प्रायिकता की अभिगृहतीय दृष्टिकोण: Difference between revisions

Latest revision as of 10:56, 25 November 2024

प्रायिकता के सामान्य दृष्टिकोण में, हम यादृच्छिक प्रयोगों, नमूना स्थान और अन्य घटनाओं पर विचार करते हैं जो विभिन्न प्रयोगों से जुड़े होते हैं। हमारे दैनिक जीवन में, हम ‘संभावना’ शब्द से ‘संभावना’ शब्द की तुलना में अधिक परिचित हैं। चूँकि गणित सभी चीजों को परिमाणित करने के बारे में है, इसलिए प्रायिकता का सिद्धांत मूल रूप से घटनाओं के घटित होने या न होने की इन संभावनाओं को परिमाणित करता है। प्रायिकता में विभिन्न प्रकार की घटनाएँ होती हैं।

परिचय

यहाँ, हम अभिगृहतीय दृष्टिकोण प्रायिकता की परिभाषा और शर्तों पर विस्तार से नज़र डालेंगे।

अभिगृहतीय दृष्टिकोण गणित में एक एकीकृत प्रायिकता सिद्धांत है।
प्रायिकता के लिए अभिगृहतीय दृष्टिकोण स्वयंसिद्धों का एक समूह निर्धारित करता है जो प्रायिकता के सभी दृष्टिकोणों पर लागू होता है जिसमें बारंबारतावादी प्रायिकता और पुरातन सिद्धांत प्रायिकता उपस्थित है।
ये नियम सदैव कोलमोगोरोव के तीन स्वयंसिद्धों पर आधारित होते हैं।
अभिगृहतीय प्रायिकता गणितीय प्रायिकता के लिए प्रारंभ बिंदु निर्धारित करती है।

परिभाषा

प्रायिकता को एक समुच्चय फलन $P(E)$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रत्येक घटना $E$ को एक संख्या प्रदान करता है जिसे

" $E$ की प्रायिकता" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि,

1. किसी घटना $P(E)$ की प्रायिकता शून्य से अधिक या उसके बराबर होती है $P(E)\geq 0$

2. नमूना स्थान की प्रायिकता एक के बराबर होती है। $P(Q)=1$

प्रायिकता के बारे में हमें जो एक महत्वपूर्ण बात जानने की आवश्यकता है, वह यह है कि प्रायिकता मात्र उन प्रयोगों पर लागू की जा सकती है, जहाँ हमें दिए गए प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या पता हो।

सरल शब्दों में, जब तक हम किसी प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या नहीं जानते, तब तक हम प्रायिकता की अवधारणा को लागू नहीं कर सकते।

इस प्रकार, हमें दैनिक स्थितियों में प्रायिकता लागू करने के लिए प्रयोग के संभावित परिणामों की कुल संख्या पता होनी चाहिए। स्वयंसिद्ध प्रायिकता किसी घटना ( $E$ ) की प्रायिकता का वर्णन करने का एक और तरीका है। जैसा कि हम शब्द से ही जानते हैं, इस दृष्टिकोण में, प्रायिकताएँ निर्दिष्ट करने से पहले कुछ स्वयंसिद्धों को पूर्वनिर्धारित किया जाता है। ऐसा घटना के घटित होने या न होने की गणना को आसान बनाने और घटना को परिमाणित करने के लिए किया जाता है।

अभिगृहतीय दृष्टिकोण स्थितियाँ

मान लीजिए, $S$ किसी यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान है और किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। मान लीजिए $P$ किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। विशेषताओं $P$ को ध्यान में रखते हुए, यह एक वास्तविक-मूल्यवान फलन होना चाहिए जिसका प्रांत $S$ का घात स्थित होगा, और सीमा अंतराल $[0,1]$ में होगी। यह प्रायिकता $P$ निम्नलिखित अभिगृहतीय दृष्टिकोण को संतुष्ट करेगी:

किसी भी घटना $E$ के लिए, $P(E)\geq 0$
$P(S)=1$
यदि $E$ और $F$ परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं, तो निम्नलिखित घटनाएँ मान्य होंगी: $P(E\cup F)=P(E)+P(F)$

उपर्युक्त अभिगृहतीय दृष्टिकोण (3) से यह कहा जा सकता है कि $P(\phi )=0$ से यदि हमें इसे सिद्ध करना है, तो हम $F=\phi$ लेते हैं और ध्यान देते हैं कि $E$ और $\phi$ असंयुक्त घटनाएँ हैं। इसलिए, बिंदु (3) से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि-

