समुच्चय का पूरक

किसी समुच्चय का पूरक सार्वभौमिक समुच्चय के उन सभी तत्वों का समुच्चय है जो दिए गए समुच्चय में नहीं हैं:

कल्पना कीजिए कि अभाज्य संख्याओं का सार्वत्रिक समुच्चय $U$ है तथा $A$, $U$ का वह उपसमुच्चय है, जिसमें वे सभी अभाज्य संख्याएँ हैं जो $42$ की भाजक नहीं हैं। इस प्रकार $A=\{x:x\in U$ और $x$ संख्या $42$ का भाजक नहीं है $\}$। हम देखते हैं कि $2\in U$ किंतु $2\not \in A$, क्योंकि संख्या $2$, $42$ का भाजक है। इसी प्रकार $3\in U$ परंतु $3\not \in A$ तथा $7\in U$ किंतु $7\not \in A$ अब केवल $2$, $3$ और $7$ ही $U$ के ऐसे अवयव हैं जो $A$ में नहीं हैं। इन तीन अभाज्य संख्याओं का समुच्चय अर्थात् समुच्चय {2, 3, 7}$\{2,3,7\}$, $U$ के सापेक्ष $A$ का पूरक समुच्चय कहलाता है और इसे प्रतीक $A'$' से निरूपित किया जाता है । अत: $A'=\{2,3,7\}$ इस प्रकार हम देखते हैं कि $A=\{x:x\in U$ और $x\not \in A\}$ है।

इससे निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है:

परिभाषा

मान लीजिए कि $U$ एक सार्वत्रिक समुच्चय है और $A$, $U$ का एक उपसमुच्चय है, तो $A$ का पूरक समुच्चय $U$ के उन अवयवों का समुच्चय है, जो $A$ के अवयव नहीं हैं। प्रतीकात्मक रूप में हम $U$ के सापेक्ष $A$ के पूरक को प्रतीक $A'$ से निरूपित करते हैं। अत: $A'=\{x:x\in U$ और $x\not \in A\}$ हम लिख सकते हैं। $A=U-A$।

ध्यान दीजिए कि $A$ के पूरक समुच्चय को विकल्पतः सार्वत्रिक समुच्चय तथा समुच्चय $A$ के अंतर के रूप में देखा जा सकता है।

विवरण

इन परिणामों को शब्दों में प्रकार व्यक्त करते हैं:

"दो समुच्चयों के सम्मिलन का पूरक उनके पूरक समुच्चयों का सार्वनिष्ठ होता है तथा दोनों समुच्चयों के सार्वनिष्ठ का पूरक उनके पूरक समुच्चयों का सम्मिलन होता है। इनको डी मॉर्गन के ' नियम कहते हैं।

चित्र

यह नाम गणितज्ञ डी मॉर्गन के नाम पर रखा गया है। किसी समुच्चय $A$ के पूरक $A'$ को वेन आरेख द्वारा निरूपित किया जा सकता है जैसा कि चित्र में प्रदर्शित है। छायांकित भाग समुच्चय $A$ के पूरक $A'$ को दर्शाता है।

पूरकों के कुछ गुणधर्म

1. पूरक नियम :

(i) $A\cup A'=U$ (ii)$A\cap A'=\phi$

2. डी मॉर्गन का नियम :

(i) ${\bigl (}A\cup B{\bigr )}'=A'\cap B'$ (ii) ${\bigl (}A\cap B{\bigr )}'=A'\cup B'$

3. द्वि- पूरक नियम :

$(A')'=A$

4. $\phi$ और $U$ के नियम :

$\phi '=U$ और $U'=\phi$।

इन नियमों का सत्यापन वेन आरेखों द्वारा किया जा सकता है।