धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय

धनात्मक समाकलन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय बताता है कि किसी विस्तार में पदों की कुल संख्या प्रायः विस्तार के पूर्णांक से एक अधिक होती है।

उदाहरण के लिए, $(a+b)^{n}$ के विस्तार में, पदों की संख्या $n+1$ है, जहाँ $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक है।

द्विपद प्रमेय यह भी बताता है कि $(a+b)^{n}$ के रूप के पद को $r^{s}b^{t}$ के रूप में कैसे विस्तारित और व्यक्त किया जाए, जहां घातांक $s$ और $t$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं जो शर्त $s+t=n$ को संतुष्ट करते हैं।

द्विपद प्रमेय का उपयोग $(x+y)^{n}$ को विस्तारित करने के लिए किया जा सकता है, जहाँ $n$ कोई भी परिमेय संख्या है।

धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय

आइए पूर्व में की गई निम्नलिखित सर्वसमिकाओं पर हम विचार करें:

$(a+b)^{0}=1;a+b\neq 0$

$(a+b)^{1}=a+b$

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$(a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$

इन प्रसारों में हम देखते हैं कि

(i) प्रसार में पदों की कुल संख्या, घातांक से $1$ अधिक है। उदाहरणत: $(a+b)^{2}$ के प्रसार में $(a+b)^{2}$ का घात $2$ है जबकि प्रसार में कुल पदों की संख्या $3$ है।

(ii) प्रसार के उत्तरोत्तर पदों में प्रथम की घातें एक के क्रम से घट रही हैं जबकि द्वितीय राशि $b$ की घातें एक के क्रम से बढ़ रही हैं।

(iii) प्रसार के प्रत्येक पद में $a$ तथा $b$ की घातों का योग समान है और $a+b$ की घात के बराबर है।

अब हम $a+b$ के उपरोक्त विस्तारों में विभिन्न पदों के गुणांकों को निम्न प्रकार व्यवस्थित करते हैं (चित्र- 1)

चित्र-1 धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय

क्या हम इस सारणी में अगली पंक्ति लिखने के लिए किसी प्रतिरूप का अवलोकन करते हैं? हाँ। यह देखा जा सकता है कि घात $1$ की पंक्ति में लिखे $1$ और $1$ का योग घात $2$ की पंक्ति के लिए $2$ देता है । घात $2$ की पंक्ति में लिखे $1$ और $2$ तथा $2$ और $1$ का योग घात $3$ की पंक्ति के लिए $3$ और $3$ देता है और आगे भी इसी प्रकार $1$ पुनः प्रत्येक पंक्ति के प्रारंभ व अंत में स्थित है। इस प्रक्रिया को किसी भी इच्छित घात तक के लिए लिखा जा सकता है।

पास्कल त्रिभुज द्विपद विस्तार

द्विपद गुणांक $(x+y)^{n}$ के विस्तार में चर $x$, और $y$ से जुड़ी संख्याएँ हैं। द्विपद गुणांक $^{n}C_{0},^{n}C_{1},^{n}C_{2},....$के रूप में दर्शाए जाते हैं। द्विपद गुणांक पास्कल त्रिभुज के माध्यम से या संयोजन सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं।

उदाहरण

उपरोक्त विस्तार का उपयोग करके, हम आसानी से के मान ज्ञात कर सकते हैं,

$(105)^{2}=$

$=(100+5)^{2}$

$=100^{2}+2\times 100\times 5+5^{2}$

$=10000+1000+25$

$=11025$

इसी प्रकार,

$(101)^{3}=$

$=(100+1)^{3}$

$=100^{3}+3\times 100^{2}\times 1+3\times 100\times 1^{2}+1^{3}$

$=1000000+30000+300+1$

$=1030301$

लेकिन, निम्नलिखित मानो का ज्ञात करना

$(102)^{6},(99)^{5}$

पुनरावर्ती गुणन करने पर यह कठिन हो जाता है। इसे द्विपद प्रमेय नामक प्रमेय से आसान बनाया जा सकता है।

चित्र-2 धनात्मक समाकलन गुणांक

(चित्र-2) धनात्मक समाकलन गुणांकों के लिए द्विपद प्रमेय का संक्षिप्त परिचय है।

गुणधर्म

द्विपद प्रमेय के कुछ गुण यहां दिए गए हैं:

• पद से पद तक, $a$ के घातांक $1$ से घटते हैं, जबकि $b$ के घातांक $1$ से बढ़ते हैं।
• $^{n}C_{r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$, जहाँ $n$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है और $0\leq r\leq n$
• $^{n}C_{n}$और $^{n}C_{0}$ का मान $1$ के बराबर है।

• $(x+y)^{n}$ के द्विपद प्रसार में गुणांकों की संख्या $(n+1)$ के बराबर है।
• $(x+y)^{n}$ के प्रसार में $(n+1)$ पद हैं।

• पहला और अंतिम पद क्रमशः $x^{n}$ और $y^{n}$ हैं।
• $(x+a)^{n}$ के प्रसार की शुरुआत से, $x$ की घातें $n$ से $0$ तक घटती हैं, और $a$ की घातें $0$ से $n$ तक बढ़ती हैं।
• $(x+y)^{n}$ के प्रसार में सामान्य पद $(r+1)$वाँ पद है जिसे $T$_r+1 , $T$_r+1 $=^{n}C_{r}$$x$^n-r$y^{r}$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
• विस्तार में द्विपद गुणांक एक सरणी में व्यवस्थित होते हैं, जिसे पास्कल का त्रिभुज कहा जाता है। विकसित इस पैटर्न को द्विपद प्रमेय सूत्र द्वारा सारांशित किया जाता है।
• $(x+y)^{n}$ के द्विपद प्रसार में, अंत से $r$वाँ पद शुरुआत से $(n-r+2)$वाँ पद है।
• यदि $n$ सम है, तो $(x+y)^{n}$ में मध्य पद $=\left({\frac {n}{2}}\right)+1$ है और यदि $n$ विषम है, तो $(x+y)^{n}$ में मध्य पद ${\frac {(n+1)}{2}}$ और${\frac {(n+3)}{2}}$ हैं।