वृत्त की स्पर्श रेखा: Difference between revisions

Latest revision as of 17:02, 11 October 2024

वृत्त एक समतल में स्थित सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं। निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहा जाता है और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु और उसके केंद्र के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।

परिभाषा

वृत्त की स्पर्शरेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिक्षेद करती है। स्पर्शरेखा और वृत्त के बीच के उभयनिष्ठ बिंदु को संपर्क बिंदु कहते हैं।

दिया गया है कि, वृत्त पर जाने वाली रेखा या तो प्रतिच्छेद कर सकती है, या प्रतिच्छेद नही कर सकती है, या वृत्त को मात्र स्पर्श कर सकती है।

किसी भी रेखा $AB$ और एक वृत्त पर विचार करें। नीचे दिखाए अनुसार 3 संभावनाएँ हैं:

(1) रेखा $AB$ वृत्त को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर प्रतिच्छेद करती है। ऐसी रेखा को वृत्त की छेदक रेखा कहा जाता है। $P$ और $Q$ वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। $PQ$ वृत्त की एक जीवा है।

File:Tangent intersecting.jpg

चित्र .1

(2) रेखा $AB$ वृत्त को ठीक एक बिंदु $P$ पर स्पर्श करती है। ऐसी रेखा को वृत्त की स्पर्श रेखा कहते हैं।

File:Tangent touching.jpg

चित्र .2

(3) रेखा $AB$ वृत्त को किसी भी बिंदु पर स्पर्श नहीं करती है और इसे अप्रतिच्छेदी रेखा कहा जाता है।

File:Tangent non-intersecting.jpg

चित्र .3

वृत्त की स्पर्श रेखा- उदाहरण

कल्पना कीजिए कि एक साइकिल सड़क पर चल रही है। यदि हम इसके पहिये को देखें तो हम पाते हैं कि यह सड़क को केवल एक बिंदु पर छूता है। सड़क को पहिए की स्पर्शरेखा माना जा सकता है।

File:Tangent wheel example.jpg

चित्र .4

यह ध्यान देने योग्य बात है कि वृत्त पर किसी भी दिए गए बिंदु से होकर मात्र एक ही स्पर्श रेखा हो सकती है। वृत्त पर किसी बिंदु से होकर जाने वाली उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के अतिरिक्त कोई भी अन्य रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिक्षेद करेगी। इसे निम्नलिखित चित्र-5 से सरलता से देखा जा सकता है।

File:Tangent two point intersection.jpg

चित्र .5

$AB,CD,EF,GH,IJ$ बिंदु $P$ से होकर गुजरने वाली कुछ रेखाएँ हैं, जहाँ $P$ वृत्त पर एक बिंदु है। हम देखते हैं कि $AB$ को छोड़कर सभी रेखाएँ $P$ से होकर गुजरती हैं और वृत्त को किसी अन्य बिंदु पर प्रतिक्षेद करती हैं। इसलिए केवल $AB$ एक स्पर्शरेखा है और $CD,EF,GH,IJ$ वृत्त की छेदक रेखाएँ हैं। प्रत्येक छेदक रेखा का वृत्त के लिए एक संगत जीवा होता है।

इसलिए, एक स्पर्शरेखा को छेदक रेखा की एक विशेष परिस्थिति माना जा सकता है जब उसके संगत जीवा के अंत बिंदु मेल खाते है।

