त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ: Difference between revisions

Latest revision as of 22:02, 26 September 2024

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, त्रिकोणमिति का एक मूलभूत पहलू है, जो त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन है। यह सर्वसमिकाएँ गणितीय समीकरण हैं जिनमें ज्या(साइन), कोटिज्या(कोसाइन) और स्पर्शरेखा जैसे त्रिकोणमितीय फलन उपस्थित होते हैं और उपस्थित चर के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, व्यंजक को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने और विज्ञान और इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए उपयोगी हैं। गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में छात्रों और पेशेवरों(प्रोफेशनल्स) के लिए इन सर्वसमिकाएँ के गुणों और अनुप्रयोगों को समझना आवश्यक है।

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

त्रिकोणमिति में पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस प्रमेय से ली गई हैं। निम्नलिखित 3 पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं।

$cos^{2}A+sin^{2}A=1$
$1+tan^{2}A=sec^{2}A$
$cot^{2}A+1=cosec^{2}A$

File:Trigonometric ratios -1 - Hindi.jpg

चित्र-1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

$\bigtriangleup ABC$ में $B$ पर समकोण है (चित्र-1 देखें) हमारे पास है

$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}.......(1)$

$(1)$ के प्रत्येक पद को $AC^{2}$ से विभाजित करने पर

${\frac {AB^{2}}{AC^{2}}}+{\frac {BC^{2}}{AC^{2}}}={\frac {AC^{2}}{AC^{2}}}$

$\left[{\frac {AB}{AC}}\right]^{2}+\left[{\frac {BC}{AC}}\right]^{2}=\left[{\frac {AC}{AC}}\right]^{2}$

$cos^{2}A+sin^{2}A=1$

यह सभी $A$ के लिए सत्य है जैसे कि $0^{\circ }\leq A\leq 90^{\circ }$

(1) के प्रत्येक पद को $AB^{2}$ से विभाजित करने पर

${\frac {AB^{2}}{AB^{2}}}+{\frac {BC^{2}}{AB^{2}}}={\frac {AC^{2}}{AB^{2}}}$

$\left[{\frac {AB}{AB}}\right]^{2}+\left[{\frac {BC}{AB}}\right]^{2}=\left[{\frac {AC}{AB}}\right]^{2}$

$1+tan^{2}A=sec^{2}A$

यह सभी $A$ के लिए सत्य है जैसे कि $0^{\circ }\leq A<90^{\circ }$

(1) के प्रत्येक पद को $BC^{2}$ से विभाजित करने पर

${\frac {AB^{2}}{BC^{2}}}+{\frac {BC^{2}}{BC^{2}}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}$

$\left[{\frac {AB}{BC}}\right]^{2}+\left[{\frac {BC}{BC}}\right]^{2}=\left[{\frac {AC}{BC}}\right]^{2}$

$cot^{2}A+1=cosec^{2}A$

यह सभी $A$ के लिए सत्य है जैसे कि $0^{\circ }<A\leq 90^{\circ }$

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-[[Category:त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग]]
+[[Category:त्रिकोणमिति का परिचय]]
 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-10]]
-Trigonometric identities are a fundamental aspect of trigonometry, which is the study of the relationships between the angles and sides of triangles. These identities are mathematical equations that involve trigonometric functions, such as sine, cosine, and tangent, and are true for all values of the variables involved.
+त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, त्रिकोणमिति का एक मूलभूत पहलू है, जो त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन है। यह सर्वसमिकाएँ गणितीय समीकरण हैं जिनमें ज्या(साइन), कोटिज्या(कोसाइन) और स्पर्शरेखा जैसे त्रिकोणमितीय फलन उपस्थित होते हैं और उपस्थित चर के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं।
-Trigonometry identities are useful for simplifying expressions, solving equations, and proving mathematical theorems in various fields of science and engineering. Understanding the properties and applications of these identities is essential for students and professionals in fields such as mathematics, physics, and engineering.
+त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, व्यंजक को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने और विज्ञान और इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए उपयोगी हैं। गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में छात्रों और पेशेवरों(प्रोफेशनल्स) के लिए इन सर्वसमिकाएँ के गुणों और अनुप्रयोगों को समझना आवश्यक है।
-== Pythagorean Trigonometric Identities ==
+== पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ==
-The Pythagorean trigonometric identities in trigonometry are derived from the Pythagoras theorem. The following are the 3 Pythagorean trig identities.
+त्रिकोणमिति में पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस प्रमेय से ली गई हैं। निम्नलिखित 3 पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं।
 * <math> cos^2A + sin^2A=1 </math>
 *<math> 1+tan^2A =sec^2A </math>
 *<math> cot^2A+1 =cosec^2A </math>
-In <math>\bigtriangleup ABC</math> right angled at B (See Fig. 1) we have [[File:Trigonometric ratios -1.jpg|alt=Fig.1 Trigonometric Identities|thumb|Fig.1 Trigonometric Identities]]<math>AB^2+BC^2=AC^2 ....... (1)</math>
+[[File:Trigonometric ratios -1 - Hindi.jpg|alt=चित्र-1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ|thumb|350x350px|चित्र-1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ]]
+<math>\bigtriangleup ABC</math> में <math>B</math> पर समकोण है (चित्र-1 देखें) हमारे पास है
-Dividing each term of <math>(1)</math> by <math>AC^2</math>
+<math>AB^2+BC^2=AC^2 ....... (1)</math>
+<math>(1)</math> के प्रत्येक पद को <math>AC^2</math> से विभाजित करने पर
 <math>\frac{AB^2}{AC^2}+\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}</math>
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 <math> cos^2A + sin^2A=1 </math>
-This is true for all <math>A</math> such that <math>0^\circ\leq A \leq 90^\circ</math>
+यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ\leq A \leq 90^\circ</math>
-Dividing each term of <math>(1)</math> by <math>AB^2</math>
+(1) के प्रत्येक पद को <math>AB^2</math> से विभाजित करने पर
 <math>\frac{AB^2}{AB^2}+\frac{BC^2}{AB^2}=\frac{AC^2}{AB^2}</math>
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 <math> 1+tan^2A =sec^2A </math>
-This is true for all <math>A</math> such that <math>0^\circ\leq A < 90^\circ</math>
+यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ\leq A < 90^\circ</math>
-Dividing each term of <math>(1)</math> by <math>BC^2</math>
+(1) के प्रत्येक पद को <math>BC^2</math> से विभाजित करने पर
 <math>\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{BC^2}{BC^2}=\frac{AC^2}{BC^2}</math>
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 <math> cot^2A+1 =cosec^2A </math>
-This is true for all <math>A</math> such that <math>0^\circ <A \leq 90^\circ</math>
+यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ <A \leq 90^\circ</math>