पूर्ण संख्याएँ: Difference between revisions

Latest revision as of 08:20, 5 November 2024

पूर्ण संख्याएँ क्या हैं?

शून्य ( $0$ ) सहित प्राकृतिक संख्याओं को पूर्ण संख्याएँ कहा जाता है। हमे ज्ञात है कि प्राकृतिक संख्याएँ $1,2,3,4$ इत्यादि से प्रारंभ होने वाली गिनती संख्याओं के एक समूह को संदर्भित करती हैं। सरल शब्दों में, पूर्ण संख्याएँ भिन्नों, दशमलवों या यहाँ तक कि ऋणात्मक पूर्णांकों के बिना संख्याओं का एक समूह होती हैं। यह धनात्मक पूर्णांकों और शून्य का एक संग्रह है। या हम कह सकते हैं कि पूर्ण संख्याएँ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक समूह हैं। प्राकृतिक और पूर्ण संख्याओं के बीच प्राथमिक अंतर पूर्ण संख्या समुच्चय में शून्य की उपस्थिति है।

परिभाषा

पूर्ण संख्याएँ वे धनात्मक संख्याएँ हैं जो $0$ से प्रारंभ होकर अनंत तक जाती हैं। उदाहरण के लिए, $0,1,2,3,4,....$ , इत्यादि।

पूर्ण संख्याओं का समुच्चय

पूर्ण संख्याओं के समुच्चय में संख्या $0$ के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय भी उपस्थिति होता है। गणित में पूर्ण संख्याओं का समुच्चय $\{0,1,2,3,4,....\}$ दिया जाता है, जिसे प्रतीक W से दर्शाया जाता है।

$W=\{0,1,2,3,4,....\}$

पूर्ण संख्याओं के बारे में कुछ तथ्य इस प्रकार हैं:

सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
सभी गिनती वाली संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
शून्य सहित सभी धनात्मक पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
सभी पूर्ण संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।
प्रत्येक पूर्ण संख्या एक परिमेय संख्या होती है।

लघुतम पूर्ण संख्या

$0$ सबसे छोटी पूर्ण संख्या है क्योंकि पूर्ण संख्याएँ $0$ से प्रारंभ होती हैं (पूर्ण संख्याओं की परिभाषा के अनुसार)। शून्य एक संख्या है जो संख्या रेखा पर धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच स्थित होती है। हालाँकि शून्य का कोई मान नहीं होता है, लेकिन इसका उपयोग परोक्षी(प्लेसहोल्डर) के रूप में किया जाता है। अतः, शून्य न तो एक धनात्मक संख्या है और न ही एक ऋणात्मक संख्या है।

पूर्ण संख्याओं की सूची

पूर्ण संख्याओं की सूची $0,1,2,3,4$ से प्रारंभ होकर अनंत तक चलती है।

प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ

उपरोक्त परिभाषाओं से हम समझ सकते हैं कि $0$ के अतिरिक्त प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है। साथ ही, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। अतः, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय पूर्ण संख्याओं के समुच्चय या पूर्ण संख्याओं के उपसमुच्चय का एक भाग है।

पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के बीच अंतर

पूर्ण संख्याएँ	प्राकृतिक संख्याएँ
पूर्ण संख्याओं का समुच्चय $W=\{0,1,2,3,4,....\}$ है	प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $N=\{1,2,3,4,....\}$ है
सबसे छोटी पूर्ण संख्या $0$ होती है.	सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या $1$ है
प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।	0 को छोड़कर प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है।

संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय और पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को नीचे दिए अनुसार संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। सभी धनात्मक पूर्णांक या $0$ के दाईं ओर के पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं को दर्शाते हैं, जबकि शून्य के साथ सभी धनात्मक पूर्णांक मिलकर पूर्ण संख्याओं को दर्शाते हैं। संख्याओं के दोनों समुच्चयों को संख्या रेखा पर निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:

File:Number Line.jpg

चित्र .1 संख्या रेखा

पूर्ण संख्याओं के गुण

पूर्ण संख्याओं पर मूल संक्रियाएँ: जोड़, घटाव, गुणा और भाग, पूर्ण संख्याओं के चार मुख्य गुणों की ओर ले जाती हैं जो नीचे सूचीबद्ध हैं:

समापन गुणधर्म
साहचर्य गुणधर्म
क्रमचयी गुणधर्म
वितरणात्मक गुणधर्म

समापन गुणधर्म

दो पूर्ण संख्याओं का योग और गुणनफल सदैव एक पूर्ण संख्या होता है। उदाहरण के लिए, $7+3=10$ (पूर्ण संख्या) , $7\times 2=14$ (पूर्ण संख्या)।

साहचर्य गुणधर्म

किसी भी तीन पूर्ण संख्याओं का योग या गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए। उदाहरण के लिए, जब हम निम्नलिखित संख्याओं को जोड़ते हैं तो हमें समान योग प्राप्त होता है: $10+(7+12)=(10+7)+12=29$ . इसी तरह, जब हम निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करते हैं तो हमें वही गुणनफल मिलता है, चाहे संख्याओं को किसी भी तरह से समूहीकृत किया गया हो: $3\times (2\times 4)=(3\times 2)\times 4=24$ .

क्रमचयी गुणधर्म

दो पूर्ण संख्याओं का योग और गुणनफल संख्याओं के क्रम को बदलने के बाद भी समान रहता है। यह गुण बताता है कि योग के क्रम में बदलाव से योग का मान नहीं बदलता है। मान लीजिए ' $a$ ' और ' $b$ ' दो पूर्ण संख्याएँ हैं। क्रमविनिमेय गुण के अनुसार $a+b=b+a$ । उदाहरण के लिए, $a=10$ और $b=19$ ⇒ $10+19=19+10=29$ यह गुण गुणा के लिए भी सही है, लेकिन घटाव और विभाजन के लिए नहीं। उदाहरण के लिए: $7\times 9=9\times 7=63$ ।

योगात्मक तत्समक

जब $0$ में एक पूर्ण संख्या जोड़ी जाती है, तो उसका मान अपरिवर्तित रहता है, अर्थात यदि $a$ एक पूर्ण संख्या है तो $a+0=0+a=a$ । उदाहरण के लिए, $3+0=0+3=3$ ।

गुणात्मक तत्समक

जब किसी पूर्ण संख्या को $1$ से गुणा किया जाता है तो उसका मान अपरिवर्तित रहता है, अर्थात यदि $a$ एक पूर्ण संख्या है तो $a\times 1=1\times a=a$ । उदाहरण के लिए $4\times 1=1\times 4=4$ ।

वितरणात्मक गुणधर्म

यह गुण बताता है कि किसी पूर्ण संख्या का गुणन, पूर्ण संख्याओं के योग या अंतर पर वितरित होता है। इसका अर्थ यह है कि जब दो संख्याओं, उदाहरण के लिए, $a$ और $b$ को एक ही संख्या $c$ से गुणा किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है, तो समान उत्तर प्राप्त करने के लिए $a$ और $b$ के योग को $c$ से गुणा किया जा सकता है। इस गुण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: $a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$ . मान लीजिए $a=10$ , $b=20$ और $c=7$ ⇒ $10\times (20+7)=(10\times 20)+(10\times 7)=270$ . The same property is true for subtraction as well. उदाहरण के लिए, हमारे पास है $a\times (b-c)=(a\times b)-(a\times c)$ . मान लीजिए $a=10$ , $b=20$ और $c=7$ ⇒ $10\times (20-7)=(10\times 20)-(10\times 7)=130$ ।

शून्य से गुणन

जब किसी पूर्ण संख्या को $0$ से गुणा किया जाता है, तो परिणाम प्रायः होता है $0$ , अर्थात, $a\times 0=0\times a=0$ । उदाहरण के लिए, $4\times 0=0\times 4=0$

शून्य से विभाजन

किसी पूर्ण संख्या का $0$ से विभाजन परिभाषित नहीं किया गया है, अर्थात यदि $a$ एक पूर्णांक है तो ${\frac {a}{0}}$ परिभाषित नहीं है।

पूर्ण संख्याओं से संबंधित महत्वपूर्ण उल्लेख

$0$ एक पूर्ण संख्या है और प्राकृतिक संख्या नहीं है।
प्रथम पाँच पूर्ण संख्याएँ $0,1,2,3,4$ हैं।
सबसे छोटी पूर्ण संख्या $0$ है।
पूर्ण संख्याओं में ऋणात्मक संख्याएँ, भिन्न और दशमलव शामिल नहीं हैं।

