अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ: Difference between revisions

Latest revision as of 16:05, 10 October 2023

'अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ', नाम से ही स्पष्ट होता है कि, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे अपरिमित अर्थात सीमित पद नही होते हैं , उन्हें हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद नही होता है । अपरिमित समांतर श्रेढ़ी को हम निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं ;

$\{a+kd,k\in N\}$

जहां ,

$a=$ पहला पद

$d=$ सार्व अंतर

$N=\{1,2,3,4,....\}$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय हैं ।

उदाहरण 1

$6,10,14,18,22,..........$
$3,5,7,9,...........$

उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयों का प्रथम पद क्रमशः $6$ तथा $3$ एवं सार्व अंतर $4$ तथा $2$ है , तथा इन श्रेढ़ीयों में असीमित अर्थात अपरिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयों को हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहेंगे ।

उदाहरण 2

निम्नलिखित में से कौन अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का एक उदाहरण है ?^[1]

$10$ तक सम संख्याओं का समुच्चय
सम संख्याओं का समुच्चय
$100$ तक सम संख्याओं का समुच्चय
$1000$ तक सम संख्याओं का समुच्चय

हल

$10$ तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा $=\{2,4,6,8,10\}$ अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
सम संख्याओं का समुच्चय होगा $=\{2,4,6,8,10,...........\infty \}$ अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में अपरिमित अर्थात सीमित पद नही है , तो यह अपरिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
$100$ तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा $=\{2,4,6,8,10,.........100\}$ अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है , तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
$1000$ तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा $=\{2,4,6,8,10,.........1000\}$ अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है , तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।

अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग

एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में जहां $n$ पदों की संख्या है , तथा उसमें अपरिमित अर्थात सीमित पद नहीं है $(n\longrightarrow \infty )$ , और सार्व अंतर $d$ , $0$ से अधिक है अर्थात $(d>0)$ , तो ऐसी अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग^[2] $S_{\infty }=\infty$ होगा ।

एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में जहां $n$ पदों की संख्या है , तथा उसमें अपरिमित अर्थात सीमित पद नहीं है $(n\longrightarrow \infty )$ , और सार्व अंतर $d$ , $0$ से कम है अर्थात $(d<0)$ , तो ऐसी अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $S_{\infty }=-\infty$ होगा ।

उदाहरण 1

अपरिमित समांतर श्रेढ़ी $-2,0,2,4,6,8,.............$ का योग ज्ञात करें ।

हल

पहला पद $a=-2$

सार्व अंतर

$d=0-(-2)$

$d=0+2$

$d=2$

अतः , यह स्पष्ट है कि सार्व अंतर $d=2$ , $0$ से अधिक है अर्थात $(d>0)$ , तो उपर्युक्त दी गई अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $S_{\infty }=\infty$ होगा ।

उदाहरण 2

अपरिमित समांतर श्रेढ़ी $7,3,-1,-5,...........$ का योग ज्ञात करें ।

हल

पहला पद $a=7$

सार्व अंतर

$d=3-7$

$d=-4$

अतः , यह स्पष्ट है कि सार्व अंतर $d=-4$ , $0$ से कम है अर्थात $(d<0)$ , तो उपर्युक्त दी गई अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग $S_{\infty }=-\infty$ होगा ।

संदर्भ

[1] "उदाहरण".

[2] "अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग".

