सारणिकों के गुणधर्म: Difference between revisions

Latest revision as of 07:50, 30 January 2024

न्यूनतम गणना के साथ सारणिकों का मान ज्ञात करने के लिए सारणिकों के गुणों की आवश्यकता होती है। सारणिकों के गुण अवयवों, पंक्ति और स्तंभ संचालन पर आधारित होते हैं, और यह सारणिक का मान अति सुलभ विधि से ज्ञात करने में सहायता करता है।

सारणिकों के गुणधर्म

परस्पर परिवर्तन गुणधर्म

यदि किसी सारणिक की पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए तो उसका मान अपरिवर्तित रहता है।

पंक्तियों और स्तंभों के परस्पर परिवर्तन से पहले

$\bigtriangleup ={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}$

पंक्तियों और स्तंभों के परस्पर परिवर्तन के बाद

$\bigtriangleup _{1}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup =\bigtriangleup _{1}$

सत्यापन

$\bigtriangleup =a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}$

$\bigtriangleup =a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2})-a_{2}(b_{1}c_{3}-b_{3}c_{1})+a_{3}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1})$

$\bigtriangleup =a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{2}b_{3}c_{1}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}$

$\bigtriangleup _{1}=a_{1}{\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}-b_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}+c_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}$

$△_{1} = a_{1} (b_{2} c_{3} - c_{2} b_{3}) -$

@@ Line 106: / Line 106: @@
 <math>=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} d_1 & d_2 & d_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>=R.H.S
 === अपरिवर्तनीय गुणधर्म ===
+यदि किसी सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक अवयव  में, अन्य पंक्तियों (या स्तंभों) के संगत अवयवों  के समगुणकों को जोड़ दिया जाए, तो सारणिक का मान वही रहता है, अर्थात, सारणिक का मान वही रहता है यदि हम संचालन <math>R_i=R_i+kR_j</math> या  <math>C_i=C_i+kC_j</math>लागू करें।
 <math>\bigtriangleup=     \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>  <math>\bigtriangleup_1=     \begin{vmatrix} a_1+kc_1 & a_2+kc_2 & a_3+kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>
-Here we have multiplied the elements of the third row (<math>R_3</math>) by a constant <math>k</math> and added them to the corresponding elements of the first row (<math>R_1</math>). This is shown symbolically as <math>R_1=R_1+kR_3</math>
+यहां हमने तीसरी पंक्ति (<math>R_3</math>) के अवयवों को एक स्थिरांक <math>k</math> से गुणा किया है और उन्हें पहली पंक्ति (<math>R_1</math>) के संबंधित अवयवों में जोड़ा है। इसे प्रतीकात्मक रूप से <math>R_1=R_1+kR_3</math> के रूप में दर्शाया गया है <math>R_1=R_1+kR_3</math>
-Using  '''Sum property'''
+'''योग गुणधर्म''' का उपयोग करने पर
 <math>\bigtriangleup_1=     \begin{vmatrix} a_1+kc_1 & a_2+kc_2 & a_3+kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}
 =\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} kc_1 & kc_2 & kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}</math>
-<math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup+0</math> (as the <math>R_1</math> and <math>R_3</math> are proportional)
+<math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup+0</math>  (चूंकि <math>R_1</math> और <math>R_3</math> समानुपाती हैं)
 <math>\bigtriangleup_1=\bigtriangleup</math>
+=== त्रिकोणीय गुणधर्म ===
+यदि मुख्य विकर्ण के ऊपर या नीचे के अवयव शून्य के समान हैं, तो सारणिक का मूल्य विकर्ण आव्यूह के अवयवों  के गुणनफल के समान होता है।
+<math>\bigtriangleup=     \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\0 & 0 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ b_1 & b_2 & 0\\c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}= a_1b_2c_3</math>
+'''सत्यापन'''
+L.H.S <math>=a_1(b_2c_3-0)-a_2 (0-0)+a_3(0-0)=a_1b_2c_3 </math>
-=== त्रिकोणीय गुणधर्म ===
+R.H.S = <math>=a_1(b_2c_3-0)-0 (b_1c_3-0)+0(b_1c_2-b_2c_1)=a_1b_2c_3 </math>
+L.H.S = R.H.S
 [[Category:सारणिक]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]