क्रमचय

क्रमचय वस्तुओं को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके हैं। इसे पहले से ही व्यवस्थित समुच्चय के रैखिक क्रम में वस्तुओं के पुनर्व्यवस्था के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। प्रतीक $^{n}P_{r}$ का उपयोग $n$ अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिन्हें एक बार में $r$ लिया जाता है। यह बसों, ट्रेनों या उड़ानों के शेड्यूल, ज़िप कोड और फ़ोन नंबरों के आवंटन को लॉक करता है। ये कुछ स्थितियाँ हैं जहाँ क्रमचय का उपयोग किया जाता है।

परिचय

इस लेख में अन्य लेखों से भिन्न अक्षरों के प्रति इत्यादि की संभव संख्या की गणना करते हैं। इस सूची में प्रत्येक व्यवस्था/क्रम दूसरे से भिन्न हैं। दूसरे शब्दों में अक्षरों के लिखने का क्रम महत्वपूर्ण है इनमें से प्रत्येक व्यवस्था, $4$ विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को साथ लेकर बनाया गया, क्रमचय कहलाता है अब यदि हमें शब्द $NUMBER$, के अक्षरों में से $3$ अक्षरीय, अर्थपूर्ण या अर्थहीन रचित शब्दों की संख्या निर्धारित करनी है, जबकि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो, तो हमें ,$NMU,MUN,NUB,...$ इत्यादि विन्यासों की गणना की आवश्यकता है। यहाँ पर हम $6$ विभिन्न अक्षरों में से एक समय में $3$ अक्षरों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की गणना कर रहे हैं। इस प्रकार के शब्दों की अभीष्ट संख्या $=6\times 5\times 4=120$ (गुणन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा) हैं।

यदि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति होती, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या $6\times 6\times 6=216$ होगी।

परिभाषा

1) क्रमचय परिणामों की एक क्रमबद्ध व्यवस्था और एक क्रमबद्ध संयोजन है। उदाहरण के लिए, $5$ कुर्सियाँ हैं और $3$ व्यक्तियों को बैठाना है। हमारे पास पहले व्यक्ति को बैठाने के $5$ तरीके हैं; अगले व्यक्ति को बैठाने के $4$ तरीके और तीसरे व्यक्ति को बैठाने के $3$ तरीके हैं। इस प्रकार, $5$ कुर्सियों में $3$ व्यक्तियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम अपने पास उपलब्ध विकल्पों को गुणा करते हैं। हम इसे $5\times 4\times 3$तरीकों से करते हैं। यानी, इसे $60$ तरीकों से किया जा सकता है। ध्यान दें कि $5\times 4\times 3$ को ${\frac {(5!)}{(2!)}}$ (या) ${\frac {(5!)}{(5-3)!}}$ के रूप में लिखा जा सकता है!

इसे सामान्यीकृत करते हुए, हमें पहली कुर्सी भरने के लिए $n$ विकल्प, दूसरी को भरने के लिए $n-1$ विकल्प और तीसरी कुर्सी को भरने के लिए $n-2$ विकल्प मिलते हैं। इस प्रकार, $n$ कुर्सियों में $r$ लोगों के क्रमचय (व्यवस्था) की कुल संख्या $^{n}P_{r}={\frac {n!}{(n-r)!}}$ के रूप में व्यक्त की जा सकती है।

क्रमचय का अर्थ है स्थिति बनाना। आइए क्रमचय के बारे में कुछ हल किए गए उदाहरणों के साथ और जानें।

क्रमचय का निरूपण :

$^{n}P_{r}=P_{r}^{n}=P(n,r)={\frac {n!}{(n-r)!}}$

2) क्रमचय एक निश्चित क्रम में बना विन्यास है, जिसको दी हुई वस्तुओं में से एक समय में कुछ या सभी को लेकर बनाया गया है।

नीचे दिए उप-अनुच्छेद में हम उस सूत्र को निर्धारित करेंगे जिसकी आवश्यकता इस प्रकार प्रश्नों के उत्तर देने के लिए पड़ती है।

a) क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं

प्रमेय 1 $n$ विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में $r$ वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक $^{n}P_{r}$ से निरूपित करते हैं, जहाँ $0<r\leq n$ तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृतह की अनुमाथी नहीं है, $^{n}P_{r}=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)$

उपपत्ति क्रमचयों की संख्या, $r$ रिक्त स्थानों को $\Box \Box \Box \Box ....\Box$ उत्तरोत्तर

