क्रमचय: Difference between revisions

Revision as of 12:39, 12 November 2024

क्रमचय वस्तुओं को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके हैं। इसे पहले से ही व्यवस्थित समुच्चय के रैखिक क्रम में वस्तुओं के पुनर्व्यवस्था के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। प्रतीक $^{n}P_{r}$ का उपयोग $n$ अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिन्हें एक बार में $r$ लिया जाता है। यह बसों, ट्रेनों या उड़ानों के शेड्यूल, ज़िप कोड और फ़ोन नंबरों के आवंटन को लॉक करता है। ये कुछ स्थितियाँ हैं जहाँ क्रमचय का उपयोग किया जाता है।

परिचय

इस लेख में अन्य लेखों से भिन्न अक्षरों के प्रति इत्यादि की संभव संख्या की गणना करते हैं। इस सूची में प्रत्येक व्यवस्था/क्रम दूसरे से भिन्न हैं। दूसरे शब्दों में अक्षरों के लिखने का क्रम महत्वपूर्ण है इनमें से प्रत्येक व्यवस्था, $4$ विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को साथ लेकर बनाया गया, क्रमचय कहलाता है अब यदि हमें शब्द $NUMBER$ , के अक्षरों में से $3$ अक्षरीय, अर्थपूर्ण या अर्थहीन रचित शब्दों की संख्या निर्धारित करनी है, जबकि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो, तो हमें , $NMU,MUN,NUB,...$ इत्यादि विन्यासों की गणना की आवश्यकता है। यहाँ पर हम $6$ विभिन्न अक्षरों में से एक समय में $3$ अक्षरों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की गणना कर रहे हैं। इस प्रकार के शब्दों की अभीष्ट संख्या $=6\times 5\times 4=120$ (गुणन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा) हैं।

यदि अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति होती, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या $6\times 6\times 6=216$ होगी।

परिभाषा

1) क्रमचय परिणामों की एक क्रमबद्ध व्यवस्था और एक क्रमबद्ध संयोजन है। उदाहरण के लिए, $5$ कुर्सियाँ हैं और $3$ व्यक्तियों को बैठाना है। हमारे पास पहले व्यक्ति को बैठाने के $5$ तरीके हैं; अगले व्यक्ति को बैठाने के $4$ तरीके और तीसरे व्यक्ति को बैठाने के $3$ तरीके हैं। इस प्रकार, $5$ कुर्सियों में $3$ व्यक्तियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम अपने पास उपलब्ध विकल्पों को गुणा करते हैं। हम इसे $5\times 4\times 3$ तरीकों से करते हैं। यानी, इसे $60$ तरीकों से किया जा सकता है। ध्यान दें कि $5\times 4\times 3$ को ${\frac {(5!)}{(2!)}}$ (या) ${\frac {(5!)}{(5-3)!}}$ के रूप में लिखा जा सकता है!

इसे सामान्यीकृत करते हुए, हमें पहली कुर्सी भरने के लिए $n$ विकल्प, दूसरी को भरने के लिए $n minus 1$