$P(E\cup \phi )=P(E)+P(\phi )$ या

$P(E)=P(E)+P(\phi )$

अर्थात $P(\phi )=0$

मान लीजिए, $S$ के नमूना स्थान में दिए गए परिणाम $\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3},....,\delta _{n}$ उपस्थित हैं, तो प्रायिकता की अभिगृहतीय दृष्टिकोण परिभाषा के अनुसार, हम निम्नलिखित बिंदुओं को निकाल सकते हैं-

प्रत्येक $\delta _{i}\in S$ के लिए $0\leq P(\delta _{i})\leq 1$
$P(\delta _{1})+P(\delta _{2})_{.}..+P(\delta _{n})=1$
किसी भी घटना $Q$ के लिए, $P(Q)=\sum P(\delta _{i}),\delta _{i}\in Q$ । यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सिंगलटन $\{\delta _{i}\}$ को प्राथमिक घटना के रूप में जाना जाता है और लिखने की सुविधा के लिए, हम $P(\{\delta _{i}\})$ के लिए $P(\delta _{i})$ लिखते हैं।

उदाहरण

अब आइए प्रायिकता के अभिगृहतीय दृष्टिकोण को समझने के लिए एक सरल उदाहरण लेते हैं।

1) सिक्का उछालने पर हम कहते हैं कि चित और पट आने की प्रायिकता प्रत्येक ${\frac {1}{2}}$ है। मूल रूप से यहाँ हम प्रत्येक घटना के घटित होने के लिए

की प्रायिकता मान ${\frac {1}{2}}$ निर्दिष्ट कर रहे हैं।

यह शर्त मूल रूप से दोनों शर्तों को संतुष्ट करती है, अर्थात

प्रत्येक मान न तो शून्य से कम है और न ही $1$ से अधिक है और
चित और पट आने की प्रायिकताओं का योग $1$ है

इसलिए, इस स्थिति के लिए हम कह सकते हैं कि चित और पट आने की प्रायिकताएँ प्रत्येक ${\frac {1}{2}}$ हैं।

अब, मान लें $P(H)={\frac {5}{8}}$ और $P(T)={\frac {3}{8}}$ हैं।

क्या यह प्रायिकता मान अभिगृहतीय दृष्टिकोण की शर्तों को संतुष्ट करता है?

इसके लिए, आइए हम प्रायिकता के अभिगृहतीय दृष्टिकोण की मूल प्रारंभिक शर्तों की फिर से जाँच करें।

प्रत्येक मान न तो शून्य से कम है और न ही $1$ से अधिक है और
चित और पट की घटना की संभावनाओं का योग $1$ है

इसलिए इस तरह का संभाव्यता मान निर्धारण भी प्रायिकता के अभिगृहतीय दृष्टिकोण को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी प्रयोग के परिणामों की प्रायिकता को निर्धारित करने के अनंत उपाय हो सकते हैं।