←$r$ रिक्त स्थान →

$n$ वस्तुओं से भरने के तरीकों की संख्या के समान है। पहला स्थान तरीकों से भरा जा सकता है। इसके बाद दूसरा स्थान $n-1$ तरीकों से भरा जा सकता है। इसके उपरांत तीसरा स्थान $n-2$ तरीकों से भरा जा सकता है।$....$ और $r$ वाँ स्थान $[n-(r-1)]$ उपायों से भरा जा सकता है। अतः $r$ रिक्त स्थानों को उत्तरोत्तर भरने के तरीकों की संख्या

$=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-(r-1))$ या $=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)$

$^{n}P_{r}$ के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक ! (जिसे " क्रमगुणित पढ़ते हैं) इसमें हमारी सहायता करता है। निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में ! का क्या अर्थ है? 7.3.2 क्रमगुणित संकेतन (Factorial notation) संकेतन n ! प्रथम ” प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् 1x2x3xx (n-1) xn को n! द्वारा निरूपित किया जाता है। हम इस प्रतीक को " क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार 1 x 2 x 3 x 4... x (n-1) xn = n ! तदनुसार

1=1!

1x2=2!

1x2 x3 = 3 !

1x2 x3x4 = 4 !

हम परिभाषित करते हैं, कि 0 ! = 1

इस प्रकार हम लिख सकते हैं, कि 51 = 5 x 4 ! = 5x4x3 ! = 5x4×3×2 !

स्पष्टतया सभी प्राकृत संख्या " के लिए

=5x4x3x2x 1!

इत्यादि

n!n (n

1)!

= n(n - 1) (n-2)!

[ यदि 22]

= n(n - 1) (n-2) (n = 3)!

[ यदि n≥3]

(iii) 7!-5!

उदाहरण 5 मान निकालिए (i) 5 ! (ii)7 !

हल

और

(i) 5!= 1x2 x3x4x5 = 120 (ii) 7!= 1x2 x3x4x5x6x7 = 5040 (iii) 7! 5! 50401204920

ublish

उदहारण 6 परिकलन कीजिए (i)

F15

7!

(ii)

5!

12!

(10!) (21)

हल

(i) हम प्राप्त करते हैं.

7!

7x6x5!

= 7 x 6 = 42

5!

5!

12!

12x11x(10!)

और

= 6 x 11 = 66

(10!) (2!)

(10!)x(2)

n!

उदाहरण 7 मान निकालिए

r!(n-r)!

n=5, r=2

हल हमें निम्नलिखित का मान निकालना है

no

5!

2!(5-2)!

(riffen n = 5, r = 2)

5!

5!

5x4

यहाँ पर

=10

21(5-2)! 21x3!

2

7.3.3 "P, के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति ( Derivation of the formula for "P,)

"P, =

n!

(n-r)!

0 ≤r≤ n

आइए हम उस अवस्था पर वापस चलें जहाँ हमने निम्नलिखित ज्ञात किया था:

"Pn (n-1) (n-2)... (n-r+1)

इसके अंश और हर को (n - r) (n - r - 1 ) 3 x 2 x 1 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

कि

n(n-1) (n - 2)...(n-r+1)(n-r)(n-r-1)...3x2x1

n!

"P,

( n - r ) ( n - r - 1 ) ... 3x2x1

=

(n - r ) !'

इस प्रकार "P,

=

n!

( n - r ) !"

जहाँ 0 यह "P पहले से अधिक सुविधाजनक व्यंजक है।

T

विशेष रूप से जब r =n, तो " Pa

n!

--

=n! 0!

क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है। इसी कारण से हमने " P = 1 परिभाषित किया है।

"Pg = 1 =

n! n!

n! (n-0)!

अत: सूत्र ( 1 ), r = 0 के लिए भी लागू है।

ERT

ublished

n!

"P, =

0≤r≤n

अतः

(n-r)!

प्रमेय 2 n विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या, r वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, ' होती है।

जबकि

इसकी उपपत्ति पिछले प्रमेय की उपपत्ति के समान है, अतः इसको पाठक के लिए छोड़ दिया गया है।

r

अब हम "P के सूत्र की उपयोगिता को स्पष्ट करने के लिए पिछले अनुच्छेद के कुछ प्रश्नों को इस सूत्र के प्रयोग द्वारा सरल कर रहे हैं।

उदाहरण 1 में शब्दों की अभीष्ट संख्या = P = 4 ! = 24 जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हैं। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 4 = 256 होगी।

NUMBER शब्द के अक्षरों में से 3 अक्षरों वाले चयनित शब्दों की संख्या = "P1

=

6!

