असमिकाएँ: Difference between revisions

Latest revision as of 23:03, 14 November 2024

गणित में, असमिकाएँ तब होती है जब दो गणितीय व्यंजकों या दो संख्याओं के बीच एक असम तुलना की जाती है। सामान्यतः, असमिकाएँ या तो संख्यात्मक असमिकाएँ या बीजीय असमिकाएँ या दोनों का संयोजन हो सकती हैं। रैखिक असमिकाएँ वे असमिकाएँ हैं जिनमें न्यूनतम एक रैखिक बीजीय व्यंजक उपस्थित होता है, यानी, डिग्री $1$ के एक बहुपद की तुलना $1$ से कम या उसके बराबर डिग्री के दूसरे बीजीय व्यंजक से की जाती है। विभिन्न प्रकार की रैखिक असमिकाओं को दर्शाने के कई उपाय/विधि हैं।

परिचय

इस लेख में, आइए रैखिक असमिकाओं , रैखिक असमिकाओं को हल करने, रैखिक असमिकाओं का आरेख बनाने के बारे में जानें।

रैखिक असमानताओं को ऐसे व्यंजकों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें असमिकाओं के प्रतीकों का उपयोग करके दो रैखिक व्यंजकों की तुलना की जाती है। रैखिक असमिकाओं को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले पाँच प्रतीक नीचे सूचीबद्ध हैं:


प्रतीक नाम	प्रतीक	उदाहरण
सम नही	≠	x ≠ 3
से कम	(<)	x + 7 < √2
से अधिक	(>)	1 + 10x > 2 + 16x
से कम या बराबर	(≤)	y ≤ 4
से बड़ा या बराबर	(≥)	-3 - √3x ≥ 10

हमें यह ध्यान रखना होगा कि यदि, $p<q$ , तो $p$ कुछ ऐसी संख्या है जो $q$ से बिल्कुल कम है। यदि $p\leqslant q$ , तो इसका मतलब है कि $p$ कुछ ऐसी संख्या है जो या तो $q$ से बिल्कुल कम है या $q$ के बिल्कुल बराबर है। इसी तरह, यही बात शेष दो असमिकाओं $>$ (से बड़ी) और $\geq$ (से बड़ी या बराबर) पर भी लागू होती है।

अब, मान लीजिए कि हमारे पास एक रैखिक असमिका है, $3x-4<20$ । इस स्थिति में $LHS<RHS$ । हम देख सकते हैं कि बाईं ओर का व्यंजक, यानी $3x-4$ वास्तव में दाईं ओर की संख्या से कम है, जो $20$ है। हम इस असमिका को एक तौलने वाले पैमाने पर चित्रात्मक रूप से इस प्रकार दर्शा सकते हैं:

रैखिक असमिकाओं के नियम

रैखिक असमिकाओं पर किए जाने वाले $4$ प्रकार के संक्रिया जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं। समान समाधान वाली रैखिक असमिकाओं को समतुल्य असमिका कहा जाता है। समानता और असमानता दोनों के लिए नियम हैं। नीचे दिए गए सभी नियम ( $\leq$ ) से कम या बराबर और ( $\geq$ ) से अधिक या बराबर वाली असमिकाओं के लिए भी सही हैं। रैखिक असमिकाओं को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आइए इन सभी ऑपरेशनों के लिए असमिका के कुछ महत्वपूर्ण नियमों को देखें।

रैखिक असमिकाओं का योग नियम:

रैखिक असमिकाओं के योग नियम के अनुसार, असमानता के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।

यदि $x>y$ , तो $x+a>y+a$ और यदि $x<y$ , तो $x+a<y+a$

रैखिक असमिकाओं का घटाव नियम:

रैखिक असमिकाओं के घटाव नियम के अनुसार, असमानता के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या घटाने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।

यदि $x>y$ , तो $x-a>y-a$ और यदि $x<y$ , तो $x-a<y-a$

रैखिक असमिकाओं का गुणन नियम:

रैखिक असमिकाओं के गुणन नियम के अनुसार, असमानता के दोनों पक्षों पर धनात्मक संख्या से गुणा करने पर हमेशा समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।

