शंकु के परिच्छेद

शंकु खंड या शंकु के परिच्छेद, एक समतल और शंकु के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त वक्र हैं। शंकु या शंकु के परिच्छेद के तीन प्रमुख परिच्छेद हैं: परवलय, अतिपरवलय और दीर्घवृत्त (वृत्त एक विशेष प्रकार का दीर्घवृत्त है)। शंकु के परिच्छेद का निर्माण करने के लिए दो समान नैप्स (nappes) वाले शंकु का उपयोग किया जाता है।

शंकु या शंकु के परिच्छेद के सभी परिच्छेदों के आकार अलग-अलग होते हैं, लेकिन उनमें कुछ सामान्य गुण होते हैं, जिनके बारे में हम निम्नलिखित अनुभागों में पढ़ेंगे।

परिभाषा

शंकु के परिच्छेद वे वक्र हैं जो तब प्राप्त होते हैं जब एक समतल शंकु से गुजरता है। एक शंकु में साधारणतः दो समान शंक्वाकार आकृतियाँ होती हैं जिन्हें नैप्स कहा जाता है। समतल और शंकु तथा उसके नैप्स के बीच कट के कोण के आधार पर हम विभिन्न आकृतियाँ प्राप्त कर सकते हैं। एक शंकु को समतल द्वारा विभिन्न कोणों पर काटने पर, हमें निम्नलिखित आकृतियाँ प्राप्त होती हैं:

• वृत्त
• परवलय
• दीर्घवृत्त
• अतिपरवलय

दीर्घवृत्त एक शंकु परिच्छेद है जो तब बनता है जब एक समतल शंकु को एक कोण पर काटता है। वृत्त एक विशेष प्रकार का दीर्घवृत्त है जहाँ काटने वाला समतल शंकु के आधार के समानांतर होता है। अतिपरवलय(हाइपरबोला) तब बनता है जब प्रभावशाली समतल शंकु की धुरी के समानांतर होता है और दोहरे शंकु के दोनों नैप्स को काटता है। जब प्रतिच्छेद करने वाला समतल शंकु की सतह को एक कोण पर काटता है, तो हमें परवलय नामक एक शंकु परिच्छेद मिलता है।

चित्र- शंकु के परिच्छेद

शंकु के परिच्छेद मापदंड

नाभि(फोकस), नियता(डायरेक्ट्रिक्स) और उत्केन्द्रता(एक्सेंट्रिसिटी) तीन महत्वपूर्ण विशेषताएं या पैरामीटर हैं जो शंकु को परिभाषित करते हैं। विभिन्न शंकु आकृतियाँ वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय हैं। इन आकृतियों का आकार और अभिविन्यास(ओरिएंटेशन) पूरी तरह से इन तीन महत्वपूर्ण विशेषताओं पर आधारित है।

शंकु के परिच्छेद सूत्र

यहाँ दी गई तालिका में शंकु के विभिन्न प्रकार के अनुभागों के लिए सूत्र देखें।

वृत्त	$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$	केंद्र (a,b) है त्रिज्या r है
क्षैतिज दीर्घ अक्ष के साथ दीर्घवृत्त	${\frac {(x-a)^{2}}{h^{2}}}+{\frac {(y-b)^{2}}{k^{2}}}=1$	केंद्र (a, b) है प्रमुख अक्ष की लंबाई 2h है। लघु अक्ष की लंबाई 2k है। केंद्र और किसी भी फोकस के बीच की दूरी c है जिसमें c2=h2−k2, h>k>0 है
ऊर्ध्वाधर दीर्घ अक्ष के साथ दीर्घवृत्त	${\frac {(x-a)^{2}}{k^{2}}}+{\frac {(y-b)^{2}}{h^{2}}}=1$
क्षैतिज अनुप्रस्थ अक्ष के साथ अतिपरवलय	${\frac {(x-a)^{2}}{h^{2}}}-{\frac {(y-b)^{2}}{k^{2}}}=1$
ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ अक्ष के साथ अतिपरवलय	${\frac {(x-a)^{2}}{k^{2}}}-{\frac {(y-b)^{2}}{h^{2}}}=1$
क्षैतिज अक्ष के साथ परवलय	$(y-b)^{2}=4p(x-a),p\neq 0$
ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ परवलय	$(x-a)^{2}=4p(y-b),p\neq 0$

वृत्त	केंद्र $(a,b)$ है त्रिज्या $r$ है	$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
क्षैतिज दीर्घ अक्ष के साथ दीर्घवृत्त	केंद्र $(a,b)$ है दीर्घ अक्ष की लंबाई $2h$है। लघु अक्ष की लंबाई $2k$है। केंद्र और किसी भी नाभि के बीच की दूरी c है जिसमें $c^{2}=h^{2}-k^{2},h>k>0$ है	${\frac {(x-a)^{2}}{h^{2}}}+{\frac {(y-b)^{2}}{k^{2}}}=1$
ऊर्ध्वाधर दीर्घ अक्ष के साथ दीर्घवृत्त		${\frac {(x-a)^{2}}{k^{2}}}+{\frac {(y-b)^{2}}{h^{2}}}=1$
क्षैतिज अनुप्रस्थ अक्ष के साथ अतिपरवलय		${\frac {(x-a)^{2}}{h^{2}}}-{\frac {(y-b)^{2}}{k^{2}}}=1$
ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ अक्ष के साथ अतिपरवलय