पाटीगणितम् में 'वर्गमूल'

यहां हम किसी संख्या का वर्गमूल जानेंगे, जैसा कि पाटीगणितम् में बताया गया है।

श्लोक

विषमात् पदतस्त्यक्त्वा वर्गं स्थानच्युतेन मूलेन ।

द्विगुणेन भजेच्छेषं लब्धं विनिवेशयेत् पङ्क्तौ ॥ २५ ॥

तद्वर्गं संशोध्य द्विगुणं कुर्वीत पूर्ववल्लब्धम् ।

उत्सार्य ततो विभजेच्छेषं द्विगुणीकृतं दलयेत् ॥ २५ ॥

अनुवाद

(अंतिम) विषम स्थान से (अधिकतम संभव) वर्ग घटाकर (अगले स्थान के नीचे दोगुना वर्गमूल स्थापित करें)।उस दोहरे वर्गमूल से, जिसने अपना स्थान छोड़ दिया है (अर्थात, जो अगले स्थान के नीचे स्थापित कर दिया गया है), शेष को विभाजित करें; भागफल को पंक्ति(वर्गमूल के दोगुने का) में स्थापित करें, और (उपरोक्त संख्या में से) उसका वर्ग घटाकर, उसका (भागफल का) दोगुना कर दें। फिर परिणामी मात्रा को (वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति में) एक स्थान आगे बढ़ाकर पहले की तरह उससे भाग दें। (इस प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक कि सभी स्थान समाप्त न हो जाएं, और फिर) दोगुनी मात्रा को (वर्गमूल प्राप्त करने के लिए) आधा कर दें।

यह नियम निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट हो जायेगा:

उदाहरण: 186624 का वर्गमूल

दाईं ओर से प्रारंभ करते हुए विषम और सम स्थानों को क्रमशः o और e से निरूपित करें।

e	o	e	o	e	o
1	8	6	6	2	4
←

अंतिम विषम स्थान (18) से अधिकतम संभव वर्ग (16 = 4²) घटाएं। 18 -16 = 2। अगले स्थान के नीचे 16 का दोहरा वर्गमूल (जो 2 x 4 = 8 है) लिखें। हमारे पास है

o	e	o	e	o
2	6	6	2	4	← शेषफल
	8				← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

26 को 8 से विभाजित करें। यहां भागफल 3 होगा और शेषफल 26-24 = 2 होगा। भागफल 3 को वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति में लिखें।

e	o	e	o
2	6	2	4	← शेषफल
8	3			← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

भागफल का वर्ग घटाएँ (अर्थात् 3²=9) 26-9 = 17। भागफल का दोहरा वर्ग (अर्थात 3 x 2 = 6) को वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति में लिखें।

e	o	e	o
1	7	2	4	← शेषफल
8	6			← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

इस स्तर पर, प्रक्रिया का एक दौर समाप्त हो गया है। अब 86 एक स्थान आगे बढ़ें।

e	o	e	o
1	7	2	4	← शेषफल
	8	6		← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

172 को 86 से विभाजित करें। यहाँ भागफल 2 है और शेषफल 172-172 = 0 है। भागफल (2) को वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति में लिखें।

e	o	e	o
			4	← शेषफल
	8	6	2	← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

अंततः में ऊपर (4 - 4 = 0) से भागफल (2²=4) का वर्ग घटाने पर, और भागफल (2) को दोगुना करने पर हमें 2 x 2 = 4 प्राप्त होता है

e	o	e	o
			0	← शेषफल
	8	6	4	← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

प्रक्रिया अब समाप्त होती है. अतः हम 864 को 2 से विभाजित करते हैं =432 आवश्यक वर्गमूल है।

चूँकि शेषफल शून्य है। वर्गमूल सटीक है.

186624 का वर्गमूल = 432

उदाहरण: 11943936 का वर्गमूल

दाईं ओर से प्रारंभ करते हुए विषम और सम स्थानों को क्रमशः o और e से निरूपित करें।

e	o	e	o	e	o	e	o
1	1	9	4	3	9	3	6
←

बाएं विषम स्थान (11) के अंकों में से अधिकतम संभव वर्ग (9 = 3²) घटाएं। 11 - 9 = 2। 9 का दोहरा वर्गमूल (जो 2 x 3 = 6 है) अगले स्थान के नीचे लिखें। हमारे पास है

o	e	o	e	o	e	o
2	9	4	3	9	3	6	← शेषफल
	6						← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

29 को 6 से विभाजित करें। यहां भागफल 4 होगा और शेषफल 29-24 = 5 होगा। भागफल 4 को वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति में लिखें।

e	o	e	o	e	o
5	4	3	9	3	6	← शेषफल
6	4					← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

भागफल का वर्ग घटाएँ (अर्थात् 4² = 16) 54-16 = 38। भागफल का दोगुना वर्ग (अर्थात 4 x 2 = 8) को वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति में लिखें।

e	o	e	o	e	o
3	8	3	9	3	6	← शेषफल
6	8					← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

इस स्तर पर, प्रक्रिया का एक दौर समाप्त हो गया है। अब 68 एक स्थान आगे बढ़ें।

e	o	e	o	e	o
3	8	3	9	3	6	← शेषफल
	6	8				← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

383 को 68 से विभाजित करें। यहाँ भागफल 5 है और शेषफल 383-340 = 43 है। भागफल (5) को वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति में लिखें।

o	e	o	e	o
4	3	9	3	6	← शेषफल
6	8	5			← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

अंत में ऊपर (439 - 25 = 414) से भागफल (5² = 25) का वर्ग घटाने पर, और भागफल (5) को दोगुना करने पर हमें 2 x 5 = 10 प्राप्त होता है

o	e	o	e	o
4	1	4	3	6	← शेषफल
6	8	10			← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति
6	8+1	0
6	9	0

इस स्तर पर प्रक्रिया का दूसरा दौर ख़त्म हो चुका है. अब 690 एक स्थान आगे बढ़ें।

o	e	o	e	o
4	1	4	3	6	← शेषफल
	6	9	0		← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

4143 को 690 से विभाजित करें। यहाँ भागफल 6 है और शेषफल 4143 है - 4140 = 3 भागफल (6) को वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति में लिखें।

		e	o
		3	6	← शेषफल
6	9	0	6	← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति

अंत में ऊपर (36 - 36 = 0) से भागफल (6² = 36) का वर्ग घटाने पर, और भागफल (6) को दोगुना करने पर हमें 2 x 6 = 12 प्राप्त होता है

		e	o
			0	← शेषफल
6	9	0	12	← वर्गमूल के दोगुने की पंक्ति
6	9	0+1	2
6	9	1	2

प्रक्रिया अब समाप्त होती है. अतः हम 6912 को 2 से विभाजित करते हैं = 3456 आवश्यक वर्गमूल है।

चूँकि शेषफल शून्य है। वर्गमूल सटीक है।

11943936 का वर्गमूल = 3456

यह भी देखें

Square root in Pāṭīgaṇitam