क्रमचय: Difference between revisions
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नीचे दिए उप-अनुच्छेद में हम उस सूत्र को निर्धारित करेंगे जिसकी आवश्यकता इस प्रकार प्रश्नों के उत्तर देने के लिए पड़ती है। | नीचे दिए उप-अनुच्छेद में हम उस सूत्र को निर्धारित करेंगे जिसकी आवश्यकता इस प्रकार प्रश्नों के उत्तर देने के लिए पड़ती है। | ||
a) '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं''' | '''a)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं''' | ||
'''प्रमेय 1''' <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक <math>^nP_r</math> से निरूपित करते हैं, जहाँ <math>0<r\leq n</math> तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृतह की अनुमाथी नहीं है, <math>^nP_r=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)</math> | '''प्रमेय 1''' <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक <math>^nP_r</math> से निरूपित करते हैं, जहाँ <math>0<r\leq n</math> तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृतह की अनुमाथी नहीं है, <math>^nP_r=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)</math> | ||
'''उपपत्ति''' क्रमचयों की संख्या, <math>r</math> रिक्त स्थानों को <math>\Box \Box \Box \Box.... \Box</math> | '''उपपत्ति''' क्रमचयों की संख्या, <math>r</math> रिक्त स्थानों को | ||
<math>\Box \Box \Box \Box.... \Box</math> उत्तरोत्तर | |||
←<math>r</math> रिक्त स्थान → | ←<math>r</math> रिक्त स्थान → | ||
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<math>^nP_r</math> के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक ! (जिसे | <math>^nP_r</math> के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक <math>n!</math> (जिसे <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं) इसमें हमारी सहायता करता है। | ||
निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में <math>n!</math> का क्या अर्थ है? | |||
'''b) क्रमगुणित संकेतन''' संकेतन <math>n!</math> प्रथम <math>n</math> [[प्राकृत संख्याएँ|प्राकृत संख्याओं]] के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् <math>1\times2\times3\times......\times (n-1)\times n</math> को <math>n!</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। | |||
हम इस प्रतीक को <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार <math>1\times2\times3\times......\times (n-1)\times n=n!</math> तदनुसार | |||
<math>1=1!</math> | |||
<math>1\times2=2!</math> | |||
<math>1\times2\times3 = 3!</math> | |||
<math>1\times2\times3\times4 = 4!</math> | |||
= | हम परिभाषित करते हैं, कि <math>0! = 1</math> | ||
इस प्रकार हम लिख सकते हैं, कि <math>5! = 5\times4! = 5\times4\times3! = 5\times4\times3\times2!=5\times4\times3\times2\times1!</math> | |||
n | स्पष्टतया सभी प्राकृत संख्या <math>n</math> के लिए | ||
1)! | <math>n!=n(n-1)! | ||
</math> | |||
= n(n - 1) (n-2)! | <math>=n(n-1)(n-2)!</math> <math>[</math> यदि <math>n\geq 2]</math> | ||
[ यदि | <math>=n(n-1)(n-2)(n-3)!</math> <math>[</math> यदि <math>n\geq 3]</math> | ||
इत्यादि | |||
(iii) 7!-5! | '''उदाहरण-1''' मान निकालिए (i) <math>5!</math> (ii) <math>7!</math> (iii) <math>7!-5!</math> | ||
'''हल''' (i) <math> 5!= 1\times2\times3\times4\times5 =120</math> | |||
(ii) <math>7!=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7=5040</math> | |||
और | और (iii) <math>7!-5!=5040-120=4920</math> | ||
(i) 5! | '''उदहारण-2''' परिकलन कीजिए (i) <math>\frac{7!}{5!}</math> (ii) <math>\frac{12!}{(10!)(2!)}</math> | ||
'''हल''' | |||
(i) हम प्राप्त करते हैं. <math>\frac{7!}{5!} =\frac{7\times6\times5!}{5!}=7\times6=42</math> | |||
और <math>\frac{12!}{(10!)(2!)}= \frac{12\times11\times(10!)}{(10!)\times(2)}=6\times11=66</math> | |||
क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है। | |||
'''प्रमेय 2''' <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या, जबकि वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, <math>n^r </math> होती है। | |||
