वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक: Difference between revisions

Latest revision as of 14:35, 14 June 2024

बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों में से एक मान है। यह मान हमें एक मोटा अंदाज़ा देता है कि आँकड़ों के समुच्चय में कौन सी वस्तुएँ सबसे अधिक बार आती हैं।

वर्गीकृत आँकड़ों के बहुलक की गणना बहुलक सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। वर्गीकृत बारंबारता बंटन के मामले में, केवल बारंबारता को देखकर बहुलक प्राप्त नहीं किया जा सकता है, हमें पहले बहुलक वर्ग का पता लगाना होगा, जिसमें दिए गए आँकड़ों का बहुलक निहित है।

अवर्गीकृत आँकड़ों के बहुलक

जो आँकडें समूहों में नहीं दिखाई देते है उसे अवर्गीकृत आँकडें कहते हैं। अवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक कैसे ज्ञात करें, यह समझने के लिए आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए कि एक परिधान उद्योग(कपडों की कंपनी) ने बारंबारता बंटन तालिका में उल्लिखित मापों के साथ कमीज़ों (शर्ट) का निर्माण किया:


कमीज़ों के माप	कमीज़ों की कुल संख्या
$38$	$33$
$39$	$11$
$40$	$22$
$42$	$55$
$43$	$44$
$44$	$11$

हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि आकार $42$ की बारंबारता सबसे अधिक है। इसलिए, कमीज़ों के माप के लिए बहुलक $42$ है। हालाँकि, समूहीकृत आँकड़ों के लिए यह सही नहीं है।

वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक क्या है?

बहुलक किसी दिए गए आँकड़ों के समुच्चय की केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों में से एक है जो आँकड़ों के समुच्चय में केंद्रीय स्थिति को एकल मान के रूप में पहचानने की मांग करता है। अवर्गीकृत आँकड़ों के मामले में, बहुलक केवल सबसे बड़ी बारंबारता वाला वस्तु है। वर्गीकृत आँकड़ों के लिए, बहुलक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है,

बहुलक = $l+\left({\frac {f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}}\right)h$

जहाँ

$l=$ बहुलक वर्ग की निम्न(निचली) सीमा

$h=$ वर्ग अंतराल का माप

$f_{1}=$ बहुलक वर्ग की बारंबारता

$f_{0}=$ बहुलक वर्ग से पूर्ववर्ती(पहले) वाले वर्ग की बारंबारता

$f_{2}=$ बहुलक वर्ग के बाद आने(अनुवर्ती) वाले वर्ग की बारंबारता

उदाहरण: छात्रों के एक समूह द्वारा एक इलाके में 20 घरों पर किए गए सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप एक घर में परिवार के सदस्यों की संख्या के लिए निम्नलिखित बारंबारता तालिका प्राप्त हुई

परिवार के सदस्य	परिवारों की संख्या
$1-3$	$7$
$3-5$	$8$
$5-7$	$2$
$7-9$	$2$
$9-11$	$1$

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ महत्तम वर्ग बारंबारता $8$ है, तथा इस बारंबारता के संगत वर्ग $3-5$ है। अतः बहुलक वर्ग $3-5$ है।

अब

बहुलक वर्ग = $3-5$

बहुलक वर्ग की निम्न(निचली) सीमा $(l)$ = $3$

वर्ग - अंतराल माप $(h)$ = $2$

बहुलक वर्ग की बारंबारता $(f_{1})$ = $8$

बहुलक वर्ग से पूर्ववर्ती(पहले) वाले वर्ग की बारंबारता $(f_{0})$ = $7$

बहुलक वर्ग से आने(अनुवर्ती) वाले वर्ग की बारंबारता $(f_{2})$ = $2$

बहुलक = $l+\left({\frac {f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}}\right)h$

