यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: Difference between revisions

Revision as of 10:58, 21 September 2023

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिदम परिभाषित किया गया है । प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और आइए हम इस इकाई में यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका तथा उनके अनुप्रयोग को जानते हैं ।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथ

यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ होते हैं, जिन्हें हम $a=b\times q+r$ के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।

इस विधि में, हम $q$ को भाग का भागफल कहते हैं, और $r$ $(0\leq r<b)$ को भाग का शेषफल है।

हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं; लाभांश $=$ भाजक $\times$ भागफल $+$ शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।

उदाहरण

आइए, बेहतर समझ के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के एक उदाहरण पर विचार करें।

यहां, दी गई संख्याएं हैं, $a=67$ और $b=6$ हम इसे $a=b\times q+r$ रूप में लिख सकते हैं ।

$67=6\times 11+1$ जहां, भागफल $q=11$ है और शेषफल $r=1$ है ।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग निम्नलिखित है :

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग पूर्णांकों के विभाजन के लिए उपयोग किया जाता है ।
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम में एक प्रमुख अवधारणा के रूप में उपयोग किया जाता है जिससे हम धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करते हैं ।
धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है ।
विषम संख्या, सम संख्या, घन संख्या, वर्ग संख्या आदि के गुणों को जानने के लिए उपयोग किया जाता है ।

उदाहरण

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।

हल

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके , आइए सबसे छोटी वर्ग संख्या अर्थात $4$ से शुरुआत करें ,

$4=3\times 1+1$ [ $3m+1$ रूप में ] $..............(1)$

आइए अगली वर्ग संख्या , अर्थात 9 लेते है ,

$9=3\times 3+0$ [ $3m$ रूप में ] $..............(2)$

आइए अगली वर्ग संख्या , अर्थात 16 लेते है ,

$16=3\times 5+1$ [ $3m+1$ रूप में ] $..............(3)$

उपर्युक्त दिए गए समीकरण $(1),(2)$ एवं $(3)$ से यह स्पष्ट है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है ।

अभ्यास प्रश्न

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$ , $9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है ।

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 == उदाहरण ==
-यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक <math>m</math> के लिए <math>3m</math> या <math>3m+1</math> के रूप का होता है ।
+. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक <math>m</math> के लिए <math>3m</math> या <math>3m+1</math> के रूप का होता है।
+हल
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके , आइए सबसे छोटी वर्ग संख्या अर्थात <math>4</math> से शुरुआत करें ,
+<math>4=3\times 1+1</math>          [ <math>3m+1</math> रूप में ]   <math>..............(1)</math>
+आइए अगली वर्ग संख्या , अर्थात 9 लेते है ,
+<math>9=3\times 3 + 0</math>          [ <math>3m</math> रूप में ]           <math>..............(2)</math>
+आइए अगली वर्ग संख्या , अर्थात 16 लेते है ,
+<math>16=3\times 5+ 1</math>        [ <math>3m+1</math> रूप में ]    <math>..............(3)</math>
+उपर्युक्त दिए गए समीकरण <math>(1) , (2)</math> एवं <math>(3)</math> से यह स्पष्ट है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक <math>m</math> के लिए <math>3m</math> या <math>3m+1</math> के रूप का  होता है ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन <math>9m</math> , <math>9m+1</math>  या <math>9m+8</math> के रूप का होता है ।