ज्या के नियम: Difference between revisions

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Latest revision as of 13:01, 23 January 2024

Law of sine

ज्या का नियम एक गणितीय संबंध है, जो त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध का वर्णन करता है। इसमें यह कहा जाता है कि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई का उसके विपरीत कोण की ज्या से अनुपात तीनों भुजाओं के लिए समान होता है।

गणितीय रूप से

इस स्पष्टीकरण के लिए आवश्यक अक्षरों से युक्त एक त्रिकोण। A, B और C कोण हैं।भुजा a,कोण A के विपरीत पक्ष में स्थापित है। भुजा b, कोण B के विपरीत पक्ष में स्थापित है,भुजा c कोण C के विपरीत पक्ष में स्थापित है ।

ज्या के नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$A/Sin(A)=B/Sin(B)=C/Sin(C)$

इस समीकरण में, $A$ , $B$ , और $C$ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि $A$ , और $C$ उन पक्षों के विपरीत कोणों के उपायों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ज्या के नियम का उपयोग

इस नियम का उपयोग त्रिभुजों से संबंधित विभिन्न मापनों के हल निकालने के लिए किया जा सकता है, विशेषकर जब किसी त्रिभुज के कुछ कोणों की माप और कुछ भुजाओं की लंबाई के बारे में जानकारी हो। ज्या के नियम को लागू करके,किसी त्रिभुज की भुजाओं की अज्ञात लम्बाई या कोणों का पता लगाया जा सकता है।

उदाहरण द्वारा वर्णन

इस नियम का उपयोग कैसे करें, इसका वर्णन करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:

यह मान कर के किसी एक ऐसे त्रिभुज जिसकी भुजाओं की लंबाई $a=8,b=10$ और कोण $A=40$ डिग्री है और जिसके कोण $B$ और भुजा की लंबाई $c$ का माप ज्ञात करना हो ,तो

ज्या के नियम

$a/Sin(A)=b/Sin(B)$

का उपयोग कर,

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कर

$8/Sin(40^{\circ })=10/Sin(B)$

क्रॉस-गुणा द्वारा

$8Sin(B)=10Sin(40^{\circ })$

दोनों पक्षों को $8$ से भाग देने पर:

$Sin(B)=\left(10Sin(40^{\circ })/8\right)$

कोण B के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या $(sin^{-1})$ लेना:

$B=Sin^{-1}((10Sin(40^{\circ }))/8)$

इस तरह $B\simeq 62.19^{\circ }$ है।

शेष कोण $C$ को खोजने के लिए, इस तथ्य का उपयोग करा जा सकता है कि त्रिकोण में कोणों का योग $180$ डिग्री है:

$C=180^{\circ }-A-B$

$C\simeq 180^{\circ }-40^{\circ }-62.19^{\circ }$

$C\simeq 77.81^{\circ }$

इसलिए, ज्या के नियम का उपयोग करते हुए, यह पाया कि त्रिभुज में कोण $B\simeq 62.19^{\circ }$ और कोण $C\simeq 77.81^{\circ }$ भुजाओं की लंबाई $a=8,b=10,$ और कोण $A=40^{\circ }$ है।

संक्षेप में

एक त्रिभुज को हल करने के लिए ज्या के नियम का उपयोग करने के लिए, प्रायः कम से कम एक भुजा-लम्बाई और उसके विपरीत कोण, या दो भुजा-लंबाई और उनके संबंधित कोणों को जानने की आवश्यकता होती है। ज्या के नियम के ज्ञान से ,समीकरण का उपयोग कर अनुपात को सेट कर किसी त्रिभुज की की भुजाओं की लंबाई व कोणों का हल निकाला जा सकता है।

