हो सकती हैं जब दो परिणाम होते हैं । मान लीजिए <math>E</math> एक घटना है, <math>E</math> के पूरक को <math>E'</math> या <math>E_c</math> के रूप में दर्शाया जाता है । पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग '''<math>1</math>''' के बराबर होना चाहिए अर्थात <math>P(E)+P(E')=1</math> या <math>P(E)+P(E_c)=1</math>

	==उदाहरण 1==		==उदाहरण 1==

Jaya agarwal: /* उदाहरण */

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उदाहरण

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	हम लोगो में से प्रत्येक ने जीवन में<ref>{{Cite web\|url=https://byjus.com/maths/theoretical-probability/\|title=परिभाषा}}</ref> कई परिस्थितियों का सामना किया होगा जहां हमें जोखिम लेना पड़ा होगा । स्थिति के आधार पर कुछ हद तक यह अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष घटना घटित होने वाली है या नहीं । किसी विशेष घटना के घटित होने की इस संभावना को हम प्रायिकता में अध्ययन करते हैं। सैद्धांतिक प्रायिकता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना का पता लगाने से संबंधित है । सैद्धांतिक प्रायिकता को शास्त्रीय प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है । किसी घटना के घटित होने की संभावना <math>0</math> और <math>1</math> के बीच होती है । यदि संभावना <math>0</math> के करीब है तो इसका मतलब है कि घटना घटित होने की संभावना कम है । इसी तरह , यदि संभावना <math>1</math> के करीब है तो यह दर्शाता है कि घटना के घटित होने की संभावना अधिक है ।		हम लोगो में से प्रत्येक ने जीवन में<ref>{{Cite web\|url=https://byjus.com/maths/theoretical-probability/\|title=परिभाषा}}</ref> कई परिस्थितियों का सामना किया होगा जहां हमें जोखिम लेना पड़ा होगा । स्थिति के आधार पर कुछ हद तक यह अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष घटना घटित होने वाली है या नहीं । किसी विशेष घटना के घटित होने की इस संभावना को हम प्रायिकता में अध्ययन करते हैं। सैद्धांतिक प्रायिकता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना का पता लगाने से संबंधित है । सैद्धांतिक प्रायिकता को शास्त्रीय प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है । किसी घटना के घटित होने की संभावना <math>0</math> और <math>1</math> के बीच होती है । यदि संभावना <math>0</math> के करीब है तो इसका मतलब है कि घटना घटित होने की संभावना कम है । इसी तरह , यदि संभावना <math>1</math> के करीब है तो यह दर्शाता है कि घटना के घटित होने की संभावना अधिक है ।

	~~==== उदाहरण ====~~

	# अठारहवीं शताब्दी के फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>
	# ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>
	# सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>

	जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है , चित की [[प्रायोगिक प्रायिकता]] संख्या <math>0.5</math> अर्थात, <math>\frac{1}{2}</math> के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की सैद्धांतिक प्रायिकता कहते हैं ।

	==विशेषताएं==		==विशेषताएं==

Jaya agarwal: /* विभिन्न घटनाएँ */

2023-10-15T05:19:33Z

विभिन्न घटनाएँ

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	== विभिन्न घटनाएँ ==		== विभिन्न घटनाएँ ==

	# प्रारम्भिक घटना <ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS( NCERT) \|edition=REVISED \|pages=299-302}}</ref>: ऐसी घटना जिसमें प्रयोग का केवल एक परिणाम होता है , उसे प्रारंभिक घटना कहा जाता है । सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकता का योग <math>1</math> होता है । उदाहरण के लिए , जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>5</math> आने की प्रायिकता प्रारम्भिक घटना होगी ।		=== प्रारम्भिक घटना <ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS( NCERT) \|edition=REVISED \|pages=299-302}}</ref> ===
	# असंभव घटना : वह घटना है जिसके घटित होने की कोई संभावना नहीं होती उसे असंभव घटना कहा जाता है । अतः , एक असंभव घटना की प्रायिकता <math>0</math> होती है । उदाहरण के लिए , जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>9</math> आने की प्रायिकता असंभव घटना होगी ।		ऐसी घटना जिसमें प्रयोग का केवल एक परिणाम होता है , उसे प्रारंभिक घटना कहा जाता है । सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकता का योग <math>1</math> होता है । उदाहरण के लिए , जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>5</math> आने की प्रायिकता प्रारम्भिक घटना होगी ।
	# निश्चित घटना : वह घटना जो हमेशा घटित होती है उसे निश्चित घटना कहा जाता है । इसलिए किसी निश्चित घटना की प्रायिकता '''<math>1</math>''' होती है। उदाहरण के लिए, जब हम एक पासा फेंकते हैं , तो <math>7</math> से कम संख्या प्राप्त होना एक निश्चित घटना होगी ।
	# पूरक घटनाएँ : दो घटनाएँ जो इस प्रकार मौजूद हैं कि एक घटना तब घटित होगी तभी जब दूसरी घटना घटित नहीं होगी उसे पूरक घटनाएँ कहा जाता है । दो घटनाओं को पूरक घटनाओं के रूप में वर्गीकृत करने के लिए उन्हें परस्पर अनन्य होना चाहिए । पूरक घटनाएँ तभी घटित हो सकती हैं जब दो परिणाम होते हैं । मान लीजिए <math>E</math> एक घटना है, <math>E</math> के पूरक को <math>E'</math> या <math>E_c</math> के रूप में दर्शाया जाता है । पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग '''<math>1</math>''' के बराबर होना चाहिए अर्थात <math>P(E)+P(E')=1</math>		=== असंभव घटना ===
			वह घटना है जिसके घटित होने की कोई संभावना नहीं होती उसे असंभव घटना कहा जाता है । अतः , एक असंभव घटना की प्रायिकता <math>0</math> होती है । उदाहरण के लिए, जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>9</math> आने की प्रायिकता असंभव घटना होगी ।