$=3+\left({\frac {8-7}{2\times 8-7-2}}\right)\times 2$

$=3+\left({\frac {1}{16-7-2}}\right)\times 2$

$=3+\left({\frac {1}{7}}\right)\times 2$

$=3.286$

अतः उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक $3.286$ है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-The mode is one of the values of the measures of central tendency. This value gives us a rough idea about which of the items in a data set tend to occur most frequently.
+बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों में से एक मान है। यह मान हमें एक मोटा अंदाज़ा देता है कि आँकड़ों के समुच्चय में कौन सी वस्तुएँ सबसे अधिक बार आती हैं।
-Mode of grouped data can be calculated using the mode formula. In the case of grouped frequency distribution, mode can't be obtained just by looking into the frequency, we first need to find out the modal class, in which lies the mode of the given data.
+वर्गीकृत आँकड़ों के बहुलक की गणना बहुलक सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। वर्गीकृत बारंबारता बंटन के मामले में, केवल बारंबारता को देखकर बहुलक प्राप्त नहीं किया जा सकता है, हमें पहले बहुलक वर्ग का पता लगाना होगा, जिसमें दिए गए आँकड़ों का बहुलक निहित है।
-== Mode for Ungrouped Data ==
+== अवर्गीकृत आँकड़ों के बहुलक ==
-Data that does not appear in groups are called ungrouped data. Let us take an example to understand how to find the mode of ungrouped data. Let us say a garment company manufactured Shirts with the sizes as mentioned in the frequency distribution table:
+जो आँकडें समूहों में नहीं दिखाई देते है उसे अवर्गीकृत आँकडें कहते हैं। अवर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक कैसे ज्ञात करें, यह समझने के लिए आइए एक उदाहरण लेते हैं। मान लीजिए कि एक परिधान उद्योग(कपडों की कंपनी) ने बारंबारता बंटन तालिका में उल्लिखित मापों के साथ कमीज़ों (शर्ट) का निर्माण किया:
 {| class="wikitable"
 |+
-!Size of the shirts
+!कमीज़ों के माप
-!Total number of shirts
+!कमीज़ों की कुल संख्या
 |-
 |<math>38</math>
@@ Line 28: / Line 28: @@
 |<math>11</math>
 |}
-We can clearly see that size <math>42</math> has the greatest frequency. Hence, the mode for the size of the shirts is <math>42</math>. However, the same does not hold good for grouped data.
+हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि आकार <math>42</math> की बारंबारता सबसे अधिक है। इसलिए, कमीज़ों के माप के लिए बहुलक <math>42</math> है। हालाँकि, समूहीकृत आँकड़ों के लिए यह सही नहीं है।
-== What is Mode of Grouped Data? ==
+== वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक क्या है? ==
-Mode is one of the measures of the central tendency of a given dataset which demands the identification of the central position in the data set as a single value. In the case of ungrouped data, the mode is simply the item having the greatest frequency. For grouped data, the mode is calculated using the formula,
+बहुलक किसी दिए गए आँकड़ों के समुच्चय की केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों में से एक है जो आँकड़ों के समुच्चय में केंद्रीय स्थिति को एकल मान के रूप में पहचानने की मांग करता है। अवर्गीकृत आँकड़ों के मामले में, बहुलक केवल सबसे बड़ी बारंबारता वाला वस्तु है। वर्गीकृत आँकड़ों के लिए, बहुलक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है,
-Mode = <math>l+\left ( \frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2} \right )h</math>
+बहुलक = <math>l+\left ( \frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2} \right )h</math>
-Where
+जहाँ
-<math>l=</math> Lower limit of the modal class
+<math>l=</math> बहुलक वर्ग की निम्न(निचली) सीमा
-<math>h=</math> Size of the class interval
+<math>h=</math> वर्ग अंतराल का माप
-<math>f_1=</math> Frequency of the modal class
+<math>f_1=</math> बहुलक वर्ग की बारंबारता
-<math>f_0=</math> Frequency of the class preceding the modal class
+<math>f_0=</math> बहुलक वर्ग से  पूर्ववर्ती(पहले) वाले वर्ग की बारंबारता
-<math>f_2=</math> Frequency of the class succeeding the modal class
+<math>f_2=</math> बहुलक वर्ग के बाद आने(अनुवर्ती) वाले वर्ग की बारंबारता
-'''Example''': A survey conducted on 20 households in a locality by a group of students resulted in the following frequency table for the number of family members in a household
+'''उदाहरण''': छात्रों के एक समूह द्वारा एक इलाके में 20 घरों पर किए गए सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप एक घर में परिवार के सदस्यों की संख्या के लिए निम्नलिखित बारंबारता तालिका प्राप्त हुई
 {| class="wikitable"
-!Family size
+!परिवार के सदस्य
-!Number of families
+!परिवारों की संख्या
 |-
 |<math>1-3</math>
@@ Line 67: / Line 67: @@
 |<math>1</math>
 |}
-Find the mode of this data.
+इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
-'''Solution:'''
+'''हल:'''
-Here the maximum class frequency is <math>8</math>, and the class corresponding to this frequency is <math>3-5</math>. So, the modal class is <math>3-5</math>.
+यहाँ  महत्तम वर्ग बारंबारता <math>8</math> है, तथा इस बारंबारता के संगत वर्ग <math>3-5</math> है। अतः बहुलक वर्ग <math>3-5</math> है।
-Now
+अब
-modal class = <math>3-5</math>
+बहुलक वर्ग = <math>3-5</math>
-lower limit <math>(l)</math> of modal class = <math>3</math>
+बहुलक वर्ग की निम्न(निचली) सीमा <math>(l)</math> = <math>3</math>
-class - interval size <math>(h)</math> = <math>2</math>
+वर्ग - अंतराल माप <math>(h)</math> = <math>2</math>
-frequency <math>(f_1)</math> of the modal class = <math>8</math>
+बहुलक वर्ग की बारंबारता <math>(f_1)</math> = <math>8</math>
-frequency <math>(f_0)</math> of class preceding the modal class = <math>7</math>
+बहुलक वर्ग से  पूर्ववर्ती(पहले) वाले वर्ग की बारंबारता <math>(f_0)</math> = <math>7</math>
-frequency <math>(f_2)</math> of class succeeding the modal class = <math>2</math>
+बहुलक वर्ग से आने(अनुवर्ती) वाले वर्ग की बारंबारता <math>(f_2)</math> =  <math>2</math>
-Mode = <math>l+\left ( \frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2} \right )h</math>
+बहुलक = <math>l+\left ( \frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2} \right )h</math>
 <math>=3+\left ( \frac{8-7}{2 \times 8-7-2} \right ) \times 2</math>
@@ Line 97: / Line 97: @@
 <math>=3.286</math>
-Therefore mode of the above data is <math>3.286</math>
+अतः उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक <math>3.286</math> है।
 [[Category:सांख्यिकी]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]