अवकलज

कलन(कैलकुलस) में अवकलज एक राशि $y$ के दूसरी राशि $x$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर है। इसे $x$ के सापेक्ष $y$ का अंतर गुणांक भी कहा जाता है। विभेदन किसी फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया है। आइए जानें कि अवकलज का वास्तव में क्या अर्थ है और नियमों के साथ इसे कैसे ज्ञात करना है।

प्रथम सिद्धांत का उपयोग करके किसी फलन का अवकलज

किसी फलन का अवकलज, अवकलज की सीमा परिभाषा द्वारा प्राप्त किया जा सकता है जो $f'(x)=\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {[f(x+h)-f(x)]}{h}}$ है। इस प्रक्रिया को प्रथम सिद्धांत द्वारा विभेदन के रूप में जाना जाता है। मान लें कि $f(x)=x^{2}$ है और हम उपरोक्त अवकलज सूत्र का उपयोग करके इसका अवकलज ज्ञात करेंगे। यहाँ, $f(x+h)=(x+h)^{2}$ क्योंकि हमारे पास $f(x)=x^{2}$ है। फिर $f(x)$ का अवकलज है,

$f'(x)=\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {[(x+h)^{2}-x^{2}]}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {[x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}]}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {[2xh+h^{2}]}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {h(2x+h)}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}(2x+h)$

$=2x+0$

$=2x$

इस प्रकार, $x^{2}$ का अवकलज $2x$ है। हालाँकि जटिल कार्यों के अवकलजों को ज्ञात करने के लिए इस सीमा परिभाषा का उपयोग करना कठिन हो सकता है। इस प्रकार, कुछ अवकलज सूत्र हैं (निःसंदेह, जो उपरोक्त सीमा परिभाषा से प्राप्त होते हैं) जिन्हें हम विभेदन की प्रक्रिया में आसानी से उपयोग कर सकते हैं।

कलन में अवकलज सूत्र

बीजगणितीय, लघुगणकीय / घातांकीय और त्रिकोणमितीय फलनों के तीन मूल अवकलज विभेदन के पहले सिद्धांत से प्राप्त होते हैं और मानक अवकलज सूत्रों के रूप में उपयोग किए जाते हैं। वे इस प्रकार हैं।

अवकलजों का घात नियम

उपर्युक्त उदाहरण का उपयोग करके, $x^{2}$ का अवकलज $2x$ है। इसी तरह, हम साबित कर सकते हैं कि $x^{3}$ का अवकलज $3x^{2}$ है, $x^{4}$ का अवकलज $4x^{3}$ है, और इसी तरह। घात नियम इसे सामान्यीकृत करता है और इसे ${d \over dx}(x^{n})=nx^{n-1}$ के रूप में बताया गया है।

लॉग/एक्सपोनेंशियल फलन के अवकलज

• $\ln x$ का अवकलज है,${d \over dx}(\ln x)={\frac {1}{x}}$
• $\log x$ का अवकलज है, ${d \over dx}(log_{a}x)={\frac {1}{(x\ln a)}}$
• e^x का अवकलज है, ${d \over dx}(e^{x})=e^{x}$
• a^x का अवकलज है, ${d \over dx}(a^{x})=a^{x}\ln a$

अवकलज के मूलभूत नियम

अवकलज के मूलभूत नियम निम्नलिखित हैं। आइए हम उन पर विस्तार से चर्चा करें।

घात नियम: इस नियम के अनुसार, यदि $y=x^{n},$ तो $\frac{dy}{dx}=n{x}^n$