गुणोत्तर माध्य

गुणोत्तर माध्य (GM) औसत मान या माध्य है जो संख्याओं के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति को उनके मानों का गुणनफल ज्ञात करके दर्शाता है। गणित और सांख्यिकी में, केंद्रीय प्रवृत्तियों के माप पूरे आंकड़ों के समुच्चय मानों के सारांश का वर्णन करते हैं। केंद्रीय प्रवृत्तियों के सबसे महत्वपूर्ण माप माध्य, माध्यिका, बहुलक और श्रेणी हैं। इनमें से, आंकड़ों के समुच्चय का माध्य आंकड़ों का समग्र विचार प्रदान करता है। माध्य आंकड़ों के समुच्चय में संख्याओं के औसत को परिभाषित करता है। माध्य के विभिन्न प्रकार समांतर माध्य (AM), गुणोत्तर माध्य (GM) और हरात्मक(हार्मोनिक) माध्य (HM) हैं।

इस लेख में, आइए गुणोत्तर माध्य की परिभाषा, सूत्र, गुण और अनुप्रयोगों पर चर्चा करें और अंत में हल किए गए उदाहरणों के साथ AM, GM और HM के बीच संबंध पर भी चर्चा करें।

परिभाषा

गुणोत्तर माध्य (GM) औसत मान या माध्य है जो संख्याओं के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति को उनके मानों के गुणनफल का मूल लेकर दर्शाता है। मूल रूप से, हम '$n$' मानों को एक साथ गुणा करते हैं और संख्याओं का $n$वाँ मूल निकालते हैं, जहाँ $n$ मानों की कुल संख्या है। उदाहरण के लिए: $8$ और $1$ जैसी दो संख्याओं के दिए गए समुच्चय के लिए, गुणोत्तर माध्य ${\sqrt {(8\times 1)}}={\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}$ के बराबर है।

इस प्रकार, गुणोत्तर माध्य को $n$ संख्याओं के गुणनफल के $n$वाँ मूल के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। ध्यान दें कि यह गुणोत्तर माध्य से अलग है। गुणोत्तर माध्य में, आंकड़ों के मानों को जोड़ा जाता है और फिर कुल मानों से विभाजित किया जाता है। लेकिन गुणोत्तर माध्य में, दिए गए आंकड़ों के मानों को गुणा किया जाता है, और फिर आप आंकड़ों के मानों के अंतिम गुणनफल के लिए मूलांक के साथ मूल लेते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो आंकड़ों के मान हैं, तो वर्गमूल लें, या यदि आपके पास तीन आंकड़ों के मान हैं, तो घनमूल लें, या यदि आपके पास चार आंकड़ों के मान हैं, तो चौथा मूल लें, और इसी प्रकार आगे भी।

गुणोत्तर माध्य सूत्र

$n$ प्रेक्षणों वाले आंकड़ों के समुच्चय का गुणोत्तर माध्य (GM) मानों के गुणनफल का $n$वाँ मूल होता है। मान लीजिए, यदि $x_{1},x_{2},..,x_{n}$वे प्रेक्षण हैं, जिनके लिए हम गुणोत्तर माध्य की गणना करना चाहते हैं। गुणोत्तर माध्य की गणना करने का सूत्र नीचे दिया गया है:

$GM={\sqrt {x_{1}\cdot x_{2}\cdot ..\cdot x_{n}}}$

या

$GM=(x_{1}\cdot x_{2}\cdot ..\cdot x_{n})^{\frac {1}{n}}$

इसे इस प्रकार भी दर्शाया जाता है:

$GM={\sqrt {\prod _{i=1}}}^{n}X_{i}$

दोनों तरफ़ से लघुगणक लेते हुए,

$\log GM=\log(x_{1}\cdot x_{2}\cdot ..\cdot x_{n})^{\frac {1}{n}}$

$=\left({\frac {1}{n}}\right)\log(x_{1}\cdot x_{2}\cdot ..\cdot x_{n})$

$=\left({\frac {1}{n}}\right)[\log x_{1}+\log x_{2}+..+\log x_{n}]$

$={\frac {{\Bigl (}\sum \log x_{i}{\Bigr )}}{n}}$

इसलिए, ज्यामितीय माध्य, $GM=Antilog{\frac {{\Bigl (}\sum \log x_{i}{\Bigr )}}{n}}$

यह GM का एक वैकल्पिक सूत्र है (जो छवि में दिए गए सूत्र के समान है)।

टिप्पणी : किसी भी समूहीकृत आंकड़ों के लिए, GM की गणना निम्न का उपयोग करके की जा सकती है:

$GM=Antilog{\frac {{\Bigl (}\sum \ flogx_{i}{\Bigr )}}{n}}$, जहाँ $n=f_{1}+f_{2}+...+f_{n}$।

AM, GM और HM के बीच संबंध

AM, GM और HM के बीच संबंध जानने से पहले, हमें इन तीनों प्रकार के माध्य के सूत्रों को जानना होगा। मान लें कि “$a$” और “$b$” दो संख्याएँ हैं और मानों की संख्या $=2$ है, तो

$AM={\frac {(a+b)}{2}}$

$\Rightarrow {\frac {1}{AM}}={\frac {2}{(a+b)}}...(i)$

$GM={\sqrt {(ab)}}$

$\Rightarrow GM^{2}=ab...(ii)$

$HM={\frac {2}{[\left({\frac {1}{a}}\right)+\left({\frac {1}{b}}\right)]}}$

$\Rightarrow HM={\frac {2}{[{\frac {(a+b)}{ab}}]}}$

$\Rightarrow HM={\frac {2ab}{(a+b)}}...(iii)$

अब, (iii) में (i) और (ii) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$HM=GM^{2}/AM$

$\Rightarrow GM^{2}=AM\times HM$

या फिर,

$GM={\sqrt {[AM\times HM]}}$

इसलिए, AM, GM और HM के बीच संबंध $GM^{2}=AM\times HM$ है। इसलिए गुणोत्तर माध्य का वर्ग समांतर माध्य और हरात्मक माध्य के गुणनफल के बराबर होता है।

आइए यह भी देखें कि दिए गए आंकड़ों के समुच्चय के लिए GM सदैव आंकड़ों के समुच्चय के समांतर माध्य से कम क्यों होता है। मान लें कि $A$ और $G$, AM और GM हैं।

तो,

$A={\frac {(a+b)}{2}}$ और $G={\sqrt {ab}}$

अब आइए दोनों समीकरणों को घटाएँ

$A-G={\frac {(a+b)}{2}}-{\sqrt {ab}}={\frac {(a+b-2{\sqrt {ab}})}{2}}={\frac {({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}}{2}}\geq 0$

$A-G\geq 0$

यह दर्शाता है कि $A\geq G$