नाभिलंब जीवा: Difference between revisions

Revision as of 19:55, 22 November 2024

गणित में, शंकु के परिच्छेद को एक वक्र के रूप में दर्शाया जाता है जो हमें शंकु की सतह के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होता है। शंकु के परिच्छेद के विभिन्न प्रकार हैं। ये परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय हैं। इन वक्रों को दर्शाने के लिए, कई महत्वपूर्ण शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि नाभि(फोकस), नियता(डायरेक्ट्रिक्स), नाभिलंब जीवा(लैटस रेक्टम ),बिन्दुपथ(लोकस), अनंतस्पर्शी(एसिम्टोटे), आदि। इस लेख में, हम नाभिलंब जीवा, परिभाषाएँ, नाभिलंब जीवा उदाहरण और शंकु के परिच्छेद के नाभिलंब जीवा के बारे में अध्ययन करेंगे।

शंकु के परिच्छेद के नाभिलंब जीवा को जीवा के रूप में बताया गया है जो फोकस से होकर गुजरती है और प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है और इसमें वक्र पर दोनों अंत बिंदु उपस्थित होते हैं।

प्रत्येक शंकु के परिच्छेद के लिए नाभिलंब जीवा की लंबाई अलग-अलग निर्दिष्ट की जाती है:
एक वृत्त में नाभिलंब जीवा की लंबाई हमेशा एक वृत्त में व्यास की लंबाई के बराबर होती है।
एक परवलय में नाभिलंब जीवा की लंबाई फोकल लंबाई के चार गुना के बराबर होती है।
अतिपरवलय में नाभिलंब जीवा की लंबाई अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई के वर्ग के दोगुने और संयुग्मी अक्ष की लंबाई के बराबर होती है।

परिभाषा

शंकु के परिच्छेद में, नाभिलंब जीवा नाभि के माध्यम से खींचा गया जीवा(कॉर्ड) है और डायरेक्ट्रिक्स के समानांतर है। लेटस शब्द लैटिन शब्द "लेटस" से लिया गया है जिसका अर्थ है पक्ष और "रेक्टम" शब्द का अर्थ है सीधा। नाभिलंब जीवा का आधा हिस्सा सेमी-नाभिलंब जीवा के रूप में जाना जाता है। नीचे दिया गया आरेख एक परवलय के नाभिलंब जीवा को दर्शाता है।

चित्र- नाभिलंब जीवा

परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई

आइए हम परवलय $y^{2}=4ax$ के नाभिलंब जीवा की लंबाई को $L$ और $L'$ के रूप में लें। $L$ और $L'$ के $x$ निर्देशांक “ $a$ ” के बराबर हैं क्योंकि $S=(a,0)$

आइए हम मान लें $L=(a,b)$

जैसा कि हम जानते हैं, L परवलय का बिंदु है। तदनुसार, हमारे पास है

$b^{2}=4a(a)=4a^{2}$

बाएं और दाएं दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर, हमें b बराबर ± 2a मिलता है

इसलिए, परवलय के नाभिलंब जीवा के सिरे L = (a, 2a) और L’ (a, -2a) हैं

इस प्रकार, परवलय $L$ $L''$ के नाभिलंब जीवा की लंबाई $4a$ है।

हाइपरबोला के नाभिलंब जीवा की लंबाई

हाइपरबोला के नाभिलंब जीवा को दीर्घवृत्त और परवलय के मामले में सममित रूप से परिभाषित किया जाता है।

परवलय के नाभि-रेक्टम के अंत को (ae, ± b2/ a2) कहा जाता है और नाभि-रेक्टम की लंबाई को 2b2/a कहा जाता है।

table

नाभिलंब जीवा हल किए गए उदाहरण

1. नाभिलंब जीवा की लंबाई क्या होगी जिसका परवलय समीकरण y2= 12x है

समाधान:

y2 = 2x

y2 = 4 (3) x

चूँकि y2 = 4ax परवलय का समीकरण है, इसलिए हमें a का मान प्राप्त होता है।

इसलिए, a=3 का मान

इस प्रकार, परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 4a= 4(3) = 12 है।

2. निम्नलिखित परवलय x2 = - 4y के नाभिलंब जीवा की लंबाई क्या होगी।

समाधान: ऊपर दिए गए समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि परवलय Y-अक्ष के बारे में सममित है और यह नीचे की ओर खुला है।

x2 = - 4y

x2 = - 4ay

4a = 4

इस प्रकार, दिए गए परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 4 इकाई है।