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-प्रायिकता के सामान्य दृष्टिकोण में, हम यादृच्छिक प्रयोगों, नमूना स्थान और अन्य घटनाओं पर विचार करते हैं जो विभिन्न प्रयोगों से जुड़े होते हैं। हमारे दैनिक जीवन में, हम ‘संभावना’ शब्द से ‘संभावना’ शब्द की तुलना में अधिक परिचित हैं। चूँकि गणित सभी चीजों को परिमाणित करने के बारे में है, इसलिए प्रायिकता का सिद्धांत मूल रूप से घटनाओं के घटित होने या न होने की इन संभावनाओं को परिमाणित करता है। प्रायिकता में विभिन्न प्रकार की घटनाएँ होती हैं। यहाँ, हम स्वयंसिद्ध प्रायिकता की परिभाषा और शर्तों पर विस्तार से नज़र डालेंगे।
+प्रायिकता के सामान्य दृष्टिकोण में, हम [[यादृच्छिक परीक्षण|यादृच्छिक]] प्रयोगों, नमूना स्थान और अन्य घटनाओं पर विचार करते हैं जो विभिन्न प्रयोगों से जुड़े होते हैं। हमारे दैनिक जीवन में, हम ‘संभावना’ शब्द से ‘संभावना’ शब्द की तुलना में अधिक परिचित हैं। चूँकि गणित सभी चीजों को परिमाणित करने के बारे में है, इसलिए प्रायिकता का सिद्धांत मूल रूप से घटनाओं के घटित होने या न होने की इन संभावनाओं को परिमाणित करता है। प्रायिकता में विभिन्न प्रकार की घटनाएँ होती हैं।
-* स्वयंसिद्ध संभाव्यता गणित में एक एकीकृत संभाव्यता सिद्धांत है।
+== परिचय ==
-* संभाव्यता के लिए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण स्वयंसिद्धों का एक समूह निर्धारित करता है जो संभाव्यता के सभी दृष्टिकोणों पर लागू होता है जिसमें बारंबारतावादी संभाव्यता और शास्त्रीय संभाव्यता शामिल है।
+यहाँ, हम अभिगृहतीय दृष्टिकोण प्रायिकता की परिभाषा और शर्तों पर विस्तार से नज़र डालेंगे।
-* ये नियम आम तौर पर कोलमोगोरोव के तीन स्वयंसिद्धों पर आधारित होते हैं।
-* स्वयंसिद्ध संभाव्यता गणितीय संभाव्यता के लिए शुरुआती बिंदु निर्धारित करती है।
+* अभिगृहतीय दृष्टिकोण गणित में एक एकीकृत प्रायिकता सिद्धांत है।
+* प्रायिकता के लिए अभिगृहतीय दृष्टिकोण स्वयंसिद्धों का एक समूह निर्धारित करता है जो प्रायिकता के सभी दृष्टिकोणों पर लागू होता है जिसमें बारंबारतावादी प्रायिकता और पुरातन सिद्धांत प्रायिकता उपस्थित है।
+* ये नियम सदैव कोलमोगोरोव के तीन स्वयंसिद्धों पर आधारित होते हैं।
+* अभिगृहतीय प्रायिकता गणितीय प्रायिकता के लिए प्रारंभ बिंदु निर्धारित करती है।
 == परिभाषा ==
-प्रायिकता को एक समुच्चय फलन <math>P(E)</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रत्येक घटना <math>E</math> को एक संख्या प्रदान करता है जिसे
+प्रायिकता को एक [[समुच्चयों पर संक्रियाएँ|समुच्चय फलन]] <math>P(E)</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रत्येक घटना <math>E</math> को एक संख्या प्रदान करता है जिसे
-"<math>E</math>  की प्रायिकता" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि,
+"<math>E</math>  की [[प्रायिकता का सांख्यिकीय दृष्टिकोण|प्रायिकता]]" के रूप में जाना जाता है, जैसे कि,
 . किसी घटना <math>P(E)</math> की प्रायिकता शून्य से अधिक या उसके बराबर होती है <math>P(E) \geq 0</math>
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 . नमूना स्थान की प्रायिकता एक के बराबर होती है।  <math>P(Q)=1</math>
-प्रायिकता के बारे में हमें जो एक महत्वपूर्ण बात जानने की ज़रूरत है, वह यह है कि प्रायिकता केवल उन प्रयोगों पर लागू की जा सकती है, जहाँ हमें दिए गए प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या पता हो।
+प्रायिकता के बारे में हमें जो एक महत्वपूर्ण बात जानने की आवश्यकता है, वह यह है कि प्रायिकता मात्र उन प्रयोगों पर लागू की जा सकती है, जहाँ हमें दिए गए प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या पता हो।
 सरल शब्दों में, जब तक हम किसी प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या नहीं जानते, तब तक हम प्रायिकता की अवधारणा को लागू नहीं कर सकते।
