संचय: Difference between revisions

Latest revision as of 16:58, 12 November 2024

संचय को चयन भी कहा जाता है। संचय किसी दिए गए सेट से चीजों के चयन के अनुरूप होते हैं। यहाँ हम चीजों को व्यवस्थित करने का इरादा नहीं रखते हैं। हम उन्हें चुनने का इरादा रखते हैं। हम $n$ वस्तुओं के समूह में से अद्वितीय $r$ -चयन या संचय की संख्या को $^{n}C_{r}$ द्वारा दर्शाते हैं। संचय व्यवस्था या क्रमचय से भिन्न होते हैं।

परिचय

संचय कई वस्तुओं में से कुछ या सभी को लेकर किए गए चयन हैं, चाहे उनकी व्यवस्था कुछ भी हो। एक समय में $r$ को लेकर $n$ अलग-अलग चीजों के संचयों की संख्या को $^{n}C_{r}$ द्वारा दर्शाया जाता है और इसे $^{n}C_{r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $0\leq r\leq n$ । यह सामान्य संचयसूत्र बनाता है जिसे $^{n}C_{r}$ सूत्र कहा जाता है।

चित्र- संचय

चित्र में 10 फलों में से 4 फलों का चयन करना है

$^{n}C_{r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

¹⁰C₄ $=C(n,r)=C(10,4)$

$={\frac {10!}{4!(10-4)!}}$

$={\frac {10!}{4!\times 6!}}$

$=210$ ways

$n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं का उपयोग करके संचयों की संख्या ज्ञात करने के इस सूत्र को $^{n}C_{r}$ सूत्र भी कहा जाता है।

परिभाषा

संचय सूत्र का उपयोग प्रत्येक $r$ वस्तु के संभावित विभिन्न समूहों की संख्या को आसानी से खोजने के लिए किया जाता है, जिन्हें उपलब्ध $n$ अलग-अलग वस्तु से बनाया जा सकता है। संचय सूत्र $n$ का क्रमगुणित है, जिसे $r$ के क्रमगुणित के गुणनफल और $n$ और $r$ के अंतर के क्रमगुणित से विभाजित किया जाता है। संचय सूत्र : $^{n}C_{r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

संचय सूत्र को $^{n}C_{r}$ सूत्र भी कहा जाता है। संचय सूत्र का उपयोग करने के लिए हमें क्रमगुणित का अर्थ जानना होगा, और हमारे पास $n!=1\times 2\times 3\times ....\times (n-1)\times n$ है।

क्रमचय और संचय के बीच संबंध

क्रमचय और संचय सूत्र और अवधारणाओं में बहुत समानताएँ हैं। मान लीजिए कि आपके पास $n$ अलग-अलग वस्तु हैं। आपको $n$ वस्तु के इस समूह से बनाए जा सकने वाले अद्वितीय $r$ -चयन (चयन जिसमें $r$ वस्तु उपस्थित हैं) की संख्या निर्धारित करनी है। $n$ लोगों के एक समूह के बारे में सोचें - आपको आकार $r$ के अद्वितीय उप-समूहों की संख्या ज्ञात करनी है, जिन्हें इस समूह से बनाया जा सकता है।

आकार $r$ के क्रमचय की संख्या $^{n}P_{r}$ होगी। $^{n}P_{r}$ क्रमचय की सूची में, प्रत्येक अद्वितीय चयन को $r!$ बार गिना जाएगा, क्योंकि $r$ -चयन में वस्तु को

तरीकों से आपस में क्रमचयित किया जा सकता है। इस प्रकार, अद्वितीय संचयों की संख्या ${\frac {^{n}P_{r}}{r!}}$ हो सकती है।

$^{n}C_{r}={\frac {^{n}P_{r}}{r!}}={\frac {n!}{(n-r)r!}}={\frac {n!}{r!(n-r)}}$

उदाहरण

उदाहरण 1: $EDUCATION$ शब्द पर विचार करें। इसमें $9$ अलग-अलग अक्षर हैं। इस शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने $3$ -अक्षर क्रमचय (शब्द) बनाए जा सकते हैं? अब हम जानते हैं कि इस तरह के सवालों का जवाब कैसे दिया जाए; इस विशेष मामले में उत्तर होगा $^{9}P_{3}$

$EDUCATION$ से $A,E,T$ अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए निम्नलिखित $3$ -अक्षर क्रमचय पर विचार करें:

$AET,ATE,EAT,ETA,TAE,TEA$

ये $6$ अलग-अलग व्यवस्थाएँ अक्षरों के एक ही चयन के अनुरूप हैं, जो $\{A,E,T\}$ है। इस प्रकार, सभी $3$ -अक्षर क्रमचय की सूची में, हम पाएंगे कि प्रत्येक अद्वितीय संयोजन $6$ अलग-अलग व्यवस्थाओं के अनुरूप है। अद्वितीय $3$ -अक्षर चयनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम $3$ -अक्षर क्रमचय की संख्या को $6$ से विभाजित करते हैं।