3. निम्नलिखित परवलय x2- 2x + 8y + 17= 0 के नाभिलंब जीवा की लंबाई की गणना करें।

समाधान: a का मान निकालने के लिए, हम पहले उपरोक्त समीकरण को मानक रूप में बदलेंगे।

x2 - 2x = - 8y -17= 0

x2 - 2x (1) + 12 -12= - 8y -17

(x - 1)2 = - 8y - 17 + 1

(x - 1)2 = - 8y - 16

(x - 1)2 = - 8 (y + 2)

इस समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दिया गया परवलय y-अक्ष के बारे में सममित है और यह ऊपर की ओर खुला है।

नाभिलंब जीवा की लंबाई = 4a

4a = 8

इस प्रकार, दिए गए परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 8 इकाई है।

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-गणित में, शंकु खंड को एक वक्र के रूप में दर्शाया जाता है जो हमें शंकु की सतह के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होता है। शंकु खंड के विभिन्न प्रकार हैं। ये परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय हैं। इन वक्रों को दर्शाने के लिए, कई महत्वपूर्ण शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि फोकस, डायरेक्ट्रिक्स, लैटस रेक्टम, लोकस, एसिम्टोटे, आदि। इस लेख में, हम लैटस रेक्टम, लैटस रेक्टम परिभाषाएँ, लैटस रेक्टम उदाहरण और शंकु खंडों के लैटस रेक्टम के बारे में अध्ययन करेंगे।
+गणित में, शंकु के परिच्छेद को एक वक्र के रूप में दर्शाया जाता है जो हमें शंकु की सतह के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होता है। [[शंकु के परिच्छेद]] के विभिन्न प्रकार हैं। ये परवलय, [[दीर्घवृत्त]] और [[अतिपरवलय]] हैं। इन वक्रों को दर्शाने के लिए, कई महत्वपूर्ण शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि नाभि(फोकस), नियता(डायरेक्ट्रिक्स), नाभिलंब जीवा(लैटस रेक्टम ),बिन्दुपथ(लोकस), अनंतस्पर्शी(एसिम्टोटे), आदि। इस लेख में, हम नाभिलंब जीवा, परिभाषाएँ, नाभिलंब जीवा उदाहरण और शंकु के परिच्छेद के नाभिलंब जीवा के बारे में अध्ययन करेंगे।
-शंकु खंड के लैटस रेक्टम को जीवा के रूप में बताया गया है जो फोकस से होकर गुजरती है और प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है और इसमें वक्र पर दोनों अंत बिंदु शामिल होते हैं।
+शंकु के परिच्छेद के नाभिलंब जीवा को जीवा के रूप में बताया गया है जो फोकस से होकर गुजरती है और प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है और इसमें वक्र पर दोनों अंत बिंदु उपस्थित होते हैं।
-प्रत्येक शंकु खंड के लिए लैटस रेक्टम की लंबाई अलग-अलग निर्दिष्ट की जाती है:
+* प्रत्येक शंकु के परिच्छेद के लिए नाभिलंब जीवा की लंबाई अलग-अलग निर्दिष्ट की जाती है:
+* एक [[वृत्त]] में नाभिलंब जीवा  की लंबाई हमेशा एक वृत्त में व्यास की लंबाई के बराबर होती है।
-एक वृत्त में लैटस रेक्टम की लंबाई हमेशा एक वृत्त में व्यास की लंबाई के बराबर होती है।
+* एक परवलय में नाभिलंब जीवा  की लंबाई फोकल लंबाई के चार गुना के बराबर होती है।
+* अतिपरवलय में नाभिलंब जीवा  की लंबाई अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई के वर्ग के दोगुने और संयुग्मी अक्ष की लंबाई के बराबर होती है।
-एक परवलय में लैटस रेक्टम की लंबाई फोकल लंबाई के चार गुना के बराबर होती है।
-हाइपरबोला में लैटस रेक्टम की लंबाई अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई के वर्ग के दोगुने और संयुग्मी अक्ष की लंबाई के बराबर होती है।
 == परिभाषा ==
-शंकु खंड में, लेटस रेक्टम फोकस के माध्यम से खींचा गया कॉर्ड है और डायरेक्ट्रिक्स के समानांतर है। लेटस शब्द लैटिन शब्द "लेटस" से लिया गया है जिसका अर्थ है पक्ष और "रेक्टम" शब्द का अर्थ है सीधा। लेटस रेक्टम का आधा हिस्सा सेमी-लेटस रेक्टम के रूप में जाना जाता है। नीचे दिया गया आरेख एक परवलय के लेटस रेक्टम को दर्शाता है।