3!

4 × 5 × 6 = 120, यहाँ इस प्रश्न में भी पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 6 = 216 होगी ।

12 व्यक्तियों के एक समुदाय से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष के चयन के तरीकों की संख्या, यह मानकर कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है, स्पष्टतया

12!

12 P2

===11×12 = 132.

10!

7.3.4 क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं (Permutations when all the objects are not distinct objects) मान लीजिए कि हमें शब्द ROOT के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है। इस दशा में, सभी अक्षर भिन्न-भिन्न नहीं है। यहाँ 20 हैं जो समान प्रकार के अक्षर हैं। हम इन दोनों को अस्थाई रूप से भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे O, और O, अब इस दशा में 4 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या 4 ! है । इन क्रमचयों में से एक क्रमचय ROOT पर विचार कीजिए। इसके संगत, यहाँ पर 2! क्रमचय ROO T तथा ROOT ऐसे हैं जो कि समान क्रमचय होते यदि O, तथा O को भिन्न-भिन्न नहीं माना गया होता अर्थात् यदि O, तथा O, दोनों क्रमचय में O होते। अतएव, क्रमचयों की अभीष्ट संख्या

4!

= 3x4=12

2!

CERT

blis

इस बात को नीचे स्पष्ट किया गया है:

क्रमचय जब 0. 02 भिन्न-भिन्न हैं।

जब O, O, दोनों 0 के समान हैं।

= 3x4=12

इस बात को नीचे स्पष्ट किया गया है: क्रमचय जब O. 02 भिन्न-भिन्न हैं।

RO2O2T RO2O,T

TO,O2R TO2OR

ROTO2 RO2TO

NCER

ין

जबO, O, दोनों 0 के समान हैं।

be repoblis

ROOT

TOOR

TORO2

TO2R O1

ROTO

TORO

RTO,O2

RTOO

RTO2O

TRO, O2

TROO

TRO2O1

O, O, R T ]

OORT

0, 0, TR]

O, RO, T

OR OT

OROT

O, TO, R

OTOR

O, TO, R

O, R T O2

O, RTO

O TR O2 ]

O2 TRO,

O, O2TR

O, O, T R J

ORTO

EAT

bished

OOTR

आइए अब हम शब्द INSTITUTE के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। इस दशा में 9 अक्षर हैं, जिनमें I दो बार तथा T तीन बार आता है।

अस्थाई रूप से, हम इन समान अक्षरों को भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे I, I, T, T2, T,. 9 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेने से बने क्रमचयों की संख्या 91 है। इनमें से एक क्रमचय माना कि I, NT, SI, T, UET, पर विचार कीजिए। यदि I I. समान नहीं हों और T,, T,, T, एक जैसे न हों तो I, I, का 2! तरीकों से तथा T, T, T, का 3 ! तरीकों से विन्यास किया जा सकता है। यदि I,I, समान हों तथा T, T,, T, समान हो, तो 21 x 3 ! क्रमचय समान होगें। इस

प्रकार पूछे गए विभिन्न क्रमचयों की कुल संख्या 2 ! है । हम निम्नलिखित प्रमेय का कथन ( बिना

2!3!

उपपत्ति) व्यक्त कर सकते हैं।

प्रमेय 3 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ p वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न

की हैं

n!

p!

वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है:

प्रमेय 4 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या

वस्तुएँ दूसरे प्रकार की की हैं।

*****

Pk

n!

P1! P2!... Pk!

है। जहाँ P वस्तुएँ एक प्रकार की, P2

P

वस्तुएँ वाँ प्रकार की और शेष (यदि कोई है) विभिन्न प्रकार

उदाहरण 9 ALLAHABAD शब्द के अक्षरों से बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए ।

हल यहाँ पर 9 अक्षर हैं, जिनमें A, 4 बार आया है, 2 बार L आया है तथा शेष विभिन्न प्रकार के हैं। अतएव विन्यासों की अभीष्ट संख्या

9!

5×6x7x8x9

= 7560

4!2!

2

ed

उदाहरण 10 1 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

हल यहाँ पर अंकों का क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए 1234 तथा 1324 दो भिन्न-भिन्न संख्याएँ हैं। अतः 4 - अंकीय संख्याओं की संख्या 9 विभिन्न अंकों में से एक समय में 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या के बराबर है। इस प्रकार 4 अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या

=

9P4

=

9!

=

9!

(9-4)! 5!

= 9 × 8 × 7 × 6 = 3024.

ep