बहुभुज: Difference between revisions

Latest revision as of 07:48, 5 November 2024

बहुभुज एक द्वि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जिसमें पक्षों की एक सीमित संख्या होती है। बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े हुए सीधी रेखा खंडों से बनी होती हैं। इस प्रकार, बहुभुज के रेखाखंडों को भुजाएँ या किनारे कहा जाता है। वह बिंदु जहाँ दो रेखाखंड मिलते हैं उसे शीर्ष या कोने कहा जाता है, इसलिए एक कोण बनता है। बहुभुज का एक उदाहरण तीन भुजाओं वाला त्रिभुज है। वृत्त भी एक समतल आकृति है लेकिन इसे बहुभुज नहीं माना जाता है, क्योंकि यह एक घुमावदार आकृति है और इसमें भुजाएँ या कोण नहीं होते हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि सभी बहुभुज $2D$ आकार हैं लेकिन सभी द्वि-आयामी आकृतियाँ बहुभुज नहीं हैं।

बहुभुज क्या होते हैं?

बहुभुज एक बंद आकृति है जो द्वि-आयामी समतल में रेखाखंडों (वक्रों से नहीं) से बनी होती है। बहुभुज दो शब्दों का संयोजन है, यानी पॉली (जिसका अर्थ है कई) और गोन (जिसका अर्थ है भुजाएँ)।

एक बंद आकृति बनाने के लिए, सिरे से सिरे तक जुड़ने के लिए कम से कम तीन रेखा खंडों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार न्यूनतम तीन भुजाओं वाले बहुभुज को त्रिभुज के रूप में जाना जाता है और इसे 3-भुज भी कहा जाता है। एक $n-$ पक्षीय बहुभुज को $n-$ भुज कहा जाता है।

बहुभुज आकृति

परिभाषा के अनुसार, हम जानते हैं कि बहुभुज रेखाखंडों से बना होता है। नीचे कुछ बहुभुजों की आकृतियाँ दी गई हैं जो विभिन्न संख्या में रेखाखंडों से घिरी हुई हैं।


त्रिभुज	चतुर्भुज	पंचकोण
षटकोण	अष्टकोण

बहुभुज के गुणधर्म

बहुभुजों के गुण उनकी भुजाओं और कोणों पर आधारित होते हैं।

• एक $n-$ भुजा वाले बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग होता है $(n-2)\times 180^{\circ }$ .

• $n-$ भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या = ${\frac {n(n-3)}{2}}$

• किसी बहुभुज के एक कोने से विकर्णों को मिलाने पर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या = $n-2$

• $n-$ भुजा वाले नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप = ${\frac {(n-2)\times 180^{\circ }}{n}}$

• एक $n-$ भुजा वाले नियमित बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप= ${\frac {360^{\circ }}{n}}$

बहुभुज के प्रकार

भुजाओं और कोणों के आधार पर , बहुभुजों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है :

नियमित बहुभुज
अनियमित बहुभुज
उत्तल बहुभुज
अवतल बहुभुज

नियमित बहुभुज

यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण बराबर हों , तो इसे नियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

उदाहरण : वर्ग, समबाहु त्रिभुज आदि ।

वर्ग

अनियमित बहुभुज

यदि किसी बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण अलग-अलग माप के हों, तो उसे अनियमित बहुभुज कहते हैं। इसका मतलब है कि या तो भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की हैं या कोण अलग-अलग हैं, जो कि बहुभुज को अनियमित कहने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, एक विषमबाहु त्रिभुज, एक आयत, एक पतंग, आदि।

आयत( समकोण समानान्तर चतुर्भुज)

उत्तल बहुभुज

यदि किसी बहुभुज के सभी आंतरिक कोण $180^{\circ }$ से कम हैं, तो उसे उत्तल बहुभुज के रूप में जाना जाता है। शीर्ष आकृति के केंद्र से बाहर की ओर इंगित करता है।

