वृत्त की स्पर्श रेखा: Difference between revisions

Latest revision as of 17:02, 11 October 2024

वृत्त एक समतल में स्थित सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं। निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहा जाता है और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु और उसके केंद्र के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।

परिभाषा

वृत्त की स्पर्शरेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिक्षेद करती है। स्पर्शरेखा और वृत्त के बीच के उभयनिष्ठ बिंदु को संपर्क बिंदु कहते हैं।

दिया गया है कि, वृत्त पर जाने वाली रेखा या तो प्रतिच्छेद कर सकती है, या प्रतिच्छेद नही कर सकती है, या वृत्त को मात्र स्पर्श कर सकती है।

किसी भी रेखा $AB$ और एक वृत्त पर विचार करें। नीचे दिखाए अनुसार 3 संभावनाएँ हैं:

(1) रेखा $AB$ वृत्त को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। ऐसी रेखा को वृत्त की छेदक रेखा कहा जाता है। $P$ और $Q$ वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। $PQ$ वृत्त की एक जीवा है।

File:Tangent intersecting.jpg

चित्र .1

(2) रेखा $AB$ वृत्त को ठीक एक बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है। ऐसी रेखा को वृत्त की स्पर्श रेखा कहते हैं।

File:Tangent touching.jpg

चित्र .2

(3) रेखा $AB$ वृत्त को किसी भी बिंदु पर स्पर्श नहीं करती है और इसे अप्रतिच्छेदी रेखा कहा जाता है।

File:Tangent non-intersecting.jpg

चित्र .3

वृत्त की स्पर्श रेखा- उदाहरण

कल्पना कीजिए कि एक साइकिल सड़क पर चल रही है। यदि हम इसके पहिये को देखें तो हम पाते हैं कि यह सड़क को केवल एक बिंदु पर छूता है। सड़क को पहिए की स्पर्शरेखा माना जा सकता है।

File:Tangent wheel example.jpg

चित्र .4

यह ध्यान देने योग्य बात है कि वृत्त पर किसी भी दिए गए बिंदु से होकर मात्र एक ही स्पर्श रेखा हो सकती है। वृत्त पर किसी बिंदु से होकर जाने वाली उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के अतिरिक्त कोई भी अन्य रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिक्षेद करेगी। इसे निम्नलिखित चित्र-5 से सरलता से देखा जा सकता है।

File:Tangent two point intersection.jpg

चित्र .5

$AB,CD,EF,GH,IJ$ बिंदु $P$ से होकर गुजरने वाली कुछ रेखाएँ हैं, जहाँ $P$ वृत्त पर एक बिंदु है। हम देखते हैं कि $AB$ को छोड़कर सभी रेखाएँ $P$ से होकर गुजरती हैं और वृत्त को किसी अन्य बिंदु पर प्रतिक्षेद करती हैं। इसलिए केवल $AB$ एक स्पर्शरेखा है और $CD,EF,GH,IJ$ वृत्त की छेदक रेखाएँ हैं। प्रत्येक छेदक रेखा का वृत्त के लिए एक संगत जीवा होता है।

इसलिए, एक स्पर्शरेखा को छेदक रेखा की एक विशेष परिस्थिति माना जा सकता है जब उसके संगत जीवा के अंत बिंदु मेल खाते है।

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+वृत्त एक समतल में स्थित सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं। निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहा जाता है और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु और उसके केंद्र के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।
-[[Category:ज्यामिति]]
+== परिभाषा ==
+वृत्त की स्पर्शरेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिक्षेद करती है। स्पर्शरेखा और वृत्त के बीच के उभयनिष्ठ बिंदु को संपर्क बिंदु कहते हैं।
+दिया गया है कि, वृत्त पर जाने वाली रेखा या तो प्रतिच्छेद कर सकती है, या प्रतिच्छेद नही कर सकती है, या वृत्त को मात्र स्पर्श कर सकती है।
+किसी भी रेखा <math>AB</math> और एक वृत्त पर विचार करें। नीचे दिखाए अनुसार 3 संभावनाएँ हैं:
+(1) रेखा <math>AB</math> वृत्त को दो बिंदुओं <math>P</math> और <math>Q</math> पर प्रतिच्छेद करती है। ऐसी रेखा को वृत्त की छेदक रेखा कहा जाता है।<math>P</math> और <math>Q</math> वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। <math>PQ</math> वृत्त की एक जीवा है।[[File:Tangent intersecting.jpg|alt=Fig. 1|none|thumb|चित्र .1]]
+(2) रेखा <math>AB</math>  वृत्त को ठीक एक बिंदु <math>P</math> पर स्पर्श करती है। ऐसी रेखा को वृत्त की स्पर्श रेखा कहते हैं।
+[[File:Tangent touching.jpg|alt=Fig. 2|none|thumb|चित्र .2 ]]
+(3) रेखा <math>AB</math> वृत्त को किसी भी बिंदु पर स्पर्श नहीं करती है और इसे अप्रतिच्छेदी रेखा कहा जाता है।
+[[File:Tangent non-intersecting.jpg|alt=Fig. 3|none|thumb|चित्र .3 ]]
+== वृत्त की स्पर्श रेखा- उदाहरण ==
+कल्पना कीजिए कि एक साइकिल सड़क पर चल रही है। यदि हम इसके पहिये को देखें तो हम पाते हैं कि यह सड़क को केवल एक बिंदु पर छूता है। सड़क को पहिए की स्पर्शरेखा माना जा सकता है।
+[[File:Tangent wheel example.jpg|alt=Fig. 4|none|thumb|चित्र .4 ]]यह ध्यान देने योग्य बात है कि वृत्त पर किसी भी दिए गए बिंदु से होकर मात्र एक ही स्पर्श रेखा हो सकती है।
+वृत्त पर किसी बिंदु से होकर जाने वाली उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के अतिरिक्त कोई भी अन्य रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिक्षेद करेगी। इसे निम्नलिखित चित्र-5 से सरलता से देखा जा सकता है।[[File:Tangent two point intersection.jpg|alt=Fig. 5|none|thumb|चित्र .5 ]]<math>AB,CD,EF,GH,IJ</math> बिंदु <math>P</math> से होकर गुजरने वाली कुछ रेखाएँ हैं, जहाँ <math>P</math> वृत्त पर एक बिंदु है। हम देखते हैं कि <math>AB</math> को छोड़कर सभी रेखाएँ <math>P</math> से होकर गुजरती हैं और वृत्त को किसी अन्य बिंदु पर प्रतिक्षेद करती हैं। इसलिए केवल <math>AB</math> एक स्पर्शरेखा है और <math>CD,EF,GH,IJ</math> वृत्त की छेदक रेखाएँ हैं। प्रत्येक छेदक रेखा का वृत्त के लिए एक संगत जीवा होता है।
+इसलिए, एक स्पर्शरेखा को छेदक रेखा की एक विशेष परिस्थिति माना जा सकता है जब उसके संगत जीवा के अंत बिंदु मेल खाते है।
 [[Category:वृत्त]]
+[[Category:गणित]]
+[[Category:कक्षा-10]]