[1]

[2]

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-[[Category:गणित]]
-[[Category:अंकगणित]]
+[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
+[[Category:Vidyalaya Completed]]
+'अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ',  नाम से ही स्पष्ट होता है कि, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे अपरिमित अर्थात सीमित पद नही होते हैं , उन्हें हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं ।  एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद नही होता है । अपरिमित समांतर श्रेढ़ी को हम निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं ;
+<math>\{ a + kd , k\in N \}</math>
+जहां ,
+<math>a=</math> पहला पद
+<math>d =</math> सार्व अंतर
+<math>N=\{1,2,3,4,....\}</math>  प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय हैं ।
+=== उदाहरण 1 ===
+# <math>6,10,14,18,22,.......... </math>
+# <math>3,5,7,9,...........</math>
+उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयों का प्रथम पद क्रमशः <math>6 </math> तथा <math>3</math> एवं सार्व अंतर <math>4</math>  तथा <math>2</math>  है , तथा इन श्रेढ़ीयों में असीमित अर्थात अपरिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयों को हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहेंगे ।
+=== उदाहरण 2 ===
+निम्नलिखित में से कौन अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का एक उदाहरण है ?<ref>{{Cite web|title=उदाहरण|url=https://byjus.com/question-answer/which-among-the-following-is-an-example-of-an-infinite-a-p-the-set-of-1/}}</ref>
+# <math>10</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय
+# सम संख्याओं का समुच्चय
+# <math>100</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय
+# <math>1000</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय
+हल
+# <math>10</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय  होगा <math>=\{2,4,6,8,10\}</math> अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
+# सम संख्याओं का समुच्चय होगा <math>=\{2,4,6,8,10,...........\infty \}</math> अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में अपरिमित अर्थात सीमित पद नही है , तो यह अपरिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
+# <math>100</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय  होगा <math>=\{2,4,6,8,10,.........100\}</math> अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है , तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
+# <math>1000</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा <math>=\{2,4,6,8,10,.........1000\}</math> अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है , तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
+== अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग ==
+एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में जहां <math>n</math> पदों की संख्या है , तथा उसमें अपरिमित अर्थात सीमित पद नहीं है  <math>(n\longrightarrow \infty)</math>, और सार्व अंतर <math>d</math> , <math>0</math> से अधिक है अर्थात <math>(d>0)</math>,  तो  ऐसी अपरिमित समांतर श्रेढ़ी  का योग<ref>{{Cite web|url=https://stgwebsite.mindspark.in/studymaterial/math-concepts/sum-of-an-infinite-arithmetic-progression-mindspark/|title=अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग}}</ref>  <math>S_\infty = \infty</math>  होगा ।
+एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में जहां <math>n</math> पदों की संख्या है , तथा उसमें अपरिमित अर्थात सीमित पद नहीं है  <math>(n\longrightarrow \infty)</math>, और सार्व अंतर <math>d</math> , <math>0</math> से कम है अर्थात <math>(d<0)</math>,  तो  ऐसी अपरिमित समांतर श्रेढ़ी  का योग  <math>S_\infty = - \infty</math>  होगा ।
+=== उदाहरण 1 ===
+अपरिमित समांतर श्रेढ़ी <math>-2,0,2,4,6,8,............. </math> का योग ज्ञात करें ।
+हल
+पहला पद   <math>a = -2</math>
+सार्व अंतर
+<math>d=0-(-2)</math>
+<math>d=0+2</math>
+<math>d=2</math>
+अतः , यह स्पष्ट है कि सार्व अंतर <math>d=2</math> , <math>0</math> से अधिक है अर्थात <math>(d>0)</math> , तो  उपर्युक्त दी गई अपरिमित समांतर श्रेढ़ी  का योग  <math>S_\infty = \infty</math>  होगा ।
+=== उदाहरण 2 ===
+अपरिमित समांतर श्रेढ़ी <math>7,3,-1,-5,........... </math> का योग ज्ञात करें ।
+हल
+पहला पद   <math>a = 7</math>
+सार्व अंतर
+<math>d=3-7</math>
+<math>d=-4</math>
+अतः , यह स्पष्ट है कि सार्व अंतर <math>d=-4</math> , <math>0</math> से कम है अर्थात  <math>(d<0)</math> , तो उपर्युक्त दी गई अपरिमित समांतर श्रेढ़ी  का योग  <math>S_\infty = - \infty</math>  होगा ।
+== संदर्भ ==