कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात: Difference between revisions

Latest revision as of 20:13, 26 September 2024

इस अनुभाग में, हम $0^{\circ },30^{\circ },45^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ के कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करेंगे।

45° के त्रिकोणमितीय अनुपात

File:Right angle triangle.jpg

चित्र -1 त्रिभुज

$\bigtriangleup ABC$ में $B$ समकोण है, यदि $\angle A=45^{\circ }$ , $\angle C=45^{\circ }$

$BC=AB=a$

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए

$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

$a^{2}+a^{2}=2a^{2}$

$AC=a{\sqrt {2}}$

$sin\ 45^{\circ }={\frac {side\ opposite\ to\ angle\ 45^{\circ }}{hypotenuse}}={\frac {BC}{AC}}={\frac {a}{a{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$cos\ 45^{\circ }={\frac {side\ adjacent\ to\ angle\ 45^{\circ }}{hypotenuse}}={\frac {AB}{AC}}={\frac {a}{a{\sqrt {2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

$t a n 45^{\circ} = \frac{s i d e o p p o s i t e t o a n g l e 45^{\circ}}{s i d e a d j a c e n t t o}$

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-In this section, we will find the values of the trigonometric ratios for angles of <math>0^\circ ,30^\circ , 45^\circ, 60^\circ , 90^\circ
+इस अनुभाग में, हम <math>0^\circ ,30^\circ , 45^\circ, 60^\circ , 90^\circ
-</math>.
+</math>के कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करेंगे।
-== Trigonometric Ratios of 45° ==
+== 45° के त्रिकोणमितीय अनुपात ==
-[[File:Right angle triangle.jpg|alt=Fig.1 Triangle|thumb|Fig.1 Triangle]]
+[[File:Right angle triangle.jpg|alt=Fig.1 Triangle|thumb|चित्र -1 त्रिभुज]]
-In <math>\bigtriangleup ABC</math> right angled at <math>B</math> , If  <math>\angle A =45^\circ</math>, <math>\angle C =45^\circ</math>
+<math>\bigtriangleup ABC</math>  में <math>B</math>  समकोण है, यदि <math>\angle A =45^\circ</math>, <math>\angle C =45^\circ</math>
 <math>BC=AB=a</math>
-Using Pythagoras Theorem
+पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए
 <math>AB^2+BC^2=AC^2</math>
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 <math>cosec \  45^\circ = \frac{1}{sin  \ 45^\circ}=\sqrt{2}</math>  ,    <math>sec \  45^\circ = \frac{1}{cos  \ 45^\circ}=\sqrt{2}</math>  ,  <math>cot \  45^\circ = \frac{1}{tan  \ 45^\circ}=1</math>
-== Trigonometric Ratios of 30° and 60° ==
+== 30° और  60°  के त्रिकोणमितीय अनुपात ==
-[[File:Triangle -1.jpg|alt=Fig. 2 - Triangle|thumb|Fig. 2 Triangle]]
+[[File:Triangle -1.jpg|alt=Fig. 2 - Triangle|thumb|चित्र -2 त्रिभुज]]
-Consider an equilateral <math>\bigtriangleup ABC</math>. Each angle in an equilateral triangle is <math>60^\circ</math>, therefore,<math>\angle A = \angle B =\angle C =60^\circ</math> .
+समबाहु <math>\bigtriangleup ABC</math>  पर विचार करें। समबाहु त्रिभुज में प्रत्येक कोण <math>60^\circ</math> होता है, इसलिए, <math>\angle A = \angle B =\angle C =60^\circ</math> .
-Draw a perpendicular <math>AD</math> from <math>A</math> to the side <math>BC</math> (see Fig. 2).
+<math>A</math> से भुजा <math>BC</math> तक एक लंब <math>AD</math> खींचिए (चित्र-2 देखें)।
-Now <math>\bigtriangleup ABD=\bigtriangleup ACD</math>
+अब <math>\bigtriangleup ABD=\bigtriangleup ACD</math>
-Therefore, <math>BD=DC</math> and <math>\angle BAD = \angle CAD</math> (Corresponding Parts of Congruent Triangles)
+अतः, <math>BD=DC</math> और <math>\angle BAD = \angle CAD</math> (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
-<math>\bigtriangleup ABD</math> is a right angled triangle , right angled at <math>D</math> with <math>\angle BAD = 30^\circ</math> and <math>\angle ABD = 60^\circ</math>
+<math>\bigtriangleup ABD</math> एक समकोण त्रिभुज है, जो <math>\angle BAD = 30^\circ</math> और <math>\angle ABD = 60^\circ</math> के साथ <math>D</math> पर समकोण है।
-Let <math>AB=2a</math> , Hence <math>BC=AC=AB=2a</math>
+मान लीजिए <math>AB=2a</math> , अत:  <math>BC=AC=AB=2a</math>
 <math>BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} \times 2a=a</math>
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 <math>cosec \  30^\circ = \frac{1}{sin  \ 30^\circ}=2</math>  ,    <math>sec \  30^\circ = \frac{1}{cos  \ 30^\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}</math>  ,  <math>cot \  30^\circ = \frac{1}{tan  \ 30^\circ}=\sqrt{3}</math>
-Similarly
+इसी प्रकार
 <math>sin \ 60^\circ = \ \frac{AD} {AB} =\frac{a\sqrt{3}} {2a}=\frac{\sqrt{3}} {2}</math> ,  <math>cos \ 60^\circ = \ \frac{BD} {AB} =\frac{a} {2a}=\frac{1} {2}</math> ,  <math>tan \ 60^\circ = \ \frac{AD} {BD} =\frac{a\sqrt{3}} {a}=\sqrt{3} </math>
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 {| class="wikitable"
-|+Trigonometric ratios of 0°, 30°, 45°, 60° and 90°
+|+0°, 30°, 45°, 60° और 90°  के त्रिकोणमितीय अनुपात
 !<math>\angle A</math>
 !<math>0^\circ</math>
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 |<math>1</math>
 |<math>\sqrt{3} </math>
-|Not Defined
+|अपरिभाषित
 |-
 |<math>cosec \ A</math>
-|Not Defined
+|अपरिभाषित
 |<math>2</math>
 |<math>\sqrt{2} </math>
@@ Line 98: / Line 98: @@
 |<math>\sqrt{2} </math>
 |<math>2</math>
-|Not Defined
+|अपरिभाषित
 |-
 |<math>cot \ A</math>
-|Not Defined
+|अपरिभाषित
 |<math>\sqrt{3} </math>
 |<math>1</math>
@@ Line 107: / Line 107: @@
 |<math>0</math>
 |}
+[[Category:त्रिकोणमिति का परिचय]]
 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-10]]
-[[Category:त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग]]