पंचकोण

अवतल बहुभुज

यदि किसी बहुभुज के एक या अधिक आंतरिक कोण $180^{\circ }$ से अधिक हैं, तो उसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है। एक अवतल बहुभुज में कम से कम चार भुजाएँ हो सकती हैं। शीर्ष बहुभुज के भीतर की ओर इंगित करता है।

File:Concave polygon.jpg

अवतल बहुभुज

@@ Line 1: / Line 1: @@
-A polygon is a two-dimensional geometric figure that has a finite number of sides. The sides of a polygon are made of straight line segments connected to each other end to end. Thus, the line segments of a polygon are called sides or edges. The point where two line segments meet is called vertex or corners, henceforth an angle is formed. An example of a polygon is a triangle with three sides. A circle is also a plane figure but it is not considered a polygon, because it is a curved shape and does not have sides or angles. Therefore, we can say, all the polygons are 2d shapes but not all the two-dimensional figures are polygons.
+बहुभुज एक द्वि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जिसमें पक्षों की एक सीमित संख्या होती है। बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े हुए सीधी रेखा खंडों से बनी होती हैं। इस प्रकार, बहुभुज के रेखाखंडों को भुजाएँ या किनारे कहा जाता है। वह बिंदु जहाँ दो रेखाखंड मिलते हैं उसे शीर्ष या कोने कहा जाता है, इसलिए एक कोण बनता है। बहुभुज का एक उदाहरण तीन भुजाओं वाला त्रिभुज है। वृत्त भी एक समतल आकृति है लेकिन इसे बहुभुज नहीं माना जाता है, क्योंकि यह एक घुमावदार आकृति है और इसमें भुजाएँ या कोण नहीं होते हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि सभी बहुभुज <math>2D</math> आकार हैं लेकिन सभी द्वि-आयामी आकृतियाँ बहुभुज नहीं हैं।
-== What are Polygons? ==
+== बहुभुज क्या होते हैं? ==
-A Polygon is a closed figure made up of line segments (not curves) in a two-dimensional plane. Polygon is the combination of two words, i.e. poly (means many) and gon (means sides).
+बहुभुज एक बंद आकृति है जो द्वि-आयामी समतल में रेखाखंडों (वक्रों से नहीं) से बनी होती है। बहुभुज दो शब्दों का संयोजन है, यानी पॉली (जिसका अर्थ है कई) और गोन (जिसका अर्थ है भुजाएँ)।
-A minimum of three line segments is required to connect end to end, to make a closed figure. Thus a polygon with a minimum of three sides is known as Triangle and it is also called 3-gon. An <math>n-</math>sided polygon is called <math>n-</math>gon.
+एक बंद आकृति बनाने के लिए, सिरे से सिरे तक जुड़ने के लिए कम से कम तीन रेखा खंडों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार न्यूनतम तीन भुजाओं वाले बहुभुज को त्रिभुज के रूप में जाना जाता है और इसे 3-भुज भी कहा जाता है। एक <math>n-</math>पक्षीय बहुभुज को <math>n-</math>भुज कहा जाता है।
-'''Polygon shape'''
+'''बहुभुज आकृति'''
-By definition, we know that the polygon is made up of line segments. Below are the shapes of some polygons that are enclosed by the different number of line segments.
+परिभाषा के अनुसार, हम जानते हैं कि बहुभुज रेखाखंडों से बना होता है। नीचे कुछ बहुभुजों की आकृतियाँ दी गई हैं जो विभिन्न संख्या में रेखाखंडों से घिरी हुई हैं।
 {| class="wikitable"
 |+
-|[[File:Triangolo-Scaleno.svg|alt=Triangle|none|thumb|100x100px|Triangle]]
+|[[File:Triangolo-Scaleno.svg|alt=Triangle|none|thumb|100x100px|त्रिभुज]]
-|[[File:Parallelogram1.svg|alt=Parallelogram|none|thumb|100x100px|Parallelogram]]
