आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम: Difference between revisions

Revision as of 12:54, 8 February 2024

किसी आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए आव्यूह के सहखंडज की आवश्यकता होती है।

आव्यूह के सहखंडज

आव्यूह $A$ का सहखंडज, $A$ के सहखंड आव्यूह का परिवर्त है। वर्ग आव्यूह $A$ का सहखंडज $A$ (adj. $A$ ) द्वारा निरूपित किया जाता है। मान लीजिए $A=[a_{ij}]$ , $n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है।

किसी आव्यूह का सहखंडज ज्ञात करने में सम्मिलित प्रक्रिया इस प्रकार हैं:

आव्यूह $A$ के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह $M$ को ज्ञात करें ।
आव्यूह $M$ के सभी उपसारणिक अवयवों का सहखंड आव्यूह $C$ को ज्ञात करें ।
सहखंड आव्यूह $C$ का परिवर्त लेते हुए सहखंडज $A$ (adj. $A$ ) को ज्ञात करें ।

$3\ X\ 3$ आव्यूह का सहखंडज

$A={\begin{bmatrix}2&-1&3\\0&5&2\\1&-1&-2\end{bmatrix}}$

प्रक्रिया 1: आव्यूह $A$ के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह $M$ को ज्ञात करें ।

पंक्ति 1:

$2={\begin{vmatrix}5&2\\-1&-2\end{vmatrix}}=(-10-(-2))=-10+2=-8$ का उपसारणिक

$-1={\begin{vmatrix}0&2\\1&-2\end{vmatrix}}=(0-2)=-2$ का उपसारणिक

$3={\begin{vmatrix}0&5\\1&-1\end{vmatrix}}=(0-5))=-5$ का उपसारणिक

पंक्ति 2:

$0={\begin{vmatrix}-1&3\\-1&-2\end{vmatrix}}=(2-(-3))=2+3=5$ का उपसारणिक

$5={\begin{vmatrix}2&3\\1&-2\end{vmatrix}}=(-4-3)=-7$ का उपसारणिक

$2={\begin{vmatrix}2&-1\\1&-1\end{vmatrix}}=(-2-(-1))=-1$ का उपसारणिक

पंक्ति 3:

$1={\begin{vmatrix}-1&3\\5&2\end{vmatrix}}=(-2-15)=-17$ का उपसारणिक

$-1={\begin{vmatrix}2&3\\0&2\end{vmatrix}}=(4-0)=4$ का उपसारणिक

$-2={\begin{vmatrix}2&-1\\0&5\end{vmatrix}}=(10-0)=10$ का उपसारणिक

आव्यूह $A$ का उपसारणिक $M = [\begin{matrix} - 8 & - 2 & - 5 \\ 5 & - 7 \end{matrix}$

@@ Line 10: / Line 10: @@
 * सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त  लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।
-=== <math>3X3</math> आव्यूह का सहखंडज ===
+=== <math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह का सहखंडज ===
 <math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>
-'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.
-'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.
+'''प्रक्रिया 1:''' आव्यूह <math>A</math> के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह <math>M</math> को ज्ञात करें ।
-'''''Row 1:'''''
+'''''पंक्ति 1:'''''
-Minor of <math>2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(-10-(-2))=-10+2=-8</math>
+<math>2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(-10-(-2))=-10+2=-8</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>-1 = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(0-2)=-2</math>
+<math>-1 = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(0-2)=-2</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>3 = \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(0-5))=-5</math>
+<math>3 = \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(0-5))=-5</math> का उपसारणिक
-'''''Row 2:'''''
+'''''पंक्ति 2:'''''
-Minor of <math>0 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(2-(-3))=2+3=5</math>
+<math>0 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(2-(-3))=2+3=5</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>5 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(-4-3)=-7</math>
+<math>5 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(-4-3)=-7</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(-2-(-1))=-1</math>
+<math>2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(-2-(-1))=-1</math> का उपसारणिक
-'''''Row 3:'''''
+'''''पंक्ति 3:'''''
-Minor of <math>1 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=(-2-15)=-17</math>
+<math>1 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=(-2-15)=-17</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>-1 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=(4-0)=4</math>
+<math>-1 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=(4-0)=4</math> का उपसारणिक
-Minor of <math>-2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=(10-0)=10</math>
+<math>-2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=(10-0)=10</math> का उपसारणिक
-Minor of Matrix <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>
+आव्यूह <math>A</math> का उपसारणिक <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>
-'''Step 2:''' Find the cofactor matrix <math>C</math> of all the minor elements of matrix <math>M</math>
-To find the cofactors of <math>3 \ X \ 3</math> matrix, the corresponding minors should be multiplied by the signs below according to their position.
+'''प्रक्रिया''' '''2:''' Find the cofactor matrix <math>C</math> of all the उपसारणिक elements of matrix <math>M</math>
+To find the cofactors of <math>3 \ X \ 3</math> matrix, the corresponding उपसारणिकs should be multiplied by the signs below according to their position.
 <math>C= \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}</math>
-Minor of Matrix <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>
+उपसारणिक of Matrix <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>
 Cofactor of Matrix A is <math>C= \begin{bmatrix} -8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \end{bmatrix}</math>

आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम: Difference between revisions

Revision as of 12:54, 8 February 2024

आव्यूह के सहखंडज

3 X 3{\displaystyle 3\ X\ 3} आव्यूह का सहखंडज

$3\ X\ 3$ आव्यूह का सहखंडज