अतः, $3$ -अक्षर चयनों की संख्या होगी ${\frac {^{9}P_{3}}{6}}={\frac {60480}{6}}=10080$

उदाहरण 2: $5$ लोगों के समूह में से, एक जोड़ी बनाने की आवश्यकता है। संभावित संचयकी संख्या की गणना निम्नानुसार की जा सकती है।

$^{5}C_{2}={\frac {5!}{2!(5-2)!}}={\frac {5!}{2!3!}}={\frac {120}{2\times 6}}=10$

उदाहरण 3: $DRIVEN$ शब्द के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले $4$ -अक्षर संचयकी संख्या है

$^{6}C_{4}={\frac {6!}{4!(6-4)!}}={\frac {6!}{4!2!}}={\frac {720}{24\times 2}}=15$

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

जब भी आप “संचय की संख्या” वाक्यांश पढ़ते हैं, तो “चयनों की संख्या” वाक्यांश के बारे में सोचें। जब आप वस्तु का चयन कर रहे होते हैं, तो वस्तु का क्रम मायने नहीं रखता। उदाहरण के लिए, $XYZ$ और $XZY$ अलग-अलग व्यवस्थाएँ हैं, लेकिन उनका चयन समान है।
$n$ अलग-अलग वस्तु के संचय की संख्या, एक समय में $r$ को लेकर (जहाँ $r$ , $n$ से कम है), $^{n}C_{r}={\frac {^{n}P_{r}}{r!}}={\frac {n!}{r!(n-r)}}$ है।
उपरोक्त परिणाम इस तथ्य से प्राप्त होता है कि आकार $r$ के सभी क्रमपरिवर्तनों की सूची में, प्रत्येक अद्वितीय चयन को $r!$ बार गिना जाता है।
$n$ वस्तु में से, संचय $0$ या $n$ वस्तु के तरीकों की संख्या $1$ है; और $1$ वस्तु या $(n-1)$ वस्तु को चुनने के तरीकों की संख्या $n$ है।
$n$ वस्तुओं में से $2$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^{n}C_{2}={\frac {n(n-1)}{2}}$ है।