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 Law of sine
-ज्या का नियम एक गणितीय संबंध है जो त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध का वर्णन करता है। इसमें कहा गया है कि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई का उसके विपरीत कोण की ज्या से अनुपात तीनों भुजाओं के लिए समान होता है।
+ज्या का नियम एक गणितीय संबंध है, जो त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध का वर्णन करता है। इसमें यह कहा जाता है कि त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई का उसके विपरीत कोण की ज्या से अनुपात तीनों भुजाओं के लिए समान होता है।
 == गणितीय रूप से ==
+[[File:Acute Triangle.svg|thumb|इस स्पष्टीकरण के लिए आवश्यक अक्षरों से युक्त एक त्रिकोण। A, B और C कोण हैं।भुजा a,कोण A  के विपरीत पक्ष में स्थापित है। भुजा  b, कोण B के विपरीत पक्ष में स्थापित है,भुजा c  कोण C के विपरीत पक्ष में स्थापित है ।]]
 ज्या के नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
 <math>A / Sin (A) = B / Sin (B) = C / Sin (C) </math>
-इस समीकरण में, <math>A</math>, <math>B</math>, और <math>C</math> त्रिभुज के किनारों की लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि <math>A</math>, और <math>C</math> उन पक्षों के विपरीत कोणों के उपायों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+इस समीकरण में, <math>A</math>, <math>B</math>, और <math>C</math> त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि <math>A</math>, और <math>C</math> उन पक्षों के विपरीत कोणों के उपायों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
-इस नियम का उपयोग त्रिभुजों से संबंधित विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है, विशेषकर जब आपके पास कुछ कोणों की माप और कुछ भुजाओं की लंबाई के बारे में जानकारी हो। ज्या के नियम को लागू करके, आप किसी त्रिभुज की लापता भुजाओं की लम्बाई या कोणों का पता लगा सकते हैं।
+== ज्या के नियम का उपयोग ==
+इस नियम का उपयोग त्रिभुजों से संबंधित विभिन्न मापनों के हल निकालने  के लिए किया जा सकता है, विशेषकर जब किसी त्रिभुज के  कुछ कोणों की माप और कुछ भुजाओं की लंबाई के बारे में जानकारी हो। ज्या के नियम को लागू करके,किसी त्रिभुज की भुजाओं की अज्ञात लम्बाई या कोणों का पता लगाया जा सकता है।
-एक त्रिभुज को हल करने के लिए ज्या के नियम का उपयोग करने के लिए, आपको आम तौर पर कम से कम एक भुजा-लम्बाई और उसके विपरीत कोण, या दो भुजा-लंबाई और उनके संबंधित कोणों को जानने की आवश्यकता होती है। इस जानकारी के साथ, आप ज्या के नियम के समीकरण का उपयोग करके अनुपात को सेट और हल कर सकते हैं।
+== उदाहरण द्वारा वर्णन ==
+इस नियम का उपयोग कैसे करें, इसका वर्णन करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:
-== ज्या के नियम का उपयोग ==
+यह मान कर के किसी एक ऐसे त्रिभुज जिसकी भुजाओं की लंबाई  <math>a = 8, b = 10</math> और कोण <math>A = 40</math> डिग्री है और जिसके कोण <math>B</math> और भुजा की लंबाई <math>c</math> का माप ज्ञात करना हो ,तो
-इस नियम का उपयोग कैसे करें, इसका वर्णन करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:
-भुजाओं की लंबाई  <math>a = 8, b = 10</math> और कोण <math>A = 40</math> डिग्री वाले त्रिभुज पर विचार करें। ज्या के नियम का प्रयोग करके हम कोण <math>B</math> और भुजा की लंबाई <math>c</math> का माप ज्ञात कर सकते हैं।
+ज्या के नियम
-ज्या के नियम का उपयोग करना:
+<math>a / Sin (A) = b  / Sin (B)</math>
-<math>A / Sin (A) = B / Sin (B)</math>
+का उपयोग कर,
-दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना:
+दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कर
 <math>8/Sin(40^{\circ}) = 10/Sin(B)</math>
-क्रॉस-गुणा:
+क्रॉस-गुणा द्वारा
-<math>8Sin(B) = 10Sin(40^{\circ})</math>)
+<math>8Sin(B) = 10Sin(40^{\circ})</math>
 दोनों पक्षों को <math>8</math> से भाग देने पर:
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 <math>B = Sin^{-1}((10Sin(40^{\circ}))/8)</math>
-इसस तरह <math>B \simeq 62.19^{\circ}</math> है।
+इस तरह <math>B \simeq 62.19^{\circ}</math> है।
-शेष कोण सी को खोजने के लिए,  इस तथ्य का उपयोग करा जा सकता  है कि त्रिकोण में कोणों का योग 180 डिग्री है:
+शेष कोण <math>C</math> को खोजने के लिए, इस तथ्य का उपयोग करा जा सकता है कि त्रिकोण में कोणों का योग <math>180</math> डिग्री है:
 <math>C = 180^{\circ}-A-B</math>
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 <math>C \simeq 77.81^\circ</math>
-इसलिए, ज्या के नियम का उपयोग करते हुए, हमने पाया कि त्रिभुज में कोण <math>B \simeq 62.19^{\circ}</math>और कोण <math>C \simeq 77.81^\circ</math>  भुजाओं की लंबाई <math>a = 8, b = 10,</math>और कोण <math>A = 40 ^\circ </math>है।
+इसलिए, ज्या के नियम का उपयोग करते हुए, यह पाया कि त्रिभुज में कोण <math>B \simeq 62.19^{\circ}</math>और कोण <math>C \simeq 77.81^\circ</math>  भुजाओं की लंबाई <math>a = 8, b = 10,</math>और कोण <math>A = 40 ^\circ </math>है।
+== संक्षेप में ==
+एक त्रिभुज को हल करने के लिए ज्या के नियम का उपयोग करने के लिए, प्रायः कम से कम एक भुजा-लम्बाई और उसके विपरीत कोण, या दो भुजा-लंबाई और उनके संबंधित कोणों को जानने की आवश्यकता होती है। ज्या के नियम के ज्ञान से ,समीकरण का उपयोग कर अनुपात को सेट कर किसी त्रिभुज की की  भुजाओं की लंबाई व कोणों का हल निकाला जा सकता है।
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