-इस प्रकार, हमें रोज़मर्रा की स्थितियों में प्रायिकता लागू करने के लिए प्रयोग के संभावित परिणामों की कुल संख्या पता होनी चाहिए। स्वयंसिद्ध प्रायिकता किसी घटना (E) की प्रायिकता का वर्णन करने का एक और तरीका है। जैसा कि हम शब्द से ही जानते हैं, इस दृष्टिकोण में, प्रायिकताएँ निर्दिष्ट करने से पहले कुछ स्वयंसिद्धों को पूर्वनिर्धारित किया जाता है। ऐसा घटना के घटित होने या न होने की गणना को आसान बनाने और घटना को परिमाणित करने के लिए किया जाता है।
+इस प्रकार, हमें दैनिक स्थितियों में प्रायिकता लागू करने के लिए प्रयोग के संभावित परिणामों की कुल संख्या पता होनी चाहिए। स्वयंसिद्ध प्रायिकता किसी घटना (<math>E</math>) की प्रायिकता का वर्णन करने का एक और तरीका है। जैसा कि हम शब्द से ही जानते हैं, इस दृष्टिकोण में, प्रायिकताएँ निर्दिष्ट करने से पहले कुछ स्वयंसिद्धों को पूर्वनिर्धारित किया जाता है। ऐसा [[मिश्र घटना|घटना]] के घटित होने या न होने की गणना को आसान बनाने और घटना को परिमाणित करने के लिए किया जाता है।
-प्रायिकता के बारे में एक महत्वपूर्ण बात यह है कि इसे केवल उन प्रयोगों पर लागू किया जा सकता है जहाँ हम प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या जानते हैं, यानी जब तक हम किसी प्रयोग के परिणामों की कुल संख्या नहीं जानते, तब तक प्रायिकता की अवधारणा को लागू नहीं किया जा सकता है।
-इस प्रकार, रोज़मर्रा की स्थितियों में प्रायिकता को लागू करने के लिए, हमें प्रयोग के संभावित परिणामों की कुल संख्या पता होनी चाहिए। स्वयंसिद्ध प्रायिकता किसी घटना की प्रायिकता का वर्णन करने का एक और तरीका है। जैसा कि शब्द से ही पता चलता है, इस दृष्टिकोण में, संभावनाएँ निर्दिष्ट करने से पहले कुछ स्वयंसिद्धों को पूर्वनिर्धारित किया जाता है। यह घटना को परिमाणित करने और इस प्रकार घटना के घटित होने या न होने की गणना को आसान बनाने के लिए किया जाता है।
-स्वयंसिद्ध प्रायिकता शर्तें
-मान लीजिए, S किसी यादृच्छिक प्रयोग का नमूना स्थान है और
+== अभिगृहतीय दृष्टिकोण स्थितियाँ ==
+मान लीजिए, <math>S</math> किसी [[यादृच्छिक परीक्षण|यादृच्छिक]] प्रयोग का नमूना स्थान है और किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। मान लीजिए <math>P</math>  किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है। विशेषताओं <math>P</math> को ध्यान में रखते हुए, यह एक वास्तविक-मूल्यवान फलन होना चाहिए जिसका प्रांत <math>S</math> का घात स्थित होगा, और सीमा अंतराल <math>[0,1]</math> में होगी। यह प्रायिकता <math>P</math> निम्नलिखित अभिगृहतीय दृष्टिकोण को संतुष्ट करेगी:
-किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है।
+# किसी भी घटना <math>E</math> के लिए, <math>P(E) \geq 0</math>
+# <math>P(S)=1</math>
+# यदि <math>E</math> और <math>F</math> परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं, तो निम्नलिखित घटनाएँ मान्य होंगी: <math>P(E\cup F)= P(E)+P(F)</math>
-की विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए, यह एक वास्तविक मान वाला फ़ंक्शन होना चाहिए जिसका डोमेन
-का घात सेट होगा और सीमा अंतराल में होगी
+उपर्युक्त अभिगृहतीय दृष्टिकोण (3) से यह कहा जा सकता है कि <math>P(\phi)=0 </math> से यदि हमें इसे सिद्ध करना है, तो हम <math>F=\phi</math>  लेते हैं और ध्यान देते हैं कि <math>E</math> और <math>\phi</math> असंयुक्त घटनाएँ हैं। इसलिए, बिंदु (3) से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि-
-। यह प्रायिकता
+<math>P(E\cup \phi)= P(E)+P(\phi)</math> या
-निम्न प्रायिकता स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करेगी:
+<math>P(E)= P(E)+P(\phi)</math>
-किसी भी घटना के लिए
+अर्थात <math>P(\phi)=0 </math>
-,
+मान लीजिए, <math>S</math> के नमूना स्थान में दिए गए परिणाम <math>\delta_1,\delta_2,\delta_3,....,\delta_n </math>उपस्थित हैं, तो प्रायिकता की अभिगृहतीय दृष्टिकोण परिभाषा के अनुसार, हम निम्नलिखित बिंदुओं को निकाल सकते हैं-
-=
+# प्रत्येक <math>\delta_i \in S</math> के लिए <math>0 \leq P(\delta_i)\leq 1</math>