+|[[File:Parallelogram1.svg|alt=Parallelogram|none|thumb|100x100px|[[चतुर्भुज]]]]
-|[[File:Pentagon.svg|alt=Pentagon|none|thumb|100x100px|Pentagon]]
+|[[File:Pentagon.svg|alt=Pentagon|none|thumb|100x100px|पंचकोण]]
 |-
-|[[File:HexagonWhiteBorder.jpg|alt=Hexagon|none|thumb|100x100px|Hexagon]]
+|[[File:HexagonWhiteBorder.jpg|alt=Hexagon|none|thumb|100x100px|षटकोण]]
-|[[File:Regular octagon.svg|none|thumb|100x100px|Octagon|alt=Octagon]]
+|[[File:Regular octagon.svg|none|thumb|100x100px|अष्टकोण|alt=Octagon]]
 |
 |}
-== Properties of a Polygon ==
+== बहुभुज के गुणधर्म ==
-The properties of polygons are based on their sides and angles.
+बहुभुजों के गुण उनकी भुजाओं और कोणों पर आधारित होते हैं।
-• The sum of all the interior angles of an <math>n-</math>sided polygon is <math>(n-2) \times 180 ^\circ</math>.
+• एक <math>n-</math>भुजा वाले बहुभुज के सभी आंतरिक [[कोण|कोणों]] का योग होता है <math>(n-2) \times 180 ^\circ</math>.
-• The number of diagonals in a polygon with <math>n-</math>sides = <math>\frac{n(n-3)}{2}</math>
+• <math>n-</math>भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या = <math>\frac{n(n-3)}{2}</math>
-• The number of triangles formed by joining the diagonals from one corner of a polygon = <math>n-2</math>
+• किसी बहुभुज के एक कोने से विकर्णों को मिलाने पर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या = <math>n-2</math>
-• The measure of each interior angle of <math>n-</math>sided regular polygon = <math>\frac{(n-2) \times 180 ^\circ}{n}</math>
+• <math>n-</math>भुजा वाले नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप = <math>\frac{(n-2) \times 180 ^\circ}{n}</math>
-• The measure of each exterior angle of an <math>n-</math>sided regular polygon = <math>\frac{360 ^\circ}{n}</math>
+• एक <math>n-</math>भुजा वाले नियमित बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप= <math>\frac{360 ^\circ}{n}</math>
-== Types of Polygon ==
+== बहुभुज के प्रकार ==
-Depending on the sides and angles, the polygons are classified into different types, namely:
+भुजाओं और कोणों के आधार पर , बहुभुजों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है :
-# Regular Polygon
-# Irregular Polygon
-# Convex Polygon
-# Concave polygon
-=== Regular Polygon ===
-If all the sides and interior angles of the polygon are equal, then it is known as a regular polygon. Examples are square, equilateral triangle etc.
-[[File:Square 1.svg|alt=Square|none|thumb|100x100px|Square]]
-=== Irregular Polygon ===
-If all the sides and the interior angles of the polygon are of different measure, then it is known as an irregular polygon. This means that either the sides are of different lengths or the angles are different, which is sufficient for a polygon to be said to be irregular. For example, a scalene triangle, a rectangle, a kite, etc.
-[[File:Long Rectangle (plain).png|alt=Rectangle|none|thumb|100x100px|Rectangle]]
-=== Convex Polygon ===
-If all the interior angles of a polygon are strictly less than <math>180 ^\circ</math>, then it is known as a convex polygon. The vertex will point outwards from the centre of the shape.
-[[File:Pentagon.svg|alt=Pentagon|none|thumb|100x100px|Pentagon]]