+शंकु के परिच्छेद में, नाभिलंब जीवा नाभि के माध्यम से खींचा गया जीवा(कॉर्ड) है और डायरेक्ट्रिक्स के समानांतर है। लेटस शब्द लैटिन शब्द "लेटस" से लिया गया है जिसका अर्थ है पक्ष और "रेक्टम" शब्द का अर्थ है सीधा। नाभिलंब जीवा का आधा हिस्सा सेमी-नाभिलंब जीवा के रूप में जाना जाता है। नीचे दिया गया आरेख एक परवलय के नाभिलंब जीवा को दर्शाता है।
+[[File:नाभिलंब जीवा.jpg|thumb|282x282px|चित्र- नाभिलंब जीवा]]
-== परवलय के लैटस रेक्टम की लंबाई ==
+== परवलय के नाभिलंब जीवा  की लंबाई ==
-आइए हम परवलय y2= 4ax के लेटस रेक्टम की लंबाई को L और L’ के रूप में लें। L और L’ के x निर्देशांक “a” के बराबर हैं क्योंकि S = (a, 0)
+आइए हम परवलय <math>y^2= 4ax</math> के नाभिलंब जीवा की लंबाई को <math>L</math>और <math>L'</math> के रूप में लें। <math>L</math> और <math>L'</math> के <math>x</math> निर्देशांक “<math>a</math>” के बराबर हैं क्योंकि <math>S = (a, 0)</math>
-आइए हम मान लें L = (a, b)
+आइए हम मान लें <math>L = (a, b)</math>
 जैसा कि हम जानते हैं, L परवलय का बिंदु है। तदनुसार, हमारे पास है
-b2 = 4a (a) = 4a2
+<math>b^2 = 4a (a) = 4a^2</math>
 बाएं और दाएं दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर, हमें b बराबर ± 2a मिलता है
-इसलिए, परवलय के लेटस रेक्टम के सिरे L = (a, 2a) और L’ (a, -2a) हैं
+इसलिए, परवलय के नाभिलंब जीवा के सिरे L = (a, 2a) और L’ (a, -2a) हैं
-इस प्रकार, परवलय L L’’ के लेटस रेक्टम की लंबाई 4a है।
+इस प्रकार, परवलय <math>L</math> <math>L''</math> के नाभिलंब जीवा की लंबाई <math>4a</math> है।
-== हाइपरबोला के लेटस रेक्टम की लंबाई ==
+== हाइपरबोला के नाभिलंब जीवा की लंबाई ==
-हाइपरबोला के लेटस रेक्टम को दीर्घवृत्त और परवलय के मामले में सममित रूप से परिभाषित किया जाता है।
+हाइपरबोला के नाभिलंब जीवा को दीर्घवृत्त और परवलय के मामले में सममित रूप से परिभाषित किया जाता है।
 परवलय के नाभि-रेक्टम के अंत को (ae, ± b2/ a2) कहा जाता है और नाभि-रेक्टम की लंबाई को 2b2/a कहा जाता है।
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 table
-लेटस रेक्टम हल किए गए उदाहरण
+नाभिलंब जीवा हल किए गए उदाहरण
-. लेटस रेक्टम की लंबाई क्या होगी जिसका परवलय समीकरण y2= 12x है
+. नाभिलंब जीवा की लंबाई क्या होगी जिसका परवलय समीकरण y2= 12x है
 समाधान:
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 इसलिए, a=3 का मान
-इस प्रकार, परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 4a= 4(3) = 12 है।
+इस प्रकार, परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 4a= 4(3) = 12 है।
-. निम्नलिखित परवलय x2 = - 4y के लेटस रेक्टम की लंबाई क्या होगी।
+. निम्नलिखित परवलय x2 = - 4y के नाभिलंब जीवा की लंबाई क्या होगी।
 समाधान: ऊपर दिए गए समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि परवलय Y-अक्ष के बारे में सममित है और यह नीचे की ओर खुला है।
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 a = 4
-इस प्रकार, दिए गए परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 4 इकाई है।
+इस प्रकार, दिए गए परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 4 इकाई है।
-. निम्नलिखित परवलय x2- 2x + 8y + 17= 0 के लेटस रेक्टम की लंबाई की गणना करें।
+. निम्नलिखित परवलय x2- 2x + 8y + 17= 0 के नाभिलंब जीवा की लंबाई की गणना करें।
 समाधान: a का मान निकालने के लिए, हम पहले उपरोक्त समीकरण को मानक रूप में बदलेंगे।
@@ Line 80: / Line 78: @@
 इस समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दिया गया परवलय y-अक्ष के बारे में सममित है और यह ऊपर की ओर खुला है।
-लेटस रेक्टम की लंबाई = 4a
+नाभिलंब जीवा की लंबाई = 4a
 a = 8
-इस प्रकार, दिए गए परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 8 इकाई है।
+इस प्रकार, दिए गए परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 8 इकाई है।
 [[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]