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-Combinations
+संचय को चयन भी कहा जाता है। संचय किसी दिए गए सेट से चीजों के चयन के अनुरूप होते हैं। यहाँ हम चीजों को व्यवस्थित करने का इरादा नहीं रखते हैं। हम उन्हें चुनने का इरादा रखते हैं। हम <math>n</math> वस्तुओं के समूह में से अद्वितीय <math>r</math>-चयन या संचय की संख्या को <math>^nC_r</math> द्वारा दर्शाते हैं। संचय व्यवस्था या क्रमचय से भिन्न होते हैं।
-[[Category:गणित]]
-[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category: कक्षा-11]]
+== परिचय ==
+संचय कई वस्तुओं में से कुछ या सभी को लेकर किए गए चयन हैं, चाहे उनकी व्यवस्था कुछ भी हो। एक समय में <math>r</math> को लेकर <math>n</math> अलग-अलग चीजों के संचयों की संख्या को <math>^nC_r</math> द्वारा दर्शाया जाता है और इसे <math>^nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}  </math> द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ <math> 0\leq r\leq n</math>। यह सामान्य संचयसूत्र बनाता है जिसे  <math>^nC_r</math> सूत्र कहा जाता है।
+ [[File:संचय.jpg|thumb|चित्र- संचय ]]
+चित्र में 10 फलों में से 4 फलों का चयन करना है
+<math>^nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}  </math>
+<sup>10</sup>'''C'''<sub>4</sub> <math>=C(n,r)=C(10,4)</math>
+<math>=\frac{10!}{4!(10-4)!} </math>
+<math>=\frac{10!}{4!\times6!}</math>
+<math>=210</math> ways
+<math>n</math> वस्तुओं में से <math>r</math> वस्तुओं का उपयोग करके संचयों की संख्या ज्ञात करने के इस सूत्र को <math>^nC_r</math> सूत्र भी कहा जाता है।
+== परिभाषा ==
+संचय सूत्र का उपयोग प्रत्येक <math>r</math>  वस्तु के संभावित विभिन्न समूहों की संख्या को आसानी से खोजने के लिए किया जाता है, जिन्हें उपलब्ध <math>n</math> अलग-अलग  वस्तु से बनाया जा सकता है। संचय सूत्र <math>n</math> का  क्रमगुणित है, जिसे <math>r</math> के  क्रमगुणित के गुणनफल और <math>n</math> और <math>r</math> के अंतर के  क्रमगुणित से विभाजित किया जाता है।
+'''संचय सूत्र :      <math>^nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}  </math>'''
+संचय सूत्र को <math>^nC_r</math> सूत्र भी कहा जाता है। संचय सूत्र का उपयोग करने के लिए हमें  क्रमगुणित का अर्थ जानना होगा, और हमारे पास <math>n! = 1\times 2\times 3\times ....\times(n - 1)\times n</math> है।
+== क्रमचय और संचय के बीच संबंध ==
+क्रमचय और संचय सूत्र और अवधारणाओं में बहुत समानताएँ हैं। मान लीजिए कि आपके पास <math>n</math> अलग-अलग  वस्तु हैं। आपको <math>n</math> वस्तु के इस समूह से बनाए जा सकने वाले अद्वितीय <math>r</math>-चयन (चयन जिसमें <math>r</math>  वस्तु उपस्थित हैं) की संख्या निर्धारित करनी है। <math>n</math> लोगों के एक समूह के बारे में सोचें - आपको आकार <math>r</math> के अद्वितीय उप-समूहों की संख्या ज्ञात करनी है, जिन्हें इस समूह से बनाया जा सकता है।
+आकार <math>r</math> के क्रमचय की संख्या <math>^nP_r</math> होगी। <math>^nP_r</math> क्रमचय की सूची में, प्रत्येक अद्वितीय चयन को <math>r!</math> बार गिना जाएगा, क्योंकि <math>r</math>-चयन में  वस्तु को
+तरीकों से आपस में क्रमचयित किया जा सकता है। इस प्रकार, अद्वितीय संचयों की संख्या <math>\frac{^nP_r}{r!}</math> हो सकती है।
+<math>^nC_r=\frac{^nP_r}{r!}=\frac{n!}{(n-r)r!}=\frac{n!}{r!(n-r)}</math>
+== उदाहरण ==
+'''उदाहरण 1''':  <math>EDUCATION</math> शब्द पर विचार करें। इसमें <math>9</math> अलग-अलग अक्षर हैं। इस शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने <math>3</math>-अक्षर क्रमचय (शब्द) बनाए जा सकते हैं? अब हम जानते हैं कि इस तरह के सवालों का जवाब कैसे दिया जाए; इस विशेष मामले में उत्तर होगा <math>^9P_3</math>
+<math>EDUCATION</math>  से <math>A, E, T</math> अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए निम्नलिखित <math>3</math>-अक्षर क्रमचय पर विचार करें:
+<math>AET, ATE, EAT, ETA, TAE, TEA</math>
+ये <math>6</math> अलग-अलग व्यवस्थाएँ अक्षरों के एक ही चयन के अनुरूप हैं, जो <math>\{A, E, T\}</math> है। इस प्रकार, सभी <math>3</math>-अक्षर क्रमचय की सूची में, हम पाएंगे कि प्रत्येक अद्वितीय संयोजन <math>6</math> अलग-अलग व्यवस्थाओं के अनुरूप है। अद्वितीय <math>3</math>-अक्षर चयनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम <math>3</math>-अक्षर क्रमचय की संख्या को <math>6</math> से विभाजित करते हैं।
+अतः, <math>3</math>-अक्षर चयनों की संख्या होगी <math>\frac{^9P_3}{6}=\frac{60480}{6}=10080</math>
+'''उदाहरण 2''': <math>5</math> लोगों के समूह में से, एक जोड़ी बनाने की आवश्यकता है। संभावित संचयकी संख्या की गणना निम्नानुसार की जा सकती है।
+<math>^5C_2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{120}{2\times6}=10</math>
+'''उदाहरण 3''':  <math>DRIVEN </math> शब्द के अक्षरों से बनाए जा सकने वाले <math>4</math>-अक्षर संचयकी संख्या है
+<math>^6C_4=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{6!}{4!2!}=\frac{720}{24\times2}=15</math>
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+* जब भी आप “संचय की संख्या” वाक्यांश पढ़ते हैं, तो “चयनों की संख्या” वाक्यांश के बारे में सोचें। जब आप वस्तु का चयन कर रहे होते हैं, तो वस्तु का क्रम मायने नहीं रखता। उदाहरण के लिए, <math>XYZ</math> और <math>XZY</math> अलग-अलग व्यवस्थाएँ हैं, लेकिन उनका चयन समान है।
+* <math>n</math> अलग-अलग वस्तु के संचय की संख्या, एक समय में <math>r</math> को लेकर (जहाँ <math>r</math>, <math>n</math> से कम है), <math>^nC_r=\frac{^nP_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)}</math>  है।
+* उपरोक्त परिणाम इस तथ्य से प्राप्त होता है कि आकार <math>r</math> के सभी क्रमपरिवर्तनों की सूची में, प्रत्येक अद्वितीय चयन को <math>r!</math> बार गिना जाता है।
+* <math>n</math> वस्तु में से, संचय <math>0</math> या <math>n</math> वस्तु के तरीकों की संख्या <math>1</math> है; और <math>1</math> वस्तु या <math>(n - 1)</math> वस्तु को चुनने के तरीकों की संख्या <math>n</math> है।
+* <math>n</math> वस्तुओं में से <math>2</math> वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या  <math>^nC_2=\frac{n(n-1)}{2}</math> है।
+[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]