+# <math>P(\delta_1)+P(\delta_2)_...+P(\delta_n)=1</math>
-यदि
+# किसी भी घटना <math>Q</math> के लिए, <math>P(Q)=\sum P(\delta_i),\delta_i\in Q</math> । यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सिंगलटन <math>\{ \delta_i \}</math> को प्राथमिक घटना के रूप में जाना जाता है और लिखने की सुविधा के लिए, हम  <math>P (\{\delta_i\})</math>के लिए <math>P(\delta_i) </math> लिखते हैं।
-और
-परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं, तो निम्न समीकरण मान्य होगा:
-=
-बिंदु (3) से यह कहा जा सकता है कि
-ф
-=
-यदि हमें इसे साबित करने की आवश्यकता है, तो हम
-=
-ф
-लेते हैं और ध्यान देते हैं कि
-और
-ф
-असंयुक्त घटनाएँ हैं। इसलिए, बिंदु (3) से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि-
-P(E ∪ ф) = P(E) + P(ф) या
-P(E)=P(E) + P(ф)
-अर्थात P(ф)=0
-मान लीजिए, S के नमूना स्थान में दिए गए परिणाम शामिल हैं
-, तो प्रायिकता की स्वयंसिद्ध परिभाषा के अनुसार, हम निम्नलिखित बिंदुओं को निकाल सकते हैं-
-प्रत्येक के लिए
-=
-किसी भी घटना के लिए
-,
-=
-.
-यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सिंगलटन {
-} को प्राथमिक घटना के रूप में जाना जाता है और लिखने की सुविधा के लिए, हम लिखते हैं
-के लिए
-({
-}) .
 == उदाहरण ==
-अब आइए प्रायिकता के स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण को समझने के लिए एक सरल उदाहरण लेते हैं।
+अब आइए प्रायिकता के अभिगृहतीय दृष्टिकोण को समझने के लिए एक सरल उदाहरण लेते हैं।
-सिक्का उछालने पर हम कहते हैं कि चित और पट आने की प्रायिकता
+) सिक्का उछालने पर हम कहते हैं कि चित और पट आने की प्रायिकता प्रत्येक <math>\frac{1}{2}</math> है। मूल रूप से यहाँ हम प्रत्येक घटना के घटित होने के लिए
-प्रत्येक है। मूल रूप से यहाँ हम प्रत्येक घटना के घटित होने के लिए
+की प्रायिकता मान <math>\frac{1}{2}</math> निर्दिष्ट कर रहे हैं।
-की प्रायिकता मान निर्दिष्ट कर रहे हैं।
 यह शर्त मूल रूप से दोनों शर्तों को संतुष्ट करती है, अर्थात
-प्रत्येक मान न तो शून्य से कम है और न ही 1 से अधिक है और
+* प्रत्येक मान न तो शून्य से कम है और न ही <math>1</math> से अधिक है और
+* चित और पट आने की प्रायिकताओं का योग <math>1</math> है
-चित और पट आने की प्रायिकताओं का योग 1 है
-इसलिए, इस मामले के लिए हम कह सकते हैं कि चित और पट आने की प्रायिकताएँ
-प्रत्येक हैं।
-अब, मान लें
-=
-और
-=
+इसलिए, इस स्थिति के लिए हम कह सकते हैं कि चित और पट आने की प्रायिकताएँ प्रत्येक  <math>\frac{1}{2}</math> हैं।
-क्या यह प्रायिकता मान स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण की शर्तों को संतुष्ट करता है?
+अब, मान लें <math>P(H)=\frac{5}{8} </math> और <math>P(T)=\frac{3}{8} </math>  हैं।
-इसके लिए, आइए हम प्रायिकता के स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण की मूल प्रारंभिक शर्तों की फिर से जाँच करें।
+क्या यह प्रायिकता मान अभिगृहतीय दृष्टिकोण की शर्तों को संतुष्ट करता है?
-प्रत्येक मान न तो शून्य से कम है और न ही 1 से अधिक है और
+इसके लिए, आइए हम प्रायिकता के अभिगृहतीय दृष्टिकोण की '''मूल प्रारंभिक''' शर्तों की फिर से जाँच करें।
-सिर और पूंछ की घटना की संभावनाओं का योग 1 है
+* प्रत्येक मान न तो शून्य से कम है और न ही <math>1</math> से अधिक है और
+* चित और पट की घटना की संभावनाओं का योग <math>1</math> है
-इसलिए इस तरह का संभाव्यता मान असाइनमेंट भी संभाव्यता के स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी प्रयोग के परिणामों की संभावना को असाइन करने के अनंत तरीके हो सकते हैं।
+इसलिए इस तरह का संभाव्यता मान निर्धारण भी प्रायिकता के अभिगृहतीय दृष्टिकोण को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी प्रयोग के परिणामों की प्रायिकता को निर्धारित करने के अनंत उपाय हो सकते हैं।
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