AP के प्रथम n पदों का योग - Revision history

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-09-18T07:20:36Z

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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	एक समांतर श्रेढ़ी में <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।		एक समांतर श्रेढ़ी में <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

Mani at 08:52, 16 September 2023

2023-09-16T08:52:20Z

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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	एक समांतर श्रेढ़ी में <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय ~~लगेगा~~ तथा ~~कभी-कभी यह~~ विधि सही उत्तर भी ~~नहीं देगी ।~~ इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।		एक समांतर श्रेढ़ी में <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगने तथा प्रायः इस विधि से सही उत्तर नहीं प्राप्त होने के संभावनाएँ भी होंगी। इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

	== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र ==		== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र ==

Mani at 08:48, 16 September 2023

2023-09-16T08:48:03Z

← Older revision		Revision as of 14:18, 16 September 2023
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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	एक समांतर श्रेढ़ी में <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ~~निकालना~~ है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा तथा कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी । इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।		एक समांतर श्रेढ़ी में <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग ज्ञात करना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा तथा कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी । इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

	== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग ~~निकालने~~ के लिए सूत्र ==		== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग ज्ञात करने के लिए सूत्र ==
	मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math> है ।		मान लीजिए एक समांतर श्रेढ़ी है, जिसका पहला पद <math>a</math> तथा सार्व अंतर <math>d</math> है ।
	इस [[AP का nवाँ पद\|श्रेढ़ी का <math>n^{th}</math> पद <math>a_n=a+(n-1)d</math>]] होगा ।		इस [[AP का nवाँ पद\|श्रेढ़ी का <math>n^{th}</math> पद <math>a_n=a+(n-1)d</math>]] होगा ।
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	1. समान्तर श्रेढ़ी <math>1, 10, 19, 28, ...</math> के पहले <math>16</math> पदों का योग ज्ञात करो ।		1. समान्तर श्रेढ़ी <math>1, 10, 19, 28, ...</math> के पहले <math>16</math> पदों का योग ज्ञात करो ।

	हल		'''हल'''

	यहाँ, पहला पद <math>a=1</math>		यहाँ, पहला पद <math>a=1</math>
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	किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>14</math> पदों का योग <math>1505</math> है , तथा उसका पहला पद <math>10</math> है , सार्व अंतर ज्ञात करें ?		किसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>14</math> पदों का योग <math>1505</math> है , तथा उसका पहला पद <math>10</math> है , सार्व अंतर ज्ञात करें ?

	हल		'''हल'''

	पहला पद <math>a=10</math>		पहला पद <math>a=10</math>

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

2023-09-16T07:02:10Z

उदाहरण 2

← Older revision		Revision as of 12:32, 16 September 2023
Line 89:		Line 89:
	<math>d=\frac{195}{13}</math>		<math>d=\frac{195}{13}</math>

	<math>d=16</math>		<math>d=15</math>

	अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर <math>16</math> है ।		अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर <math>15</math> है ।

	== अभ्यास प्रश्न ==		== अभ्यास प्रश्न ==

Ramamurthy: /* उदाहरण 2 */

2023-09-16T07:00:52Z

उदाहरण 2

← Older revision		Revision as of 12:30, 16 September 2023
Line 71:		Line 71:
	पदों की संख्या <math>n=14</math>		पदों की संख्या <math>n=14</math>

	पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा,		पहले <math>n</math> पदों के योग के सूत्र द्वारा,

	<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>		<math>S=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

2023-09-16T07:00:48Z

उदाहरण 2

← Older revision		Revision as of 12:30, 16 September 2023
Line 81:		Line 81:
	<math>\frac{1505}{7}= 20+ 13d</math>		<math>\frac{1505}{7}= 20+ 13d</math>

	<math>215=20+3d</math>		<math>215=20+13d</math>

	<math>3d=215-20</math>		<math>13d=215-20</math>

	<math>3d=195</math>		<math>13d=195</math>

	<math>d=\frac{195}{3}</math>		<math>d=\frac{195}{13}</math>

	<math>d=65</math>		<math>d=16</math>

	अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर <math>65</math> है ।		अतः , समान्तर श्रेढ़ी का सार्व अंतर <math>16</math> है ।

	== अभ्यास प्रश्न ==		== अभ्यास प्रश्न ==

Jaya agarwal at 13:18, 15 September 2023

2023-09-15T13:18:17Z

← Older revision		Revision as of 18:48, 15 September 2023
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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	एक समांतर ~~श्रेणी~~ में <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग निकालना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा तथा कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी । इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।		एक समांतर श्रेढ़ी में <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम <math>n</math> पदों का योग निकालना है , तो हमें एक सूत्र की आवश्यकता होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को बिना सूत्र के जोड़ेंगे , तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा तथा कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी । इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

	== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग निकालने के लिए सूत्र ==		== समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योग निकालने के लिए सूत्र ==

Jaya agarwal at 13:17, 15 September 2023

2023-09-15T13:17:49Z

Show changes

Jaya agarwal at 07:57, 13 September 2023

2023-09-13T07:57:00Z

← Older revision		Revision as of 13:27, 13 September 2023
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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	पिछली इकाई में हमने समांतर श्रेणी के n<~~sup~~>th</~~sup~~> पद ( n<~~sup~~>th</~~sup~~> term) का मान निकालना सीख, हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी में (n terms) n पद होते हैं और यदि हमें उसे समांतर श्रेणी के ,प्रथम n पदों का योग ~~अर्थात ( sum of first n terms of an AP),~~ निकालना है तो हमें एक सूत्र की जरूरत होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को जोड़ेंगे तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा । कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी, इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले n ~~terms~~ को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।		पिछली इकाई में हमने समांतर श्रेणी के <math>n^{th}</math>पद ( <math>n^{th}</math> term) का मान निकालना सीख, हम जानते हैं कि एक समांतर श्रेणी में (n terms) <math>n</math> पद होते हैं और यदि हमें उसे समांतर श्रेणी के ,प्रथम <math>n</math> पदों का योग निकालना है तो हमें एक सूत्र की जरूरत होगी क्योंकि यदि हम उन सभी पदों को जोड़ेंगे तो इसे हल करने में अधिक समय लगेगा । कभी-कभी यह विधि सही उत्तर भी नहीं देगी, इसलिए हम समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों को जोड़ने के लिए और उसका आसानी से हल निकालने के लिए एक सूत्र का उपयोग करते हैं ।

	== समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग ==		== समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग ==

	~~'''S~~<~~sub>n</sub~~>= n/2[ 2a + (n-1)d]~~'''~~		<math>Sn=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>

			<math>Sn =</math> समांतर श्रेणी के पहले <math>n</math> पदों

			<math>a =</math> पहला पद ( first term)

	S<~~sub~~>n = ~~समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग~~</~~sub~~>		<math>n =</math> पदों की संख्या (number of terms)

	~~a = पहला पद ( first term)~~		<math>d =</math> सार्व अंतर (common difference)

	~~n = पदों की संख्या (number of terms)~~

	d = सार्व अंतर (common difference)

	=== <u>उदाहरण 1</u> ===		=== <u>उदाहरण 1</u> ===
	1. समान्तर ~~श्रेढ़ी~~ : 1, 10, 19, 28 ~~…………~~ के पहले 16 पदों का योग ज्ञात करो ।		1. समान्तर श्रेणी: <math>1, 10, 19, 28, ...</math> के पहले <math>16</math> पदों का योग ज्ञात करो ।

	<u>हल</u> – यहाँ पहला पद (a~~) first term~~ = 1		<u>हल</u> – यहाँ पहला पद <math>a=1</math>

	सार्व अंतर (d~~) common difference~~ = 10 – 1 = 9		सार्व अंतर <math>d=10-1=9</math>

	पदों की संख्या (n~~) number of terms~~ = 16,		पदों की संख्या <math>n=16</math>

	S<~~sub~~>16</~~sub~~> ( पहले 16 पदों का योग) =?		<math>S_{16}</math> ( पहले <math>16</math>पदों का योग) =?

	पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, S<~~sub>n</sub~~>= n/2[ 2a + (n-1)d]		पहले <math>n</math> पदों के योग के सूत्र द्वारा, <math>Sn=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]</math>

	मान रखने पर, S<~~sub~~>16</~~sub~~> = 16/2[~~2⨯1~~ + (16 – 1)9]		मान रखने पर, <math>S_{16}</math>= <math>\frac{16}{2}[2\times1 + (16 - 1)9]</math>

	S<~~sub~~>16</~~sub~~> = 8[2 + ~~15⨯9~~]		<math>S_{16}</math> <math>=8[2 + 15\times9] </math>

	S<~~sub~~>16</~~sub~~> = 8[2 + 135]		<math>S_{16}</math> <math>=8[2 + 135] </math>

	S<~~sub~~>16</~~sub~~> = 8[137]		<math>S_{16}</math> <math>= 8[137]</math>

	S<~~sub~~>16</~~sub~~> = 1096		<math>S_{16}</math> <math>= 1096</math>

	इसलिए, पहले 16 पदों का योग 1096 है।		इसलिए, पहले <math>16</math> पदों का योग <math>1096</math> है।

	=== <u>उदाहरण 2</u> ===		=== <u>उदाहरण 2</u> ===
	किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है, तथा उसका पहला पद 10 है ,उसका 25<~~sup~~>th</~~sup~~>पद ज्ञात करें?		किसी समांतर श्रेणी के प्रथम <math>14</math>पदों का योग <math>1505</math> है, तथा उसका पहला पद <math>10</math> है ,उसका <math>25^{th}</math>पद ज्ञात करें?

	<u>हल</u> – यहाँ पहला पद (a~~) first term~~ = 10		<u>हल</u> – यहाँ पहला पद <math>a=10</math>

	S<~~sub~~>14</~~sub~~> ( पहले 14 पदों का योग) = 1505		<math>S_{14}</math> ( पहले <math>14</math> पदों का योग) = <math>1505</math>

	पदों की संख्या (n~~) number of terms~~ = 14		पदों की संख्या <math>n=14</math>

	पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, S<sub>n</sub>= n/2[ 2a + (n-1)d]		पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, S<sub>n</sub>= n/2[ 2a + (n-1)d]

Ramamurthy at 07:29, 12 September 2023

2023-09-12T07:29:58Z

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Line 17:		Line 17:
	d = सार्व अंतर (common difference)		d = सार्व अंतर (common difference)

	=== <u>उदाहरण 1)-</u> ===		=== <u>उदाहरण 1</u> ===
	1. समान्तर श्रेढ़ी : 1, 10, 19, 28 ………… के पहले 16 पदों का योग ज्ञात करो ।		1. समान्तर श्रेढ़ी : 1, 10, 19, 28 ………… के पहले 16 पदों का योग ज्ञात करो ।

Line 42:		Line 42:
	इसलिए, पहले 16 पदों का योग 1096 है।		इसलिए, पहले 16 पदों का योग 1096 है।

	=== <u>उदाहरण 2)-</u> ===		=== <u>उदाहरण 2</u> ===
	किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है, तथा उसका पहला पद 10 है ,उसका 25<sup>th</sup>पद ज्ञात करें?		किसी समांतर श्रेणी के प्रथम 14 पदों का योग 1505 है, तथा उसका पहला पद 10 है ,उसका 25<sup>th</sup>पद ज्ञात करें?