यदि $x>y$ तथा $a>0$ , तो $x\times a>y\times a$ तथा यदि $x<y$ तथा $a>0$ , तो $x\times a<y\times a,$ यहाँ, ' $\times$ ' का उपयोग गुणन चिह्न के रूप में किया जाता है।

दूसरी ओर, ऋणात्मक संख्या के साथ असमानता के दोनों पक्षों पर गुणन करने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न नहीं होती है, जब तक कि हम असमानता चिह्न की दिशा को उलट न दें।

यदि $x>y$ तथा $a<0$ , तो $x\times a<y\times a$ तथा यदि $x<y$ तथा $a<0$ , तो $x\times a>y\times a$ ।

रैखिक असमिकाओं का विभाजन नियम:

रैखिक असमिकाओं के विभाजन नियम के अनुसार, किसी असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या से विभाजित करने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता चिह्न नहीं बदलता है।

यदि $x>y$ तथा $a>0$ , तो ${\Bigl (}{\frac {x}{a}}{\Bigr )}>{\Bigl (}{\frac {y}{a}}{\Bigr )}$ तथा यदि $x<y$ तथा $a>0$ , तो ${\Bigl (}{\frac {x}{a}}{\Bigr )}<{\Bigl (}{\frac {y}{a}}{\Bigr )}$ ।

दूसरी ओर, यदि असमानता के प्रतीक को उलट दिया जाए, तो ऋणात्मक संख्या के साथ असमानता के दोनों पक्षों का विभाजन समतुल्य असमानता उत्पन्न करता है।

यदि $x>y$ तथा $a<0$ , तो ${\Bigl (}{\frac {x}{a}}{\Bigr )}<{\Bigl (}{\frac {y}{a}}{\Bigr )}$ तथा यदि $x<y$ तथा $a<0$ , तो ${\Bigl (}{\frac {x}{a}}{\Bigr )}>{\Bigl (}{\frac {y}{a}}{\Bigr )}$

महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

रैखिक असमिकाओं का अध्ययन करते समय याद रखने योग्य कुछ बिंदुओं की सूची यहां दी गई है:

रैखिक असमिकाओं के मामले में, $LHS$ और $RHS$ के बीच कम या अधिक जैसे कुछ अन्य संबंध मौजूद होते हैं।
रैखिक असमानता को चर की उच्चतम घात (घातांक) 1 होने के कारण ऐसा कहा जाता है।
"से कम" और "से अधिक" सख्त असमिकाएँ हैं जबकि "से कम या बराबर" और "से अधिक या बराबर" सख्त रैखिक असमिकाएँ नहीं हैं।
हर रैखिक असमानता के लिए जो सख्त रैखिक असमानता का उपयोग करती है, x के लिए प्राप्त मूल्य एक खोखले बिंदु द्वारा दिखाया जाता है। यह दर्शाता है कि प्राप्त मूल्य को बाहर रखा गया है।
हर रैखिक असमानता के लिए जो सख्त असमानता नहीं है, x के लिए प्राप्त मूल्य एक ठोस बिंदु द्वारा दिखाया गया है। यह दर्शाता है कि प्राप्त मूल्य शामिल है।

