फलन

परिचय

इस अनुच्छेद में, हम एक विशेष प्रकार के संबंध का अध्ययन करेंगे, जिसे फलन कहते हैं। हम फलन को एक नियम के रूप में देख सकते हैं, जिससे कुछ दिए हुए अवयवों से नए अवयव उत्पन्न होते हैं। फलन को सूचित करने के लिए अनेक पद प्रयुक्त किए जाते हैं, जैसे 'प्रतिचित्र' अथवा 'प्रतिचित्रण'

परिभाषा-1

एक समुच्चय $A$ से समुच्चय $B$ का संबंध, एक फलन कहलाता है, यदि समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव का समुच्चय $B$ में एक और केवल एक प्रतिबिंब होता है।

दूसरे शब्दों में, फलन $f$, किसी अरिक्त समुच्चय $A$ से एक अरिक्त समुच्चय $B$ का है , इस प्रकार का संबंध कि $f$ का प्रांत $A$ है तथा $f$ के किसी भी दो भिन्न क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समान नहीं हैं।

यदि $f$, $A$ से $B$ का एक फलन है तथा $(a,b)\in f$, तो $f(a)=b$, जहाँ $b$ को $f$ के अंतर्गत $a$ का प्रतििबम्ब तथा a को $b$ का 'पूर्व प्रतिबिंब' कहते हैं।

$A$ से $B$ के फलन $f$ को प्रतीकात्मक रूप में $f:A\rightarrow B$ से निरूपित करते हैं।

नीचे दिए उदाहरणों में बहुत से संबंधों पर विचार करेंगे, जिनमें से कुछ फलन हैं और दूसरे फलन नहीं हैं।

उदाहरण 1: मान लेते हैं कि $N$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है और $N$ पर परिभाषित एक संबंध $R$ इस प्रकार है कि $R=\{(x,y):y=2x,x,y\in N\}$।

$R$ के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर क्या हैं? क्या यह संबंध, एक फलन है हम यह ज्ञात करने का प्रयास करेंगे।

हल $R$ का प्रांत, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय $N$ है । इसका सहप्रांत भी $N$ है। इसका परिसर सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।

क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या ”$n$" का एक और केवल एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।

परिभाषा-2

एक ऐसे फलन को जिसका परिसर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय या उसका कोई उपसमुच्चय हो, वास्तविक मान फलन कहते हैं। यदि वास्तविक चर वाले किसी वास्तविक मान फलन का प्रांत भी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अथवा उसका कोई उपसमुच्चय हो तो इसे वास्तविक फलन भी कहते हैं।

उदाहरण 2: मान लीजिए कि $N$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $f:N\rightarrow N$, $f(x)=2x+2$, द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन है। इस परिभाषा का प्रयोग करके, नीचे दी गई सारणी को पूर्ण करने के बाद परिणाम स्वरूप निम्न प्रस्तुत सारणी में देखते हैं।

हल पूर्ण की हुई सारणी नीचे दी गई है:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	6	7
$y$	$f(1)=4$	$f(1)=6$	$f(3)=8$	$f(4)=10$	$f(5)=12$	$f(6)=14$	$f(7)=16$

फलन और कुछ आलेख

चित्र-1 f(x)=x

(i) तत्समक फलन: मान लीजिए $R$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। $y=f(x)$, प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर $f$ के प्रांत तथा परिसर $R$ हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।

चित्र-2 f(x)=3

(ii) अचर फलन: $y=f(x)=c$ जहाँ $c$ एक अचर है और प्रत्येक $x\in R$ द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन $f:R\rightarrow R$ है। यहाँ पर $f$ का प्रांत $R$ है और उसका परिसर $\{c\}$ है। $f$ का आलेख $x$- अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि $f(x)=3$ प्रत्येक $x\in R$ है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।

(iii) बहुपद फलन या बहुपदीय फलन: फलन $f:R\rightarrow R$, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि $R$ के प्रत्येक $x$ के लिए, $y=f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....+a_{n}x^{n}$, जहाँ ”$n$" एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा $a_{0},a_{1},a_{2},.....a_{n}\in R$ ।

$f(x)=x^{3}-x^{2}+2$, और $g(x)=x^{4}+{\sqrt {2}}x$, द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि $h(x)=x^{\frac {2}{3}}+2x$ द्वारा परिभाषित फलन $h$, बहुपदीय फलन नहीं है।

(iv) परिमेय फलन: ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ के प्रकार के फलन जहाँ $f(x)$ तथा $g(x)$

एक प्रांत में, $x$ के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें $g(x)\neq 0$ परिमेय फलन कहलाते हैं।

उदाहरण एक वास्तविक मान फलन $f:R-\{0\}\rightarrow R$ की परिभाषा $f(x)={\frac {1}{x}}$, $x\in R-\{0\}$ द्वारा कीजिए। इस परिभाषा का प्रयोग करके निम्नलिखित तालिका को पूर्ण करेंगे। इस फलन का प्रांत तथा परिसर क्या हैं,इसका भी ज्ञात करेंगे।

चित्र-3 f(x)=1/x

हल पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:

$x$	$-2$	$-1.5$	$-1$	$-0.5$	$0.25$	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
$y={\frac {1}{x}}$	$-0.5$	$-0.67$	$-1$	$-2$	$4$	$2$	$1$	$0.67$	$0.5$

इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। $f$ का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।

(v) मापांक फलन (Modulus functions) f (x) = bxl प्रत्येक X ER द्वारा परिभाषित फलन fRR, मापांक फलन कहलाता है। x के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए f(x), x के बराबर होता है। परंतु x के ऋण मानों के लिए, f(x) का मान x के मान के ऋण के बराबर होता है,

[xx 20 f(x)=- -x, x < 0

अर्थात्

मापांक फलन का आलेख आकृति 2.13 में दिया है । मापांक फलन को निरपेक्ष मान फलन भी कहते हैं।

(vi)

चिह्न फलन (Signum functions) प्रत्येक xER, के लिए

1, यदि x > 0

f (x) = 0, यदि x = 0

- 1, यदि x<0

द्वारा परिभाषित फलन f: RR चिह्न फलन कहलाता है। चिह्न फलन का प्रांत R है। परिसर समुच्चय (-1, 0, 1] है। आकृति 2.14 में चिह्न फलन का आलेख दर्शाया गया है। (vii) महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest integer functions) f(x) = [x], xER द्वारा परिभाषित फलन

x'←

J=-1←

f(x) = | यदि x

x

आकृ

f R→ R, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन महत्तम पूर्णांक फलन कहलाता है।

[x], की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि

[x] = 1 यदि - 1 [x] =

0 यदि 05 x<1

[x] =

1 यदि 1 ≤ x<2

[x] =

2 यदि 2≤ x < 3 इत्यदि

इस फलन का आलेख आकृति 2.15 में दर्शाया गया है।