समुच्चयों का अंतर: Difference between revisions

Revision as of 12:34, 7 November 2024

समुच्चयों का अंतर

समुच्चयों $A$ और $B$ का अंतर उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं किंतु $B$ में नहीं हैं, जब कि $A$ और $B$ को इसी क्रम में लिया जाए। प्रतीतात्मक रूप में इसे $A-B$ लिखते हैं और “ $A$ अंतर $B$ ” पढ़ते हैं।

उदाहरण 1: मान लेते हैं कि $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ , $B=\{2,4,6,8\}$ $A-B$ और $B-A$ ज्ञात कीजिए ।

हल हम प्राप्त करते हैं कि, $A-B=\{1,3,5\}$ , क्योंकि अवयव $1,3,5$ समुच्चय $A$ में हैं किंतु $B$ में नहीं हैं तथा $B-A=\{8\}$ , क्योंकि अवयव $8$ , $B$ में है किंतु $A$ में नहीं है। हम देखते हैं कि $A-B\neq B-A$

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $V=\{a,e,i,o,u\}$ तो $B=\{a,i,k,u\}$ , तो $V-B$ और $B-V$ ज्ञात कीजिए।

हल यहाँ, $V-B=\{e,o\}$ , क्योंकि अवयव $e,o$ समुच्चय $V$ में हैं किंतु $B$ में नहीं है तथा - $B-V=\{k\}$ , क्योंकि अवयव $k$ समुच्चय $B$ में है परंतु $V$ में नहीं है।

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चित्र-1 समुच्चयों का अंतर

हम यह अवश्य ध्यान देते हैं कि $V-B\neq B-V$ समुच्चय निर्माण संकेतन का प्रयोग करते हुए हम समुच्चयों के अंतर की परिभाषा को पुनः इस प्रकार लिख सकते हैं:

$A-B=\{x:x\in A$ और $x\not \in B\}$

दो समुच्चयों $A$ और $B$ के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसा कि चित्र-1 में प्रदर्शित है। छायांकित भाग दो समुच्चय $A$ और $B$ के अंतर को दर्शाता है।

टिप्पणी

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चित्र-2 समुच्चयों का अंतर

समुच्चय $A-B,A\cap B$ और $B-A$ परस्पर असंयुक्त होते हैं अर्थात् इनमें से किसी दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ समुच्चय एक रिक्त समुच्चय होता है जैसा कि चित्र-2 में प्रदर्शित है।

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 '''उदाहरण 2:'''  मान लीजिए कि <math>V = \{a,e,i,o,u\}</math> तो <math>B = \{a, i, k, u\}</math>, तो <math>V-B</math> और <math>B-V</math> ज्ञात कीजिए।
-हल यहाँ, V - B = {९०), क्योंकि अवयव ९, ० समुच्चय V में हैं किंतु <math>B</math>  में नहीं है तथा B - - V = { k}, , क्योंकि अवयव k समुच्चय <math>B</math> में है परंतु V में नहीं है।
+'''हल''' यहाँ,  <math>V-B=\{e,o\}</math> , क्योंकि अवयव <math>e,o</math> समुच्चय <math>V</math> में हैं किंतु <math>B</math>  में नहीं है तथा - <math>B-V=\{k\}</math>,  क्योंकि अवयव <math>k</math> समुच्चय <math>B</math> में है परंतु <math>V</math> में नहीं है।
+[[File:समुच्चयों का अंतर-1.jpg|thumb|चित्र-1  समुच्चयों का अंतर ]]
+हम यह अवश्य ध्यान देते हैं कि <math>V-B\neq B-V</math> समुच्चय निर्माण संकेतन का प्रयोग करते हुए हम समुच्चयों के अंतर की परिभाषा को पुनः इस प्रकार लिख सकते हैं:
-हम नोट करते हैं कि V- B ≠ BV समुच्चय निर्माण संकेतन का प्रयोग करते हुए हम समुच्चयों के अंतर की परिभाषा को पुनः इस प्रकार लिख सकते हैं:
+<math>A-B=\{x:x\in A </math> और <math>x\not\in B\}</math>
-A - B = { x x ∈ A और xe B }
+दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसा कि चित्र-1 में प्रदर्शित है। छायांकित भाग दो समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> के अंतर को दर्शाता है।
-दो समुच्चयों <math>A</math> और <math>B</math> के अंतर को वेन आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसा कि आकृति 1.8 में प्रदर्शित है। छायांकित भाग दो समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> के अंतर को
+== टिप्पणी ==
+[[File:समुच्चयों का अंतर-2.jpg|thumb|चित्र-2 समुच्चयों का अंतर]]
-दर्शाता है।
+समुच्चय <math>A-B, A\cap B</math> और <math>B-A</math> परस्पर असंयुक्त होते हैं अर्थात् इनमें से किसी दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ समुच्चय एक रिक्त समुच्चय होता है जैसा कि चित्र-2 में प्रदर्शित है।
-टिप्पणी समुच्चय A – B, AO B और
--
-B
--
-A परस्पर
-असंयुक्त होते हैं अर्थात् इनमें से किसी दो समुच्चयों का सर्वनिष्ठ समुच्चय एक रिक्त समुच्चय होता है जैसा कि आकृति 1.9 में प्रदर्शित है।
-U
-A-B
-B
-आकृति 1.8
-B-A
-(AB)
-आकृति 1.9