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-गणित में, असमानता तब होती है जब दो गणितीय अभिव्यक्तियों या दो संख्याओं के बीच एक गैर-बराबर तुलना की जाती है। सामान्य तौर पर, असमानताएँ या तो संख्यात्मक असमानता या बीजीय असमानता या दोनों का संयोजन हो सकती हैं। रैखिक असमानताएँ वे असमानताएँ हैं जिनमें कम से कम एक रैखिक बीजीय व्यंजक शामिल होता है, यानी, डिग्री 1 के एक बहुपद की तुलना 1 से कम या उसके बराबर डिग्री के दूसरे बीजीय व्यंजक से की जाती है। विभिन्न प्रकार की रैखिक असमानताओं को दर्शाने के कई तरीके हैं।
+गणित में, असमिकाएँ तब होती है जब दो गणितीय व्यंजकों या दो संख्याओं के बीच एक  असम तुलना की जाती है। सामान्यतः, असमिकाएँ या तो संख्यात्मक असमिकाएँ या बीजीय असमिकाएँ या दोनों का संयोजन हो सकती हैं। रैखिक असमिकाएँ वे असमिकाएँ हैं जिनमें न्यूनतम एक रैखिक बीजीय व्यंजक उपस्थित होता है, यानी, डिग्री <math>1</math> के एक [[बहुपद]] की तुलना <math>1</math> से कम या उसके बराबर डिग्री के दूसरे बीजीय व्यंजक से की जाती है। विभिन्न प्रकार की रैखिक असमिकाओं को दर्शाने के कई उपाय/विधि हैं।
-इस लेख में, आइए रैखिक असमानताओं, रैखिक असमानताओं को हल करने, रैखिक असमानताओं का ग्राफ़ बनाने के बारे में जानें।
+== परिचय ==
+इस लेख में, आइए रैखिक असमिकाओं , रैखिक असमिकाओं को हल करने, रैखिक असमिकाओं का  आरेख बनाने के बारे में जानें।
-रैखिक असमानताओं को ऐसे व्यंजकों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें असमानता प्रतीकों का उपयोग करके दो रैखिक व्यंजकों की तुलना की जाती है। रैखिक असमानताओं को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले पाँच प्रतीक नीचे सूचीबद्ध हैं:
+रैखिक असमानताओं को ऐसे व्यंजकों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें असमिकाओं के प्रतीकों का उपयोग करके दो रैखिक व्यंजकों की तुलना की जाती है। रैखिक असमिकाओं को दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले पाँच प्रतीक नीचे सूचीबद्ध हैं:
 {| class="wikitable"
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-!Symbol Name
+!प्रतीक नाम
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-!Example
+!उदाहरण
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+|सम नही
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 |x ≠ 3
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+|से कम
 |(<)
 |x + 7 < √2
 |-
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+|से अधिक
 |(>)
 |1 + 10x > 2 + 16x
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+|से कम या बराबर
 |(≤)
 |y ≤ 4
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+|से बड़ा या बराबर
 |(≥)
 | -3 - √3x ≥ 10
 |}
-हमें यह ध्यान रखना होगा कि यदि, p < q, तो p कुछ ऐसी संख्या है जो q से बिल्कुल कम है। यदि p ≤ q, तो इसका मतलब है कि p कुछ ऐसी संख्या है जो या तो q से बिल्कुल कम है या q के बिल्कुल बराबर है। इसी तरह, यही बात शेष दो असमानताओं > (से बड़ी) और ≥ (से बड़ी या बराबर) पर भी लागू होती है।
+हमें यह ध्यान रखना होगा कि यदि, <math>p < q</math>, तो <math>p </math> कुछ ऐसी [[संख्या]] है जो <math>q </math> से बिल्कुल कम है। यदि <math>p\leqslant q</math>, तो इसका मतलब है कि <math>p </math> कुछ ऐसी संख्या है जो या तो <math>q </math> से बिल्कुल कम है या <math>q </math> के बिल्कुल बराबर है। इसी तरह, यही बात शेष दो असमिकाओं <math>></math> (से बड़ी) और <math>\geq</math> (से बड़ी या बराबर) पर भी लागू होती है।