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 == पूर्ण संख्याएँ क्या हैं? ==
-शून्य (<math>0</math>) सहित प्राकृतिक संख्याओं को '''पूर्ण संख्याएँ''' कहा जाता है। हमे ज्ञात है कि प्राकृतिक संख्याएँ <math>1,2,3,4</math> इत्यादि से प्रारंभ होने वाली गिनती संख्याओं के एक समूह को संदर्भित करती हैं। सरल शब्दों में, पूर्ण संख्याएँ भिन्नों, दशमलवों या यहाँ तक कि ऋणात्मक पूर्णांकों के बिना संख्याओं का एक समूह होती हैं। यह धनात्मक पूर्णांकों और शून्य का एक संग्रह है। या हम कह सकते हैं कि पूर्ण संख्याएँ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक समूह हैं। प्राकृतिक और पूर्ण संख्याओं के बीच प्राथमिक अंतर पूर्ण संख्या समुच्चय में शून्य की उपस्थिति है।
+शून्य (<math>0</math>) सहित प्राकृतिक संख्याओं को '''पूर्ण संख्याएँ''' कहा जाता है। हमे ज्ञात है कि [[प्राकृतिक संख्याएँ]] <math>1,2,3,4</math> इत्यादि से प्रारंभ होने वाली गिनती संख्याओं के एक समूह को संदर्भित करती हैं। सरल शब्दों में, पूर्ण संख्याएँ भिन्नों, दशमलवों या यहाँ तक कि ऋणात्मक पूर्णांकों के बिना संख्याओं का एक समूह होती हैं। यह धनात्मक पूर्णांकों और शून्य का एक संग्रह है। या हम कह सकते हैं कि पूर्ण संख्याएँ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक समूह हैं। प्राकृतिक और पूर्ण संख्याओं के बीच प्राथमिक अंतर पूर्ण संख्या समुच्चय में शून्य की उपस्थिति है।
 == परिभाषा ==
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 * शून्य सहित सभी धनात्मक पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
 * सभी पूर्ण संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।
-* प्रत्येक पूर्ण संख्या एक परिमेय संख्या होती है।
+* प्रत्येक पूर्ण संख्या एक [[परिमेय संख्याएँ|परिमेय]] संख्या होती है।
 === लघुतम पूर्ण संख्या ===
-<math>0</math> is the smallest whole number because whole numbers start from <math>0</math> (from the definition of whole numbers). Zero is a number that lies between the positive and negative numbers on a number line. Although zero carries no value, it is used as a placeholder. So, zero is neither a positive number nor a negative number.
+<math>0</math> सबसे छोटी पूर्ण संख्या है क्योंकि पूर्ण संख्याएँ <math>0</math> से प्रारंभ होती हैं (पूर्ण संख्याओं की परिभाषा के अनुसार)। शून्य एक संख्या है जो संख्या रेखा पर धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच स्थित होती है। हालाँकि शून्य का कोई मान नहीं होता है, लेकिन इसका उपयोग  परोक्षी(प्लेसहोल्डर) के रूप में किया जाता है। अतः, शून्य न तो एक धनात्मक संख्या है और न ही एक ऋणात्मक संख्या है।
 === पूर्ण संख्याओं की सूची ===
-The list of whole numbers starts from <math>0,1,2,3,4</math> and goes on till infinity.
+पूर्ण संख्याओं की सूची <math>0,1,2,3,4</math> से प्रारंभ होकर अनंत तक चलती है।
 == प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ ==
-From the above definitions, we can understand that every whole number other than <math>0</math> is a natural number. Also, every natural number is a whole number. So, the set of natural numbers is a part of the set of whole numbers or a subset of whole numbers.
+उपरोक्त परिभाषाओं से हम समझ सकते हैं कि <math>0</math> के अतिरिक्त प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है। साथ ही, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक पूर्ण संख्या होती है। अतः, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय पूर्ण संख्याओं के समुच्चय या पूर्ण संख्याओं के उपसमुच्चय का एक भाग है।
 === पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के बीच अंतर ===
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 == संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याएँ ==
-The set of natural numbers and the set of whole numbers can be shown on the number line as given below. All the positive integers or the integers on the right-hand side of <math>0</math>represent the natural numbers, whereas all the positive integers along with zero, altogether represent the whole numbers. Both sets of numbers can be represented on the number line as follows:
+प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय और पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को नीचे दिए अनुसार संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। सभी धनात्मक पूर्णांक या <math>0</math> के दाईं ओर के पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं को दर्शाते हैं, जबकि शून्य के साथ सभी धनात्मक पूर्णांक मिलकर पूर्ण संख्याओं को दर्शाते हैं। संख्याओं के दोनों समुच्चयों को संख्या रेखा पर निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:
 [[File:Number Line.jpg|alt=Fig.1 Number Line|none|thumb|चित्र .1 संख्या रेखा]]
 == पूर्ण संख्याओं के गुण ==
-The basic operations on whole numbers: addition, subtraction, multiplication, and division, lead to four main properties of whole numbers that are listed below:
+पूर्ण संख्याओं पर मूल संक्रियाएँ: जोड़, घटाव, गुणा और भाग, पूर्ण संख्याओं के चार मुख्य गुणों की ओर ले जाती हैं जो नीचे सूचीबद्ध हैं:
 * समापन गुणधर्म
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 '''समापन गुणधर्म'''
-The sum and product of two whole numbers is always a whole number. For example, <math>7+3=10</math> (whole number), <math>7 \times 2 =14</math> (whole number).
+दो पूर्ण संख्याओं का योग और गुणनफल सदैव एक पूर्ण संख्या होता है। उदाहरण के लिए, <math>7+3=10</math>(पूर्ण संख्या) , <math>7 \times 2 =14</math>(पूर्ण संख्या)।
 '''साहचर्य गुणधर्म'''
-The sum or product of any three whole numbers remains the same even if the grouping of numbers is changed. For example, when we add the following numbers we get the same sum: <math>10+(7+12)=(10+7)+12=29</math>. Similarly, when we multiply the following numbers we get the same product no matter how the numbers are grouped: <math>3 \times (2 \times 4)=(3 \times 2) \times 4=24</math>.
+किसी भी तीन पूर्ण संख्याओं का योग या गुणनफल वही रहता है, भले ही संख्याओं का समूह बदल दिया जाए। उदाहरण के लिए, जब हम निम्नलिखित संख्याओं को जोड़ते हैं तो हमें समान योग प्राप्त होता है: <math>10+(7+12)=(10+7)+12=29</math>. इसी तरह, जब हम निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करते हैं तो हमें वही गुणनफल मिलता है, चाहे संख्याओं को किसी भी तरह से समूहीकृत किया गया हो:<math>3 \times (2 \times 4)=(3 \times 2) \times 4=24</math>.
 '''क्रमचयी गुणधर्म'''
-The sum and the product of two whole numbers remain the same even after interchanging the order of the numbers. This property states that a change in the order of addition does not change the value of the sum. Let '<math>a</math>' and '<math>b</math>' be two whole numbers. According to the commutative property <math>a+b=b+a</math>. For example, <math>a=10</math> and <math>b=19</math> ⇒ <math>10+19=19+10=29</math>. This property also holds true for multiplication, but not for subtraction and division. For example: <math>7 \times 9 = 9 \times 7 =63</math>.
+दो पूर्ण संख्याओं का योग और गुणनफल संख्याओं के क्रम को बदलने के बाद भी समान रहता है। यह गुण बताता है कि योग के क्रम में बदलाव से योग का मान नहीं बदलता है। मान लीजिए '<math>a</math>' और '<math>b</math>' दो पूर्ण संख्याएँ हैं। क्रमविनिमेय गुण के अनुसार <math>a+b=b+a</math>।  उदाहरण के लिए, <math>a=10</math> और <math>b=19</math> ⇒ <math>10+19=19+10=29</math> यह गुण गुणा के लिए भी सही है, लेकिन घटाव और विभाजन के लिए नहीं। उदाहरण के लिए: <math>7 \times 9 = 9 \times 7 =63</math>।
 '''योगात्मक तत्समक'''
-When a whole number is added to <math>0</math>, its value remains unchanged, i.e., if <math>a</math> is a whole number then <math>a+0=0+a=a</math>. For example, <math>3+0=0+3=3</math>.
+जब <math>0</math> में एक पूर्ण संख्या जोड़ी जाती है, तो उसका मान अपरिवर्तित रहता है, अर्थात यदि <math>a</math> एक पूर्ण संख्या है तो <math>a+0=0+a=a</math>।  उदाहरण के लिए, <math>3+0=0+3=3</math>।
