फलनों के प्रकार

भूमिका

फलन एक विशेष प्रकार का संबंध है जहां प्रत्येक निवेश(इनपुट) का सटीक रूप से एक ही निर्गम(आउटपुट) होता है। फलन गणित में आवश्यक उपकरण हैं एवं भौतिकी, रसायन विज्ञान, अभियान्त्रिकी(इंजीनियरिंग) तथा अर्थशास्त्र सहित विभिन्न क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला है।

फलनों के प्रकार

फलन विभिन्न प्रकार के होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के अलग-अलग गुण और अनुप्रयोग होते हैं। यहां कुछ सबसे सामान्य प्रकार के फलन प्रस्तुत किए गए हैं:

एकैकी फलन (एकैक फलन)

एकैकी फलन, जिसे एकैक(इंजेक्टिव) फलन के रूप में भी जाना जाता है, एक ऐसा फलन है जहां प्रत्येक निवेश(इनपुट) एक अद्वितीय निर्गम(आउटपुट) से मेल खाता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी दो अलग-अलग निवेश(इनपुट) का निर्गम(आउटपुट) समान नहीं होता है।

गुण:

• प्रत्येक निवेश का एक अद्वितीय निर्गम होता है।
• क्षैतिज रेखा परीक्षण का उपयोग एकैकी फलन की पहचान करने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण:

• $f(x)=x^{2}$(for $x\geq 0$)
• $g(x)={\sqrt {x}}$ (for $x\geq 0$)

आच्छादक फलन(आच्छादी फलन)

आच्छादक फलन, जिसे आच्छादी फलन के रूप में भी जाना जाता है, एक ऐसा फलन है जहां प्रत्येक निर्गम में एक संबंधित निवेश होता है। दूसरे शब्दों में,फलन के परिसर के प्रत्येक अवयव में कम से कम एक निवेश होता है जो उसे प्रतिचित्र/सम्बद्ध करता है।

गुण:

• प्रत्येक निर्गम में कम से कम एक संगत निवेश होता है।
• फलन के परिसर, फलन के सहप्रांत के बराबर है।

उदाहरण:

• $f(x)=2x$(for $x\in R$)
• $g(x)=sin(x)$(for $x\in R$)

एकैकी आच्छादी फलन

एकैकी आच्छादी फलन, एक ऐसा फलन है जो एकैकी और आच्छादक दोनों होता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक निवेश का एक अद्वितीय निर्गम होता है, और प्रत्येक निर्गम का एक संगत निवेश होता है। एकैकी आच्छादी फलन को व्युत्क्रमणीय फलन के रूप में भी जाना जाता है।

गुण:

• प्रत्येक निवेश का एक अद्वितीय निर्गम होता है।
• प्रत्येक निर्गम में एक संगत निवेश होता है।
• फलन का एक व्युत्क्रम फलन होता है।

उदाहरण:

• $f(x)=x^{3}$(for $x\in R$)

• $g(x)=e^{x}$(for $x\in R$)

वर्धमान और ह्रासमान फलन

वर्धमान फलन एक ऐसा फलन है जहां निवेश बढ़ने पर निर्गम बढ़ता है। इसके विपरीत, ह्रासमान फलन एक ऐसा फलन होता है जहां निवेश बढ़ने पर निर्गम घट जाता है।

गुण:

• वर्धमान फलन: यदि $x_{1}<x_{2}$, है तो $f(x_{1})<f(x_{2})$
• ह्रासमान फलन: $x_{1}<x_{2}$, है तो $f(x_{1})>f(x_{2})$

उदाहरण:

• वर्धमान फलन: $f(x)=x^{2}$(for $x\geq 0$)
• ह्रासमान फलन: $g(x)={\frac {1}{x}}$(for $x\neq 0$)

सम और विषम फलन

सम फलन एक फलन है जहां फलन के प्रांत(डोमेन) में 𝑥 के सभी मानों के लिए $f(-x)=f(x)$ होता है। इसके विपरीत, विषम फलन एक ऐसा फलन है जहां फलन के प्रांत में 𝑥 के सभी मानों के लिए $f(-x)=-f(x)$ होता है।

गुण:

• सम फलन: सम फलन का आलेख y-अक्ष के प्रति सममित होता है।
• विषम फलन: विषम फलन का आलेख मूल बिन्दु के प्रति सममित होता है।

उदाहरण:

• सम फलन: $f(x)=x^{2}$
• विषम फलन: $g(x)=x^{3}$

निष्कर्ष

गणित और विभिन्न अन्य क्षेत्रों में समस्याओं के विश्लेषण और समाधान के लिए विभिन्न प्रकार के फलनों को समझना महत्वपूर्ण है। प्रत्येक प्रकार के फलन के गुणों और विशेषताओं को पहचानकर, छात्र गणितीय समस्याओं को प्रभावी ढंग से हल कर सकते हैं और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में फलन लागू कर सकते हैं।