-=== Concave Polygon ===
-If one or more interior angles of a polygon are more than <math>180 ^\circ</math>, then it is known as a concave polygon. A concave polygon can have at least four sides. The vertex points towards the inside of the polygon.
-[[File:Concave polygon.jpg|alt=Concave Polygon|none|thumb|300x300px|Concave Polygon]]
-[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-बहुभुज दो शब्दों से मिलकर बना है, अर्थात पॉली (जिसका अर्थ है अनेक) और गॉन (जिसका अर्थ है भुजाएँ)।  बहुभुज द्वि-आयामी तल में रेखाखंडों (वक्र नहीं) से बनी एक बंद आकृति है । बहुभुज एक  आकृति है जिसकी भुजाओं की संख्या सीमित होती है '''।''' बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े हुए सीधी रेखा खंडों से बनी होती हैं । इस प्रकार , बहुभुज के रेखाखंडों को भुजाएँ  कहा जाता है। वह बिंदु जहां दो रेखाखंड मिलते  हैं , शीर्ष  कहलाता है । वृत्त भी एक समतल आकृति है लेकिन इसे बहुभुज नहीं माना जाता है , क्योंकि यह एक घुमावदार आकृति है और इसमें कोई भुजा या कोण नहीं है । इसलिए , हम कह सकते हैं , सभी बहुभुज द्वि-आयामी होते हैं लेकिन सभी द्वि-आयामी आकृतियाँ बहुभुज नहीं हैं । एक बंद आकृति बनाने के लिए , सिरे से सिरे तक जुड़ने के लिए कम से कम तीन रेखा खंडों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार न्यूनतम तीन भुजाओं वाला बहुभुज त्रिभुज कहलाता है ।
-उदाहरण : त्रिभुज ,  आयत , पतंग , वर्ग  आदि ।
-== बहुभुज का वर्गीकरण ==
-भुजाओं और कोणों के आधार पर , बहुभुजों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है :
 # नियमित बहुभुज
@@ Line 74: / Line 45: @@
 उदाहरण : वर्ग, समबाहु त्रिभुज आदि ।
+[[File:Square 1.svg|alt=Square|none|thumb|100x100px|वर्ग]]
 === अनियमित बहुभुज ===
-यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण अलग-अलग माप के हों , तो इसे अनियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।
+यदि किसी बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण अलग-अलग माप के हों, तो उसे अनियमित बहुभुज कहते हैं। इसका मतलब है कि या तो भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की हैं या कोण अलग-अलग हैं, जो कि बहुभुज को अनियमित कहने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, एक विषमबाहु त्रिभुज, एक आयत, एक पतंग, आदि।
+[[File:Long Rectangle (plain).png|alt=Rectangle|none|thumb|100x100px|आयत( समकोण समानान्तर चतुर्भुज) ]]
-उदाहरण :विषमबाहु त्रिभुज ,  आयत , पतंग , आदि ।
 === उत्तल बहुभुज ===
-यदि किसी बहुभुज के सभी आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से बिल्कुल कम  हैं , तो इसे उत्तल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।
+यदि किसी बहुभुज के सभी आंतरिक कोण <math>180 ^\circ</math> से कम हैं, तो उसे उत्तल बहुभुज के रूप में जाना जाता है। शीर्ष आकृति के केंद्र से बाहर की ओर  इंगित करता है।
+[[File:Pentagon.svg|alt=Pentagon|none|thumb|100x100px|पंचकोण]]
 === अवतल बहुभुज ===
-यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।
+यदि किसी बहुभुज के एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180 ^\circ</math> से अधिक हैं, तो उसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है। एक अवतल बहुभुज में कम से कम चार भुजाएँ हो सकती हैं। शीर्ष बहुभुज के भीतर की ओर इंगित करता है।
+[[File:Concave polygon.jpg|alt=Concave Polygon|none|thumb|300x300px|अवतल बहुभुज]]
-== बहुभुज के गुण ==
+[[Category:त्रिभुज]]
-बहुभुज के गुण निम्नलिखित है :
+[[Category:गणित]]
+[[Category:कक्षा-10]]