शून्य बहुपद: Difference between revisions

Revision as of 21:43, 11 October 2024

शून्य बहुपद एक प्रकार का बहुपद है जहां गुणांक शून्य होते हैं और साधारणतः $0$ के रूप में लिखे जाते हैं और इसमें कोई पद नहीं होता है।

परिभाषा

कोई भी बहुपद जिसके सभी चरों के गुणांक शून्य के समान हों, शून्य बहुपद कहलाता है। अत: शून्य बहुपद का मान शून्य होता है। जो फलन इसे परिभाषित करता है उसे स्थिर फलन या शून्य मानचित्र कहा जाता है जिसे प्रायः $p(x)=0$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां $x$ बहुपद का चर है जिसका गुणांक शून्य है। एक शून्य बहुपद में विभिन्न घातों वाले चरों के साथ-साथ अनंत संख्या में पद हो सकते हैं, जहाँ चरों का गुणांक शून्य होता है। उदाहरण के लिए: $0x^{2}+0x+0$

शून्य बहुपद के घात

शून्य बहुपद की घात आमतौर पर अपरिभाषित होती है जब तक कि कोई घात निर्दिष्ट न की गई हो, वह $-1$ या $\infty$ होती है। एक बहुपद की एक घात को उसके गैर-शून्य पदों की अधिकतम घात माना जाता है जबकि एक शून्य बहुपद में कोई गैर-शून्य पद नहीं होता है। इसलिए, हमारे पास बहुपद की घात की गणना करने के लिए घातों वाला कोई पद नहीं है। किसी भी गैर-शून्य संख्या या स्थिरांक को शून्य-डिग्री बहुपद कहा जाता है यदि $f(x)=a$ जैसा $f(x)=ax^{0}$ जहाँ $a\neq 0$ . उदाहरण के लिए: $f(x)=0,g(x)=0x,h(x)=0x^{2}$ .

शून्य बहुपद के शून्य

शून्य बहुपद का शून्य वह संख्या है जो परिमेय संख्या, अपरिमेय संख्या या सम्मिश्र संख्या हो सकती है। चूँकि बहुपद का शून्य वह संख्या है जिसके चर को प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है। जबकि शून्य बहुपद में प्रत्येक पद का गुणांक शून्य होता है। अतः प्रतिस्थापित करने पर भी बहुपद का मान सदैव शून्य होगा। अत: शून्य स्वयं शून्य बहुपद है।

@@ Line 7: / Line 7: @@
 == परिभाषा ==
 कोई भी बहुपद जिसके सभी चरों के गुणांक शून्य के समान हों, शून्य बहुपद कहलाता है। अत: शून्य बहुपद का मान शून्य होता है। जो फलन इसे परिभाषित करता है उसे स्थिर फलन या शून्य मानचित्र कहा जाता है जिसे प्रायः <math>p(x)=0</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां <math>x </math> बहुपद का चर है जिसका गुणांक शून्य है। एक शून्य बहुपद में विभिन्न घातों वाले चरों के साथ-साथ अनंत संख्या में पद हो सकते हैं, जहाँ चरों का गुणांक शून्य होता है। उदाहरण के लिए: <math>0x^2+0x+0</math>
-== Degree of Zero Polynomial ==
+== शून्य बहुपद के घात ==
-The degree of zero polynomial is usually undefined unless a degree is assigned then it is <math>-1</math> or <math>\infty</math>. A degree of a polynomial is considered as the maximum degree of its non-zero terms while a zero polynomial does not have any non-zero terms. Hence, there are no terms with degrees for us to calculate the degree of a polynomial. Any non-zero number or a constant is said to be a zero degree polynomial if <math>f(x)=a</math>  as <math>f(x)=ax^0</math> where <math>a \ne 0</math>. For example: <math>f(x)=0 , g(x)=0x,h(x)=0x^2</math>.
+शून्य बहुपद की घात आमतौर पर अपरिभाषित होती है जब तक कि कोई घात निर्दिष्ट न की गई हो, वह <math>-1</math> या <math>\infty</math> होती है। एक बहुपद की एक घात को उसके गैर-शून्य पदों की अधिकतम घात माना जाता है जबकि एक शून्य बहुपद में कोई गैर-शून्य पद नहीं होता है। इसलिए, हमारे पास बहुपद की घात की गणना करने के लिए घातों वाला कोई पद नहीं है। किसी भी गैर-शून्य संख्या या स्थिरांक को शून्य-डिग्री बहुपद कहा जाता है यदि <math>f(x)=a</math>  जैसा <math>f(x)=ax^0</math> जहाँ <math>a \ne 0</math>. उदाहरण के लिए: <math>f(x)=0 , g(x)=0x,h(x)=0x^2</math>.
-== Zero of Zero Polynomial ==
+== शून्य बहुपद के शून्य ==
-Zero of zero polynomial is any number that can be a rational number, irrational number, or complex number. Since zero of a polynomial is the number that by substituting the variable results in the polynomial's value being zero. While in zero polynomial the coefficient of every term is zero. Therefore, even after substituting, the value of the polynomial will always be zero. Hence, zero itself is the zero polynomial.
+शून्य बहुपद का शून्य वह संख्या है जो परिमेय संख्या, अपरिमेय संख्या या सम्मिश्र संख्या हो सकती है। चूँकि बहुपद का शून्य वह संख्या है जिसके चर को प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है। जबकि शून्य बहुपद में प्रत्येक पद का गुणांक शून्य होता है। अतः प्रतिस्थापित करने पर भी बहुपद का मान सदैव शून्य होगा। अत: शून्य स्वयं शून्य बहुपद है।