'''क्रमचय के उदाहरण व्यवस्था के रूप में''' | |||
'''उदाहरण-3''' (a) <math>TRIANGLES</math> शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं? | |||
( | (b) इनमें से कितने शब्द <math>T</math> से शुरू होते हैं और <math>S</math> पर खत्म होते हैं? | ||
'''समाधान''': | |||
( | (a) दिए गए शब्द में <math>9</math> अलग-अलग अक्षर हैं। इस प्रकार, इस शब्द के अक्षरों के विभिन्न क्रमपरिवर्तन (या व्यवस्था) की संख्या <math>^9P_9=9!</math> है। | ||
(b) यदि हम शब्द के आरंभ में <math>T</math> और अंत में <math>S</math> लगाते हैं, तो हमें <math>7</math> स्थानों पर <math>7</math> अलग-अलग अक्षरों को क्रमचयित करना होगा। यह <math>^7P_7=7!</math> तरीकों से किया जा सकता है। इस प्रकार, ऐसे शब्दों की संख्या <math>7!</math> है। | |||
'''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं''' | |||
'''प्रमेय 3''' <math>n</math> वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ <math>p</math> वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न की हैं <math>=\frac{n!}{p!}</math> | |||
और | |||
7 | |||
= | |||
इस प्रकार | |||
''' | |||
प्रमेय 3 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ p वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न | |||
की हैं | |||
n! | |||
p! | |||
वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है: | वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है: | ||
प्रमेय 4 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या | '''प्रमेय''' '''4''' <math>n</math> वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या <math>\frac{n!}{p_1!p_2!.....p_k!}</math> जहाँ <math>p_1</math> वस्तुएँ एक प्रकार की, <math>p_2</math> वस्तुएँ दूसरे प्रकार की, <math>......</math> <math>p_k</math> वस्तुएँ <math>k</math>वाँ प्रकार की और शेष (यदि कोई है) विभिन्न प्रकार की हैं।<math>9</math> | ||
< | |||
n! | |||
वस्तुएँ वाँ प्रकार की और शेष (यदि कोई है) विभिन्न प्रकार | |||
9 | |||
'''उदाहरण-4''' <math>ALLAHABAD</math> शब्द के अक्षरों से बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए । | |||
9 | '''हल''' यहाँ पर <math>9</math> अक्षर हैं, जिनमें <math>A</math>, <math>4</math> बार आया है, <math>2</math> बार <math>L</math> आया है तथा शेष विभिन्न प्रकार के हैं। | ||
= | अतएव विन्यासों की अभीष्ट संख्या <math>\frac{9!}{4!2!}= \frac{5\times6\times7\times8\times9}{2}=7560</math> | ||
9 | '''उदाहरण-5''' <math>1</math> से <math>9</math> तक के अंकों का प्रयोग करके कितनी <math>4</math> अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है? | ||
'''हल''' यहाँ पर अंकों का क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए <math>1234</math> तथा <math>1324</math> दो भिन्न-भिन्न संख्याएँ हैं। अतः <math>4</math> -अंकीय संख्याओं की संख्या 9 विभिन्न अंकों में से एक समय में <math>4</math> अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या के बराबर है। इस प्रकार <math>4</math>-अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या | |||
= 9 | <math>= ^9P_4=\frac{9!}{(9-4)!}=\frac{9!}{5!}=9\times8\times7\times6=3024</math> | ||
== क्रमचय पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ == | |||
* क्रमचय वस्तुओं के क्रमबद्ध संयोजन हैं जिन्हें दोहराव के साथ या बिना किया जा सकता है। | |||
* उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: <math>^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}</math>, जहाँ एक समय में <math>n</math> अलग-अलग चीजें <math>r</math> ली जाती हैं। | |||
* जब वस्तुओं को क्रमबद्ध या स्थितिबद्ध तरीके से व्यवस्थित करना होता है, तो हम क्रमचय पर विचार करते हैं। | |||
* संचय सूत्र को <math>^nC_r</math> सूत्र भी कहा जाता है। | |||
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Latest revision as of 14:18, 12 November 2024
क्रमचय वस्तुओं को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके हैं। इसे पहले से ही व्यवस्थित समुच्चय के रैखिक क्रम में वस्तुओं के पुनर्व्यवस्था के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। प्रतीक