 '''गुणात्मक तत्समक'''
-When a whole number is multiplied by <math>1</math>, its value remains unchanged, i.e., if <math>a</math> is a whole number then <math>a \times 1 = 1 \times a = a</math>. For example. <math>4 \times 1 = 1 \times 4 = 4</math>.
+जब किसी पूर्ण संख्या को <math>1</math> से गुणा किया जाता है तो उसका मान अपरिवर्तित रहता है, अर्थात यदि <math>a</math> एक पूर्ण संख्या है तो <math>a \times 1 = 1 \times a = a</math>। उदाहरण के लिए <math>4 \times 1 = 1 \times 4 = 4</math>।
 '''वितरणात्मक गुणधर्म'''
-This property states that the multiplication of a whole number is distributed over the sum or difference of the whole numbers. It means that when two numbers, for example, <math>a</math> and <math>b</math> are multiplied with the same number <math>c</math>, and are then added, then the sum of <math>a</math> and <math>b</math> can be multiplied by <math>c</math> to get the same answer. This property can be represented as: <math>a \times (b+c)= (a \times b) + (a \times c)</math>. Let <math>a=10</math>, <math>b=20</math> and <math>c=7</math> ⇒ <math>10 \times (20+7)= (10 \times 20) + (10 \times 7)=270</math>. The same property is true for subtraction as well. For example, we have <math>a \times (b-c)= (a \times b) - (a \times c)</math>. Let <math>a=10</math>, <math>b=20</math> and <math>c=7</math> ⇒ <math>10 \times (20-7)= (10 \times 20) - (10 \times 7)=130</math>.
+यह गुण बताता है कि किसी पूर्ण संख्या का गुणन, पूर्ण संख्याओं के योग या अंतर पर वितरित होता है। इसका अर्थ यह है कि जब दो संख्याओं, उदाहरण के लिए, <math>a</math> और <math>b</math> को एक ही संख्या <math>c</math> से गुणा किया जाता है, और फिर जोड़ा जाता है, तो समान उत्तर प्राप्त करने के लिए <math>a</math> और <math>b</math> के योग को <math>c</math> से गुणा किया जा सकता है। इस गुण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: <math>a \times (b+c)= (a \times b) + (a \times c)</math>. मान लीजिए <math>a=10</math>, <math>b=20</math> और  <math>c=7</math> ⇒ <math>10 \times (20+7)= (10 \times 20) + (10 \times 7)=270</math>. The same property is true for subtraction as well. उदाहरण के लिए, हमारे पास है  <math>a \times (b-c)= (a \times b) - (a \times c)</math>. मान लीजिए <math>a=10</math>, <math>b=20</math> और  <math>c=7</math> ⇒ <math>10 \times (20-7)= (10 \times 20) - (10 \times 7)=130</math>।
 '''शून्य से गुणन'''
-When a whole number is multiplied by <math>0</math>, the result is always <math>0</math>, i.e., <math>a \times 0 = 0 \times a = 0</math>. For example, <math>4 \times 0 = 0 \times 4 = 0</math>
+जब किसी पूर्ण संख्या को <math>0</math> से गुणा किया जाता है, तो परिणाम प्रायः होता है <math>0</math>, अर्थात, <math>a \times 0 = 0 \times a = 0</math>।  उदाहरण के लिए,<math>4 \times 0 = 0 \times 4 = 0</math>
 '''शून्य से विभाजन'''
-The division of a whole number by <math>0</math> is not defined, i.e., if <math>a</math> is a whole number then <math>\frac{a}{0}</math> is not defined.
+किसी पूर्ण संख्या का <math>0</math> से विभाजन परिभाषित नहीं किया गया है, अर्थात यदि <math>a</math> एक पूर्णांक है तो <math>\frac{a}{0}</math> परिभाषित नहीं है।
 '''पूर्ण संख्याओं से संबंधित महत्वपूर्ण उल्लेख'''
-* <math>0</math> is a whole number and not a natural number.
+* <math>0</math> एक पूर्ण संख्या है और प्राकृतिक संख्या नहीं है।
-* The first five whole numbers are <math>0,1,2,3,4</math>
+* प्रथम पाँच पूर्ण संख्याएँ <math>0,1,2,3,4</math> हैं।
-* The smallest whole number is <math>0</math>.
+* सबसे छोटी पूर्ण संख्या <math>0</math> है।
-* Whole numbers do not include negative numbers, fractions, and decimals.
+* पूर्ण संख्याओं में ऋणात्मक संख्याएँ, भिन्न और दशमलव शामिल नहीं हैं।
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 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-9]]