@@ Line 41: / Line 41: @@
 निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में <math>n!</math> का क्या अर्थ है?
-'''b) क्रमगुणित संकेतन'''   संकेतन <math>n!</math> प्रथम <math>n</math> [[प्राकृत संख्याएँ|प्राकृत संख्याओं]] के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् 1x2x3xx (n-1) xn को n! द्वारा निरूपित किया जाता है। हम इस प्रतीक को <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार 1 x 2 x 3 x 4... x (n-1) xn = n ! तदनुसार
+'''b) क्रमगुणित संकेतन'''   संकेतन <math>n!</math> प्रथम <math>n</math> [[प्राकृत संख्याएँ|प्राकृत संख्याओं]] के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् <math>1\times2\times3\times......\times (n-1)\times n</math> को <math>n!</math> द्वारा निरूपित किया जाता है।
-=1!
+हम इस प्रतीक को <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार <math>1\times2\times3\times......\times (n-1)\times n=n!</math> तदनुसार
-x2=2!
+<math>1=1!</math>
-x2 x3 = 3 !
+<math>1\times2=2!</math>
-x2 x3x4 = 4 !
+<math>1\times2\times3 = 3!</math>
-हम परिभाषित करते हैं, कि 0 ! = 1
+<math>1\times2\times3\times4 = 4!</math>
-इस प्रकार हम लिख सकते हैं, कि 51 = 5 x 4 ! = 5x4x3 ! = 5x4×3×2 !
+हम परिभाषित करते हैं, कि <math>0! = 1</math>
-स्पष्टतया सभी प्राकृत संख्या " के लिए
+इस प्रकार हम लिख सकते हैं, कि <math>5! = 5\times4! = 5\times4\times3! = 5\times4\times3\times2!=5\times4\times3\times2\times1!</math>
-=5x4x3x2x 1!
+स्पष्टतया सभी प्राकृत संख्या <math>n</math> के लिए
-इत्यादि
+<math>n!=n(n-1)!
+</math>
-n!n (n
+<math>=n(n-1)(n-2)!</math>                         <math>[</math> यदि <math>n\geq 2]</math>
-)!
+<math>=n(n-1)(n-2)(n-3)!</math>             <math>[</math> यदि <math>n\geq 3]</math>
-= n(n - 1) (n-2)!
+इत्यादि
-[ यदि 22]
-= n(n - 1) (n-2) (n = 3)!
-[ यदि n≥3]
-(iii) 7!-5!
-'''उदाहरण''' 5 मान निकालिए (i) 5 ! (ii)7 !
-हल
-और
-(i) 5!= 1x2 x3x4x5 = 120 (ii) 7!= 1x2 x3x4x5x6x7 = 5040 (iii) 7! 5! 50401204920
-ublish
-'''उदहारण''' 6 परिकलन कीजिए (i)
-F15
-!
-(ii)
-!
-!
-(10!) (21)
-हल
-(i) हम प्राप्त करते हैं.
-!
-x6x5!
-= 7 x 6 = 42
-!
-!
-!
-x11x(10!)
-और
-= 6 x 11 = 66
-(10!) (2!)
-(10!)x(2)
-n!
-'''उदाहरण''' 7 मान निकालिए
-r!(n-r)!
-n=5, r=2
-हल हमें निम्नलिखित का मान निकालना है
-no
-!
-!(5-2)!
-(riffen n = 5, r = 2)
-!
-!
-x4
-यहाँ पर
-=10
-(5-2)! 21x3!
-.3.3 "P, के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति ( Derivation of the formula for "P,)
-"P, =
-n!
-(n-r)!
-≤r≤ n
-आइए हम उस अवस्था पर वापस चलें जहाँ हमने निम्नलिखित ज्ञात किया था:
-"Pn (n-1) (n-2)... (n-r+1)
-इसके अंश और हर को (n - r) (n - r - 1 ) 3 x 2 x 1 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है
-कि
-n(n-1) (n - 2)...(n-r+1)(n-r)(n-r-1)...3x2x1
-n!
-"P,
-( n - r ) ( n - r - 1 ) ... 3x2x1
-=
-(n - r ) !'
-इस प्रकार "P,
-=
-n!
-( n - r ) !"
-जहाँ 0 यह "P पहले से अधिक सुविधाजनक व्यंजक है।
-T
-विशेष रूप से जब r =n, तो " Pa
-n!
---
-=n! 0!
-क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है। इसी कारण से हमने " P = 1 परिभाषित किया है।
-"Pg = 1 =
-n! n!
-n! (n-0)!
+=== '''उदाहरण'''  ===