@@ Line 1: / Line 1: @@
-A circle is a set of all points in a plane which are equally spaced from a fixed point. The fixed point is called the center of the circle and the distance between any point on the circle and its center is called the radius.
+वृत्त एक समतल में स्थित सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं। निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहा जाता है और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु और उसके केंद्र के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है।
-== Definition ==
+== परिभाषा ==
-A tangent to a circle is a line which intersects the circle at only one point. The common point between the tangent and the circle are called the point of contact.
+वृत्त की स्पर्शरेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिक्षेद करती है। स्पर्शरेखा और वृत्त के बीच के उभयनिष्ठ बिंदु को संपर्क बिंदु कहते हैं।
-Given, a line to a circle could either be intersecting, non-intersecting or just touching the circle.
+दिया गया है कि, वृत्त पर जाने वाली रेखा या तो प्रतिच्छेद कर सकती है, या प्रतिच्छेद नही कर सकती है, या वृत्त को मात्र स्पर्श कर सकती है।
-Consider any line <math>AB</math> and a circle. There are 3 possibilities as shown below:
+किसी भी रेखा <math>AB</math> और एक वृत्त पर विचार करें। नीचे दिखाए अनुसार 3 संभावनाएँ हैं:
-(1) Line <math>AB</math> intersects the circle at two points  <math>P</math> and <math>Q</math> . Such a line is called ''secant'' of the circle.  <math>P</math> and <math>Q</math> are the points on the circle. <math>PQ</math> is a chord of the circle.
+(1) रेखा <math>AB</math> वृत्त को दो बिंदुओं <math>P</math> और <math>Q</math> पर प्रतिच्छेद करती है। ऐसी रेखा को वृत्त की छेदक रेखा कहा जाता है।<math>P</math> और <math>Q</math> वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। <math>PQ</math> वृत्त की एक जीवा है।[[File:Tangent intersecting.jpg|alt=Fig. 1|none|thumb|चित्र .1]]
-[[File:Tangent intersecting.jpg|alt=Fig. 1|none|thumb|Fig. 1]]
+(2) रेखा <math>AB</math>  वृत्त को ठीक एक बिंदु <math>P</math> पर स्पर्श करती है। ऐसी रेखा को वृत्त की स्पर्श रेखा कहते हैं।
-(2) Line <math>AB</math> touches the circle exactly at one point <math>P</math> . Such a line is called the ''tangent'' to the circle.
+[[File:Tangent touching.jpg|alt=Fig. 2|none|thumb|चित्र .2 ]]
-[[File:Tangent touching.jpg|alt=Fig. 2|none|thumb|Fig. 2]]
+(3) रेखा <math>AB</math> वृत्त को किसी भी बिंदु पर स्पर्श नहीं करती है और इसे अप्रतिच्छेदी रेखा कहा जाता है।
-(3) Line <math>AB</math> does not touch the circle at any point and is referred to as a non-intersecting line.
+[[File:Tangent non-intersecting.jpg|alt=Fig. 3|none|thumb|चित्र .3 ]]
-[[File:Tangent non-intersecting.jpg|alt=Fig. 3|none|thumb|Fig. 3]]
-== Tangent of a Circle Example ==
+== वृत्त की स्पर्श रेखा- उदाहरण ==
-Imagine a bicycle moving on a road. If we look at its wheel, we observe that it touches the road at just one point. The road can be considered as a tangent to the wheel.
+कल्पना कीजिए कि एक साइकिल सड़क पर चल रही है। यदि हम इसके पहिये को देखें तो हम पाते हैं कि यह सड़क को केवल एक बिंदु पर छूता है। सड़क को पहिए की स्पर्शरेखा माना जा सकता है।
-[[File:Tangent wheel example.jpg|alt=Fig. 4|none|thumb|Fig. 4]]It is to be noted that there can one and only one tangent through any given point on the circle.
+[[File:Tangent wheel example.jpg|alt=Fig. 4|none|thumb|चित्र .4 ]]यह ध्यान देने योग्य बात है कि वृत्त पर किसी भी दिए गए बिंदु से होकर मात्र एक ही स्पर्श रेखा हो सकती है।
-Any other line through a point on the circle other than the tangent at that point would intersect the circle at two points. This can be easily seen from the following figure 5.
+वृत्त पर किसी बिंदु से होकर जाने वाली उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के अतिरिक्त कोई भी अन्य रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिक्षेद करेगी। इसे निम्नलिखित चित्र-5 से सरलता से देखा जा सकता है।[[File:Tangent two point intersection.jpg|alt=Fig. 5|none|thumb|चित्र .5 ]]<math>AB,CD,EF,GH,IJ</math> बिंदु <math>P</math> से होकर गुजरने वाली कुछ रेखाएँ हैं, जहाँ <math>P</math> वृत्त पर एक बिंदु है। हम देखते हैं कि <math>AB</math> को छोड़कर सभी रेखाएँ <math>P</math> से होकर गुजरती हैं और वृत्त को किसी अन्य बिंदु पर प्रतिक्षेद करती हैं। इसलिए केवल <math>AB</math> एक स्पर्शरेखा है और <math>CD,EF,GH,IJ</math> वृत्त की छेदक रेखाएँ हैं। प्रत्येक छेदक रेखा का वृत्त के लिए एक संगत जीवा होता है।
-[[File:Tangent two point intersection.jpg|alt=Fig. 5|none|thumb|Fig. 5]]
-<math>AB,CD,EF,GH,IJ</math> are a few lines passing through the point <math>P</math>, where <math>P</math>  is a point on the circle. We observe that all the lines except <math>AB</math> pass through <math>P</math>  and cut the circle at some other point. Hence only <math>AB</math> is a tangent and <math>CD,EF,GH,IJ</math>  are secants to the circle.
-Every secant has a corresponding chord to the circle. Therefore, a tangent can be considered as a special case of secant when the endpoints of its corresponding chord coincide.
+इसलिए, एक स्पर्शरेखा को छेदक रेखा की एक विशेष परिस्थिति माना जा सकता है जब उसके संगत जीवा के अंत बिंदु मेल खाते है।
+[[Category:वृत्त]]
-[[Category:वृत्त]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
+[[Category:गणित]]
-Tangent of a circle
+[[Category:कक्षा-10]]