-अब, मान लीजिए कि हमारे पास एक रैखिक असमानता है, 3x - 4 < 20। इस मामले में LHS < RHS। हम देख सकते हैं कि बाईं ओर का व्यंजक, यानी 3x - 4 वास्तव में दाईं ओर की संख्या से कम है, जो 20 है। हम इस असमानता को एक तौलने वाले पैमाने पर चित्रात्मक रूप से इस प्रकार दर्शा सकते हैं:
+अब, मान लीजिए कि हमारे पास एक रैखिक असमिका है, <math>3x - 4 < 20</math>। इस स्थिति में <math>LHS < RHS</math>। हम देख सकते हैं कि बाईं ओर का व्यंजक, यानी <math>3x - 4</math> वास्तव में दाईं ओर की संख्या से कम है, जो <math>20</math> है। हम इस असमिका को एक तौलने वाले पैमाने पर चित्रात्मक रूप से इस प्रकार दर्शा सकते हैं:
-== रैखिक असमानताओं के नियम ==
+== रैखिक असमिकाओं के नियम ==
-रैखिक असमानताओं पर किए जाने वाले 4 प्रकार के ऑपरेशन जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं। समान समाधान वाली रैखिक असमानताओं को समतुल्य असमानता कहा जाता है। समानता और असमानता दोनों के लिए नियम हैं। नीचे दिए गए सभी नियम (≤) से कम या बराबर और (≥) से अधिक या बराबर वाली असमानताओं के लिए भी सही हैं। रैखिक असमानताओं को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आइए इन सभी ऑपरेशनों के लिए असमानता के कुछ महत्वपूर्ण नियमों को देखें।
+रैखिक असमिकाओं पर किए जाने वाले <math>4 </math> प्रकार के  संक्रिया जोड़, घटाव, गुणा और भाग हैं। समान समाधान वाली रैखिक असमिकाओं को समतुल्य असमिका कहा जाता है। समानता और असमानता दोनों के लिए नियम हैं। नीचे दिए गए सभी नियम (<math>\leq</math>) से कम या बराबर और (<math>\geq</math>) से अधिक या बराबर वाली असमिकाओं के लिए भी सही हैं। रैखिक असमिकाओं को हल करने का तरीका सीखने से पहले, आइए इन सभी ऑपरेशनों के लिए असमिका के कुछ महत्वपूर्ण नियमों को देखें।
-रैखिक असमानताओं का योग नियम:
+=== रैखिक असमिकाओं का योग नियम: ===
+रैखिक असमिकाओं के योग नियम के अनुसार, असमानता के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।
-रैखिक असमानताओं के योग नियम के अनुसार, असमानता के प्रत्येक पक्ष में समान संख्या जोड़ने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।
+यदि <math>x > y</math>, तो <math>x + a > y + a</math> और यदि <math>x < y</math>, तो <math>x + a < y + a</math>
-यदि x > y, तो x + a > y + a और यदि x < y, तो x + a < y + a.
+=== रैखिक असमिकाओं का घटाव नियम: ===
+रैखिक असमिकाओं के घटाव नियम के अनुसार, असमानता के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या घटाने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।
-रैखिक असमानताओं का घटाव नियम:
+यदि <math>x > y</math>, तो <math>x-a > y- a</math> और यदि <math>x < y</math>, तो <math>x -a < y-a</math>
-रैखिक असमानताओं के घटाव नियम के अनुसार, असमानता के प्रत्येक पक्ष से समान संख्या घटाने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।
+=== रैखिक असमिकाओं का गुणन नियम: ===
+रैखिक असमिकाओं के गुणन नियम के अनुसार, असमानता के दोनों पक्षों पर धनात्मक संख्या से गुणा करने पर हमेशा समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।
-यदि x > y, तो x − a > y − a और यदि x < y, तो x − a < y − a.
+यदि <math>x > y</math> तथा <math>a > 0</math>, तो <math>x \times a > y \times a</math> तथा यदि <math>x < y</math> तथा <math>a > 0</math>, तो <math>x \times a < y \times a,</math> यहाँ, '<math>\times</math>' का उपयोग गुणन चिह्न के रूप में किया जाता है।
-रैखिक असमानताओं का गुणन नियम:
