यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: Difference between revisions

Revision as of 10:13, 21 September 2023

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिदम परिभाषित किया गया है । प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और आइए हम इस इकाई में यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका तथा उनके अनुप्रयोग को जानते हैं ।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथ

यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ होते हैं, जिन्हें हम $a=b\times q+r$ के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।

इस विधि में, हम $q$ को भाग का भागफल कहते हैं, और $r$ $(0\leq r<b)$ को भाग का शेषफल है।

हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं; लाभांश $=$ भाजक $\times$ भागफल $+$ शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।

उदाहरण

आइए, बेहतर समझ के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के एक उदाहरण पर विचार करें।

यहां, दी गई संख्याएं हैं, $a=67$ और $b=6$ हम इसे $a=b\times q+r$ रूप में लिख सकते हैं ।

$67=6\times 11+1$ जहां, भागफल $q=11$ है और शेषफल $r=1$ है ।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग निम्नलिखित है :

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग पूर्णांकों के विभाजन के लिए उपयोग किया जाता है ।
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम में एक प्रमुख अवधारणा के रूप में उपयोग किया जाता है जिससे हम धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करते हैं ।
धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है ।
विषम संख्या, सम संख्या, घन संख्या, वर्ग संख्या आदि के गुणों को जानने के लिए उपयोग किया जाता है ।

उदाहरण

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है ।

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 [[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid's division lemma ) प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड डिवीजन प्रमेयिका की मदद से एक [[यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म|एल्गोरिदम ( algorithm)]] परिभाषित किया गया है ।  प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और आइए हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका को जानते हैं  ।
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका  प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिदम  परिभाषित किया गया है ।  प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और आइए हम इस इकाई में यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका तथा उनके अनुप्रयोग को जानते हैं ।
 == यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==
-यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथन- यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक q और r होते हैं, जिन्हें हम a = b ×q + r के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथ
-इस विधि में, हम q को भाग का भागफल कहते हैं, और r ( 0 ≤r<b) को भाग का शेषफल है।
+यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों <math>a</math> और <math>b</math> के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक <math>q</math> और <math>r</math> होते हैं, जिन्हें हम <math>a=b\times q+ r</math> के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।
-हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं - लाभांश = भाजक × भागफल + शेषफल ( Dividend = Divisor × Quotient + Remainder)
+इस विधि में, हम  <math>q</math> को भाग का भागफल कहते हैं, और <math>r</math>  <math>(0\leq r<b)</math> को भाग का शेषफल है।
-यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है।
+हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं;   लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।
-=== उदाहरण - ===
+=== उदाहरण ===
 आइए, बेहतर समझ के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के एक उदाहरण पर विचार करें।
-यहां, दी गई संख्याएं हैं, 43(=a) और 6(=b), हम इसे a = b ×q + r रूप में लिख सकते हैं ।
+यहां, दी गई संख्याएं हैं, <math>a=67</math> और <math>b=6</math> हम इसे <math>a=b\times q+ r</math> रूप में लिख सकते हैं ।
-= 6×7 + 1 जहां, भागफल (q) 7 है और शेषफल (r) 1 है ।
+<math>67=6\times 11+1</math> जहां, भागफल <math>q=11</math> है और शेषफल <math>r=1</math> है ।
+== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग ==
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग निम्नलिखित है :
+# यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग पूर्णांकों के विभाजन के लिए उपयोग किया जाता है ।
+# [[यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म#यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका|यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम]] में एक प्रमुख अवधारणा के रूप में उपयोग किया जाता है जिससे हम धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करते हैं ।
+# धनात्मक संख्याओं का  महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है ।
+# विषम संख्या, सम संख्या, घन संख्या, वर्ग संख्या आदि के गुणों को जानने के लिए उपयोग किया जाता है ।
+== उदाहरण ==
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक <math>m</math> के लिए <math>3m</math> या <math>3m+1</math> के रूप का होता है ।