+'''उदाहरण-1'''  मान निकालिए (i) <math>5!</math>  (ii) <math>7!</math>  (iii) <math>7!-5!</math>
-अत: सूत्र ( 1 ), r = 0 के लिए भी लागू है।
+'''हल'''             (i)    <math> 5!= 1\times2\times3\times4\times5 =120</math>
-ERT
+(ii)  <math>7!=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7=5040</math>
-ublished
+और            (iii)  <math>7!-5!=5040-120=4920</math>
-n!
+'''उदहारण-2'''  परिकलन कीजिए  (i) <math>\frac{7!}{5!}</math>      (ii)  <math>\frac{12!}{(10!)(2!)}</math>
-"P, =
+'''हल'''
-≤r≤n
+(i) हम प्राप्त करते हैं.   <math>\frac{7!}{5!} =\frac{7\times6\times5!}{5!}=7\times6=42</math>
-अतः
+और             <math>\frac{12!}{(10!)(2!)}= \frac{12\times11\times(10!)}{(10!)\times(2)}=6\times11=66</math>
-(n-r)!
+क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है।
 '''प्रमेय 2''' n विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या, r वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, ' होती है।
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 '''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं'''
-मान लीजिए कि हमें शब्द ROOT के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है। इस दशा में, सभी अक्षर भिन्न-भिन्न नहीं है। यहाँ 20 हैं जो समान प्रकार के अक्षर हैं। हम इन दोनों को अस्थाई रूप से भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे O, और O, अब इस दशा में 4 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या 4 ! है । इन क्रमचयों में से एक क्रमचय ROOT पर विचार कीजिए। इसके संगत, यहाँ पर 2! क्रमचय ROO T तथा ROOT ऐसे हैं जो कि समान क्रमचय होते यदि O, तथा O को भिन्न-भिन्न नहीं माना गया होता अर्थात् यदि O, तथा O, दोनों क्रमचय में O होते। अतएव, क्रमचयों की अभीष्ट संख्या
+आईए हम  शब्द INSTITUTE के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। इस दशा में 9 अक्षर हैं, जिनमें I दो बार तथा T तीन बार आता है।
-!
-= 3x4=12
-!
-CERT
-blis
-इस बात को नीचे स्पष्ट किया गया है:
-क्रमचय जब 0. 02 भिन्न-भिन्न हैं।
-जब O, O, दोनों 0 के समान हैं।
-= 3x4=12
-इस बात को नीचे स्पष्ट किया गया है: क्रमचय जब O. 02 भिन्न-भिन्न हैं।
-RO2O2T RO2O,T
-TO,O2R TO2OR
-ROTO2 RO2TO
-NCER
-ין
-जबO, O, दोनों 0 के समान हैं।
-be repoblis
-ROOT
-TOOR
-TORO2
-TO2R O1
-ROTO
-TORO
-RTO,O2
-RTOO
-RTO2O
-TRO, O2
-TROO
-TRO2O1
-O, O, R T ]
-OORT
-, 0, TR]
-O, RO, T
-OR OT
-OROT
-O, TO, R
-OTOR
-O, TO, R
-O, R T O2
-O, RTO
-O TR O2 ]
-O2 TRO,
-O, O2TR
-O, O, T R J
-ORTO
-EAT
-bished
-OOTR
-आइए अब हम शब्द INSTITUTE के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। इस दशा में 9 अक्षर हैं, जिनमें I दो बार तथा T तीन बार आता है।
 अस्थाई रूप से, हम इन समान अक्षरों को भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे I, I, T, T2, T,. 9 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेने से बने क्रमचयों की संख्या 91 है। इनमें से एक क्रमचय माना कि I, NT, SI, T, UET, पर विचार कीजिए। यदि I I. समान नहीं हों और T,, T,, T, एक जैसे न हों तो I, I, का 2! तरीकों से तथा T, T, T, का 3 ! तरीकों से विन्यास किया जा सकता है। यदि I,I, समान हों तथा T, T,, T, समान हो, तो 21 x 3 ! क्रमचय समान होगें। इस