+दूसरी ओर, ऋणात्मक संख्या के साथ असमानता के दोनों पक्षों पर गुणन करने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न नहीं होती है, जब तक कि हम असमानता चिह्न की दिशा को उलट न दें।
-रैखिक असमानताओं के गुणन नियम के अनुसार, असमानता के दोनों पक्षों पर धनात्मक संख्या से गुणा करने पर हमेशा समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता का प्रतीक नहीं बदलता है।
+यदि <math>x > y</math> तथा <math>a < 0</math>, तो <math>x \times a < y \times a</math> तथा यदि <math>x < y</math> तथा <math>a < 0</math>, तो <math>x \times a > y \times a</math>।
-यदि x > y तथा a > 0, तो x × a > y × a तथा यदि x < y तथा a > 0, तो x × a < y × a, यहाँ, × का उपयोग गुणन चिह्न के रूप में किया जाता है।
+=== रैखिक असमिकाओं का विभाजन नियम: ===
+रैखिक असमिकाओं के विभाजन नियम के अनुसार, किसी असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या से विभाजित करने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता चिह्न नहीं बदलता है।
-दूसरी ओर, ऋणात्मक संख्या के साथ असमानता के दोनों पक्षों पर गुणन करने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न नहीं होती है, जब तक कि हम असमानता चिह्न की दिशा को उलट न दें।
+यदि <math>x > y</math> तथा <math>a > 0</math>, तो <math>\Bigl(\frac{x}{a} \Bigr)> \Bigl(\frac{y}{a}\Bigr)</math> तथा यदि <math>x < y</math> तथा <math>a > 0</math>, तो <math>\Bigl(\frac{x}{a} \Bigr)< \Bigl(\frac{y}{a}\Bigr)</math>।
-यदि x > y तथा a < 0, तो x × a < y × a तथा यदि x < y तथा a < 0, तो x × a > y × a।
+दूसरी ओर, यदि असमानता के प्रतीक को उलट दिया जाए, तो ऋणात्मक संख्या के साथ असमानता के दोनों पक्षों का विभाजन समतुल्य असमानता उत्पन्न करता है।
-रैखिक असमानताओं का विभाजन नियम:
+यदि <math>x > y</math> तथा <math>a < 0</math>, तो <math>\Bigl(\frac{x}{a} \Bigr)< \Bigl(\frac{y}{a}\Bigr)</math> तथा यदि <math>x < y</math> तथा <math>a < 0</math>, तो <math>\Bigl(\frac{x}{a} \Bigr)> \Bigl(\frac{y}{a}\Bigr)</math>
-रैखिक असमानताओं के विभाजन नियम के अनुसार, किसी असमानता के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या से विभाजित करने पर समतुल्य असमानता उत्पन्न होती है, अर्थात असमानता चिह्न नहीं बदलता है।
+== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
+रैखिक असमिकाओं का अध्ययन करते समय याद रखने योग्य कुछ बिंदुओं की सूची यहां दी गई है:
-यदि x > y तथा a > 0, तो (x/a) > (y/a) तथा यदि x < y तथा a > 0, तो (x/a) < (y/a)।
+* रैखिक असमिकाओं के मामले में, <math>LHS</math> और <math>RHS</math> के बीच कम या अधिक जैसे कुछ अन्य संबंध मौजूद होते हैं।
+* रैखिक असमानता को चर की उच्चतम घात (घातांक) 1 होने के कारण ऐसा कहा जाता है।
-दूसरी ओर, यदि असमानता के प्रतीक को उलट दिया जाए, तो ऋणात्मक संख्या के साथ असमानता के दोनों पक्षों का विभाजन समतुल्य असमानता उत्पन्न करता है।
+* "से कम" और "से अधिक" सख्त असमिकाएँ हैं जबकि "से कम या बराबर" और "से अधिक या बराबर" सख्त रैखिक असमिकाएँ नहीं हैं।
+* हर रैखिक असमानता के लिए जो सख्त रैखिक असमानता का उपयोग करती है, x के लिए प्राप्त मूल्य एक खोखले बिंदु द्वारा दिखाया जाता है। यह दर्शाता है कि प्राप्त मूल्य को बाहर रखा गया है।
+* हर रैखिक असमानता के लिए जो सख्त असमानता नहीं है, x के लिए प्राप्त मूल्य एक ठोस बिंदु द्वारा दिखाया गया है। यह दर्शाता है कि प्राप्त मूल्य शामिल है।
-यदि x > y तथा a < 0, तो (x/a) < (y/a) तथा यदि x < y तथा a < 0, तो (x/a) > (y/a)
 [[Category:रैखिक असमिकाएँ]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]