यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: Difference between revisions

Latest revision as of 13:23, 10 October 2023

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है । प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है , जो एक सिद्ध कथन है जिसका प्रयोग अन्य गणितीय कथनो को सत्यापित करने के लिए किया जाता है । आइए इस इकाई में हम यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका तथा उनके अनुप्रयोगो को जानते हैं ।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथन^[1]

यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ होते हैं, जिन्हें हम $a=b\times q+r$ के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।

इस विधि में, हम $q$ को भाग का भागफल कहते हैं, और $r$ $(0\leq r<b)$ को भाग का शेषफल है।

हम विभाजन एल्गोरिथ्म को जानते हैं; लाभांश $=$ भाजक $\times$ भागफल $+$ शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।

उदाहरण

आइए, बेहतर समझ के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के एक उदाहरण पर विचार करें।

यहां, दी गई संख्याएं हैं, $a=67$ और $b=6$ हम इसे $a=b\times q+r$ रूप में लिख सकते हैं ।

$67=6\times 11+1$ जहां, भागफल $q=11$ है और शेषफल $r=1$ है ।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग^[2] निम्नलिखित है :

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग पूर्णांकों के विभाजन के लिए उपयोग किया जाता है ।
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म में एक प्रमुख अवधारणा के रूप में उपयोग किया जाता है जिससे हम धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करते हैं ।
धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है ।
विषम संख्या, सम संख्या, घन संख्या, वर्ग संख्या आदि के गुणों को जानने के लिए उपयोग किया जाता है ।

उदाहरण

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है।^[3]

हल

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके , आइए सबसे छोटी वर्ग संख्या अर्थात $4$ से शुरुआत करें ,

$4=3\times 1+1$ [ $3m+1$ रूप में ] $..............(1)$

आइए अगली वर्ग संख्या , अर्थात 9 लेते है ,

$9=3\times 3+0$ [ $3m$ रूप में ] $..............(2)$

आइए अगली वर्ग संख्या , अर्थात 16 लेते है ,

$16=3\times 5+1$ [ $3m+1$ रूप में ] $..............(3)$

उपर्युक्त दिए गए समीकरण $(1),(2)$ एवं $(3)$ से यह स्पष्ट है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक $m$ के लिए $3m$ या $3m+1$ के रूप का होता है ।

अभ्यास प्रश्न

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन $9m$ , $9m+1$ या $9m+8$ के रूप का होता है ।

संदर्भ

[1] "यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथन".

[2] "यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग".

[3] "उदाहरण".

[1]

[2]

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 [[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका  प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिदम  परिभाषित किया गया है ।  प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और आइए हम इस इकाई में यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका तथा उनके अनुप्रयोग को जानते हैं ।
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका, प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है ।  प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है , जो एक सिद्ध कथन है  जिसका प्रयोग अन्य गणितीय कथनो को सत्यापित करने के लिए किया जाता है । आइए इस इकाई में हम यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका तथा उनके अनुप्रयोगो को जानते हैं ।
 == यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==
-यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथ
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथन<ref>{{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/|title=यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का कथन}}</ref>
 यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि, किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों <math>a</math> और <math>b</math> के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक <math>q</math> और <math>r</math> होते हैं, जिन्हें हम <math>a=b\times q+ r</math> के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।
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 इस विधि में, हम  <math>q</math> को भाग का भागफल कहते हैं, और <math>r</math>  <math>(0\leq r<b)</math> को भाग का शेषफल है।
-हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं;   लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।
+हम विभाजन एल्गोरिथ्म को जानते हैं;   लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।
 === उदाहरण ===
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 == यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग ==
-यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग निम्नलिखित है :
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग<ref>{{Cite web|url=https://www.tiwariacademy.com/mathematics/euclid-division-lemma/|title=यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुप्रयोग}}</ref> निम्नलिखित है :
 # यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग पूर्णांकों के विभाजन के लिए उपयोग किया जाता है ।
-# [[यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म#यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका|यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम]] में एक प्रमुख अवधारणा के रूप में उपयोग किया जाता है जिससे हम धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करते हैं ।
+# [[यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म#यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका|यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म]] में एक प्रमुख अवधारणा के रूप में उपयोग किया जाता है जिससे हम धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करते हैं ।
-# धनात्मक संख्याओं का  महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है ।
+# धनात्मक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाता है ।
 # विषम संख्या, सम संख्या, घन संख्या, वर्ग संख्या आदि के गुणों को जानने के लिए उपयोग किया जाता है ।
 == उदाहरण ==
-यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक <math>m</math> के लिए <math>3m</math> या <math>3m+1</math> के रूप का होता है ।
+. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक <math>m</math> के लिए <math>3m</math> या <math>3m+1</math> के रूप का होता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.satyamcoachingcentre.in/euclid-division-lemma/|title=उदाहरण}}</ref>
+हल
+यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके , आइए सबसे छोटी वर्ग संख्या अर्थात <math>4</math> से शुरुआत करें ,
+<math>4=3\times 1+1</math>          [ <math>3m+1</math> रूप में ]   <math>..............(1)</math>
+आइए अगली वर्ग संख्या , अर्थात 9 लेते है ,
+<math>9=3\times 3 + 0</math>          [ <math>3m</math> रूप में ]           <math>..............(2)</math>
+आइए अगली वर्ग संख्या , अर्थात 16 लेते है ,
+<math>16=3\times 5+ 1</math>        [ <math>3m+1</math> रूप में ]    <math>..............(3)</math>
+उपर्युक्त दिए गए समीकरण <math>(1) , (2)</math> एवं <math>(3)</math> से यह स्पष्ट है कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक <math>m</math> के लिए <math>3m</math> या <math>3m+1</math> के रूप का  होता है ।
+== अभ्यास प्रश्न ==
+# यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन <math>9m</math> , <math>9m+1</math>  या <math>9m+8</math> के रूप का होता है ।
+== संदर्भ ==