			=== निश्चित घटना ===
			वह घटना जो हमेशा घटित होती है उसे निश्चित घटना कहा जाता है । इसलिए किसी निश्चित घटना की प्रायिकता '''<math>1</math>''' होती है। उदाहरण के लिए, जब हम एक पासा फेंकते हैं , तो <math>7</math> से कम संख्या प्राप्त होना एक निश्चित घटना होगी ।

			=== पूरक घटनाएँ ===
			दो घटनाएँ जो इस प्रकार मौजूद हैं कि एक घटना तब घटित होगी तभी जब दूसरी घटना घटित नहीं होगी उसे पूरक घटनाएँ कहा जाता है । दो घटनाओं को पूरक घटनाओं के रूप में वर्गीकृत करने के लिए उन्हें परस्पर अनन्य होना चाहिए । पूरक घटनाएँ तभी घटित हो सकती हैं जब दो परिणाम होते हैं । मान लीजिए <math>E</math> एक घटना है, <math>E</math> के पूरक को <math>E'</math> या <math>E_c</math> के रूप में दर्शाया जाता है । पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग '''<math>1</math>''' के बराबर होना चाहिए अर्थात <math>P(E)+P(E')=1</math>

	==उदाहरण 1==		==उदाहरण 1==

Jaya agarwal: /* विशेषताएं */

2023-10-15T05:16:27Z

विशेषताएं

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	# अठारहवीं शताब्दी के फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>		# अठारहवीं शताब्दी के फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>
	# ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>~~4040~~</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>		# ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>
	# सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>		# सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>

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	सैद्धांतिक प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,		सैद्धांतिक प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,

	<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या/संभावित परिणामों की कुल संख्या		<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

	मान रखने पर ,		मान रखने पर ,
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	प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,		प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,

	<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या/संभावित परिणामों की कुल संख्या		<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

	मान रखने पर ,		मान रखने पर ,

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	सैद्धांतिक प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,		सैद्धांतिक प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,

	<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या/संभावित परिणामों की कुल संख्या		<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

	मान रखने पर ,		मान रखने पर ,

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2023-10-14T12:24:11Z

उदाहरण

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	# अठारहवीं शताब्दी के फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>		# अठारहवीं शताब्दी के फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>
	# ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>4040</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.~~507~~</math>		# ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>4040</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>
	# सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>		# सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>

Jaya agarwal: /* उदाहरण 4 */

2023-10-10T07:33:40Z

उदाहरण 4

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	== उदाहरण 4 ==		== उदाहरण 4 ==
	दो खिलाड़ी , श्याम और मोहन , एक टेनिस मैच खेलते हैं । श्याम के मैच जीतने की प्रायिकता <math>0.63</math> है । मोहन के मैच जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।		दो खिलाड़ी , श्याम और मोहन , एक टेनिस मैच खेलते हैं । श्याम के मैच जीतने की प्रायिकता <math>0.63</math> है । मोहन के मैच जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

			हल

	मान लीजिए कि श्याम के मैच जीतने की घटना <math>S</math> एवं मोहन के मैच जीतने की घटना <math>M</math> है ।		मान लीजिए कि श्याम के मैच जीतने की घटना <math>S</math> एवं मोहन के मैच जीतने की घटना <math>M</math> है ।